Theorem cnfldmul 21315

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21308. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11104	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6660	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7487	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21314	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2757	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11022   · cmul 11029  ._rcmulr 17176  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-cnfld 21308

This theorem is referenced by:  cncrngOLD  21342  cnfld1OLD  21347  cndrngOLD  21352  cnflddivOLD  21354  cnfldexp  21357  cnsrng  21358  cnsubrglemOLD  21370  absabv  21377  cnsubrg  21380  cnmsubglem  21383  expmhm  21389  nn0srg  21390  rge0srg  21391  zringmulr  21410  expghm  21428  psgnghm  21533  psgnco  21536  evpmodpmf1o  21549  remulr  21564  mdetralt  22550  clmmul  25029  clmmcl  25039  isclmp  25051  cnlmod  25094  cnncvsmulassdemo  25118  cphsubrglem  25131  cphdivcl  25136  cphabscl  25139  cphsqrtcl2  25140  cphsqrtcl3  25141  ipcau2  25188  plypf1  26171  dvply2gOLD  26247  taylply2OLD  26330  reefgim  26414  efabl  26513  efsubm  26514  amgmlem  26954  amgm  26955  wilthlem2  27033  wilthlem3  27034  dchrelbas3  27203  dchrzrhmul  27211  dchrmulcl  27214  dchrn0  27215  dchrinvcl  27218  dchrsum2  27233  sum2dchr  27239  qabvexp  27591  ostthlem2  27593  padicabv  27595  ostth2lem2  27599  ostth3  27603  xrge0slmod  33378  zringfrac  33584  ccfldsrarelvec  33777  ccfldextdgrr  33778  constrelextdg2  33853  constrsdrg  33881  2sqr3minply  33886  cos9thpiminplylem6  33893  iistmd  34008  xrge0iifmhm  34045  xrge0pluscn  34046  qqhrhm  34095  cnsrexpcl  43349  cnsrplycl  43351  rngunsnply  43353  amgm2d  44381  amgm3d  44382  amgm4d  44383  cnfldsrngmul  48351  aacllem  49988  amgmlemALT  49990  amgmw2d  49991