Theorem mptrcl 7003

Description: Reverse closure for a mapping: If the function value of a mapping has a member, the argument belongs to the base class of the mapping. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptrcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mptrcl	⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem mptrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4285	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → ¬ (𝐹‘𝑋) = ∅)
2		mptrcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6242	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 ⊆ 𝐴
4	3	sseli 3904	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐹 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		ndmfv 6917	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝑋) = ∅)
6	4, 5	nsyl4 159	. 2 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑋) = ∅ → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	1, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6546

This theorem is used by:  bitsval  16595  subcrcl  17992  initorcl  18166  termorcl  18167  zeroorcl  18168  submrcl  18998  issubg  19337  isnsg  19366  issubrng  20800  issubrg  20824  issdrg  21046  abvrcl  21071  isobs  22027  mhprcl  22465  islocfin  23837  kgeni  23857  elmptrab  24147  isphtpc  25316  cfili  25590  cfilfcls  25596  plybss  26513  eleenn  29475  neircl  50057  sectrcl  50174  invrcl  50176  isorcl  50185  sectpropdlem  50188  invpropdlem  50190  isopropdlem  50192  lmdrcl  50803  cmdrcl  50804  lmdfval2  50807  cmdfval2  50808