Theorem isorcl2 48951

Description: Reverse closure for isomorphism relations. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isorcl.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
isorcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
isorcl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
isorcl2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem isorcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isorcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		isorcl2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
4		isorcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
5	4, 1	isorcl 48950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6	2, 3, 5, 4	isofval2 48949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ dom (𝑥(Inv‘𝐶)𝑦)))
7	6	oveqd 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ dom (𝑥(Inv‘𝐶)𝑦))𝑌))
8	1, 7	eleqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ dom (𝑥(Inv‘𝐶)𝑦))𝑌))
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ dom (𝑥(Inv‘𝐶)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ dom (𝑥(Inv‘𝐶)𝑦))
10	9	elmpocl 7637	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋(𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ dom (𝑥(Inv‘𝐶)𝑦))𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
11	8, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5646  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   ∈ cmpo 7396  Basecbs 17185  Invcinv 17713  Isociso 17714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-inv 17716  df-iso 17717

This theorem is referenced by:  isoval2  48952  catcisoi  49292