Theorem isoval2 49276

Description: The isomorphisms are the domain of the inverse relation. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoval2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isoval2.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isoval2	⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Proof of Theorem isoval2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		isoval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		isoval2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
5	4, 1	isorcl 49274	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 1, 2	isorcl2 49275	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
8	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3, 5, 7, 8, 4	isoval 17689	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	1, 9	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	eldm 5849	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) ↔ ∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
14	3, 13	invrcl 49265	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3, 13, 2	invrcl2 49266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
16	15	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
17	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
18	2, 3, 14, 16, 17, 4, 13	inviso1 17690	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
19	18	exlimiv 1931	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	12, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
21	10, 20	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
22	21	eqriv 2733	1 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Invcinv 17669  Isociso 17670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-cat 17591  df-cid 17592  df-sect 17671  df-inv 17672  df-iso 17673

This theorem is referenced by: (None)