Theorem cnfldmul 21269

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21262. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11089	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6652	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7480	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21268	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2752	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℂcc 11007   · cmul 11014  ._rcmulr 17162  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  cncrngOLD  21296  cnfld1OLD  21301  cndrngOLD  21306  cnflddivOLD  21308  cnfldexp  21311  cnsrng  21312  cnsubrglemOLD  21324  absabv  21331  cnsubrg  21334  cnmsubglem  21337  expmhm  21343  nn0srg  21344  rge0srg  21345  zringmulr  21364  expghm  21382  psgnghm  21487  psgnco  21490  evpmodpmf1o  21503  remulr  21518  mdetralt  22493  clmmul  24973  clmmcl  24983  isclmp  24995  cnlmod  25038  cnncvsmulassdemo  25062  cphsubrglem  25075  cphdivcl  25080  cphabscl  25083  cphsqrtcl2  25084  cphsqrtcl3  25085  ipcau2  25132  plypf1  26115  dvply2gOLD  26191  taylply2OLD  26274  reefgim  26358  efabl  26457  efsubm  26458  amgmlem  26898  amgm  26899  wilthlem2  26977  wilthlem3  26978  dchrelbas3  27147  dchrzrhmul  27155  dchrmulcl  27158  dchrn0  27159  dchrinvcl  27162  dchrsum2  27177  sum2dchr  27183  qabvexp  27535  ostthlem2  27537  padicabv  27539  ostth2lem2  27543  ostth3  27547  xrge0slmod  33285  zringfrac  33491  ccfldsrarelvec  33638  ccfldextdgrr  33639  constrelextdg2  33714  constrsdrg  33742  2sqr3minply  33747  cos9thpiminplylem6  33754  iistmd  33869  xrge0iifmhm  33906  xrge0pluscn  33907  qqhrhm  33956  cnsrexpcl  43138  cnsrplycl  43140  rngunsnply  43142  amgm2d  44171  amgm3d  44172  amgm4d  44173  cnfldsrngmul  48147  aacllem  49786  amgmlemALT  49788  amgmw2d  49789