Theorem cnfldmul 21329

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21322. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11118	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6670	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7499	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21328	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2760	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   × cxp 5630   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ℂcc 11036   · cmul 11043  ._rcmulr 17190  ℂ_fldccnfld 21321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-cnfld 21322

This theorem is referenced by:  cncrngOLD  21356  cnfld1OLD  21361  cndrngOLD  21366  cnflddivOLD  21368  cnfldexp  21371  cnsrng  21372  cnsubrglemOLD  21384  absabv  21391  cnsubrg  21394  cnmsubglem  21397  expmhm  21403  nn0srg  21404  rge0srg  21405  zringmulr  21424  expghm  21442  psgnghm  21547  psgnco  21550  evpmodpmf1o  21563  remulr  21578  mdetralt  22564  clmmul  25043  clmmcl  25053  isclmp  25065  cnlmod  25108  cnncvsmulassdemo  25132  cphsubrglem  25145  cphdivcl  25150  cphabscl  25153  cphsqrtcl2  25154  cphsqrtcl3  25155  ipcau2  25202  plypf1  26185  dvply2gOLD  26261  taylply2OLD  26344  reefgim  26428  efabl  26527  efsubm  26528  amgmlem  26968  amgm  26969  wilthlem2  27047  wilthlem3  27048  dchrelbas3  27217  dchrzrhmul  27225  dchrmulcl  27228  dchrn0  27229  dchrinvcl  27232  dchrsum2  27247  sum2dchr  27253  qabvexp  27605  ostthlem2  27607  padicabv  27609  ostth2lem2  27613  ostth3  27617  xrge0slmod  33441  zringfrac  33647  ccfldsrarelvec  33849  ccfldextdgrr  33850  constrelextdg2  33925  constrsdrg  33953  2sqr3minply  33958  cos9thpiminplylem6  33965  iistmd  34080  xrge0iifmhm  34117  xrge0pluscn  34118  qqhrhm  34167  cnsrexpcl  43522  cnsrplycl  43524  rngunsnply  43526  amgm2d  44554  amgm3d  44555  amgm4d  44556  cnfldsrngmul  48523  aacllem  50160  amgmlemALT  50162  amgmw2d  50163