Theorem cnfldmul 21541

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21534. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11186	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7543	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21540	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2785	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   × cxp 5658   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11104   · cmul 11111  ._rcmulr 17317  ℂ_fldccnfld 21533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-cnfld 21534

This theorem is used by:  cnfldexp  21566  cnsrng  21567  absabv  21585  cnsubrg  21588  cnmsubglem  21591  expmhm  21597  nn0srg  21598  rge0srg  21599  zringmulr  21618  expghm  21636  psgnghm  21741  psgnco  21744  evpmodpmf1o  21757  remulr  21772  mdetralt  22776  clmmul  25245  clmmcl  25255  isclmp  25267  cnlmod  25310  cnncvsmulassdemo  25334  cphsubrglem  25347  cphdivcl  25352  cphabscl  25355  cphsqrtcl2  25356  cphsqrtcl3  25357  ipcau2  25404  plypf1  26380  reefgim  26624  efabl  26726  efsubm  26727  amgmlem  27165  amgm  27166  wilthlem2  27244  wilthlem3  27245  dchrelbas3  27413  dchrzrhmul  27421  dchrmulcl  27424  dchrn0  27425  dchrinvcl  27428  dchrsum2  27443  sum2dchr  27449  qabvexp  27801  ostthlem2  27803  padicabv  27805  ostth2lem2  27809  ostth3  27813  xrge0slmod  33677  zringfrac  33853  ccfldsrarelvec  34070  ccfldextdgrr  34071  constrelextdg2  34146  constrsdrg  34174  2sqr3minply  34179  cos9thpiminplylem6  34186  iistmd  34301  xrge0iifmhm  34338  xrge0pluscn  34339  qqhrhm  34388  cnsrexpcl  43920  cnsrplycl  43922  rngunsnply  43924  amgm2d  44952  amgm3d  44953  amgm4d  44954  cnfldsrngmul  48956  aacllem  50649  amgmlemALT  50678  amgmw2d  50679