Theorem mptrcl 7026

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptrcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4289	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → ¬ (𝐹‘𝑋) = ∅)
2		mptrcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6255	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
4	3	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		ndmfv 6940	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝑋) = ∅)
6	4, 5	nsyl4 159	. 2 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑋) = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	1, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ‘cfv 6558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fv 6566

This theorem is used by:  bitsval  16623  subcrcl  18020  initorcl  18194  termorcl  18195  zeroorcl  18196  submrcl  19026  issubg  19365  isnsg  19394  issubrng  20829  issubrg  20853  issdrg  21075  abvrcl  21100  isobs  22056  mhprcl  22494  islocfin  23866  kgeni  23886  elmptrab  24176  isphtpc  25345  cfili  25619  cfilfcls  25625  plybss  26542  eleenn  29504  neircl  50224  sectrcl  50341  invrcl  50343  isorcl  50352  sectpropdlem  50355  invpropdlem  50357  isopropdlem  50359  lmdrcl  51039  cmdrcl  51040  lmdfval2  51043  cmdfval2  51044