Theorem mulex 12376

Description: The multiplication operation is a set. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulex	⊢ · ∈ V

Proof of Theorem mulex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 10606	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		cnex 10607	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3	2, 2	xpex 7456	. 2 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
4		fex2 7620	. 2 ⊢ (( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → · ∈ V)
5	1, 3, 2, 4	mp3an 1458	1 ⊢ · ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ℂcc 10524   · cmul 10531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  cnfldmul  20097  cnfldfun  20103  cnfldfunALT  20104  cnlmod4  23744  cnnvg  28461  cnnvs  28463  cncph  28602