Theorem isoval2 49510

Description: The isomorphisms are the domain of the inverse relation. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoval2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isoval2.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isoval2	⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Proof of Theorem isoval2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		isoval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		isoval2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
5	4, 1	isorcl 49508	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 1, 2	isorcl2 49509	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
8	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3, 5, 7, 8, 4	isoval 17732	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	1, 9	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	eldm 5855	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) ↔ ∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
14	3, 13	invrcl 49499	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3, 13, 2	invrcl2 49500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
16	15	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
17	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
18	2, 3, 14, 16, 17, 4, 13	inviso1 17733	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
19	18	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	12, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
21	10, 20	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
22	21	eqriv 2733	1 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Invcinv 17712  Isociso 17713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-cat 17634  df-cid 17635  df-sect 17714  df-inv 17715  df-iso 17716

This theorem is referenced by: (None)