Theorem isoval2 49969

Description: The isomorphisms are the domain of the inverse relation. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoval2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isoval2.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isoval2	⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Proof of Theorem isoval2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		isoval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		isoval2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
5	4, 1	isorcl 49967	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 1, 2	isorcl2 49968	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
7	6	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
8	6	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3, 5, 7, 8, 4	isoval 17860	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	1, 9	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	eldm 5888	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) ↔ ∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
13		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
14	3, 13	invrcl 49958	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3, 13, 2	invrcl2 49959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
16	15	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
17	15	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
18	2, 3, 14, 16, 17, 4, 13	inviso1 17861	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
19	18	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	12, 19	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
21	10, 20	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
22	21	eqriv 2759	1 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Invcinv 17840  Isociso 17841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-cat 17762  df-cid 17763  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844

This theorem is used by: (None)