Theorem isoval2 49066

Description: The isomorphisms are the domain of the inverse relation. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoval2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isoval2.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isoval2	⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Proof of Theorem isoval2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		isoval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		isoval2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
5	4, 1	isorcl 49064	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 1, 2	isorcl2 49065	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
8	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3, 5, 7, 8, 4	isoval 17669	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	1, 9	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	eldm 5840	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) ↔ ∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
14	3, 13	invrcl 49055	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3, 13, 2	invrcl2 49056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
16	15	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
17	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
18	2, 3, 14, 16, 17, 4, 13	inviso1 17670	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
19	18	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	12, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
21	10, 20	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
22	21	eqriv 2728	1 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  Invcinv 17649  Isociso 17650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-cat 17571  df-cid 17572  df-sect 17651  df-inv 17652  df-iso 17653

This theorem is referenced by: (None)