Theorem isoval2 49024

Description: The isomorphisms are the domain of the inverse relation. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isoval2.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
isoval2.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isoval2	⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Proof of Theorem isoval2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		isoval2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		isoval2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
5	4, 1	isorcl 49022	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 1, 2	isorcl2 49023	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
8	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3, 5, 7, 8, 4	isoval 17727	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
10	1, 9	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
11		vex 3451	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	eldm 5864	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) ↔ ∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
14	3, 13	invrcl 49013	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝐶 ∈ Cat)
15	3, 13, 2	invrcl2 49014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
16	15	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
17	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
18	2, 3, 14, 16, 17, 4, 13	inviso1 17728	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
19	18	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
20	12, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
21	10, 20	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑓 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
22	21	eqriv 2726	1 ⊢ (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Invcinv 17707  Isociso 17708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-cat 17629  df-cid 17630  df-sect 17709  df-inv 17710  df-iso 17711

This theorem is referenced by: (None)