Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldmul 20486
 Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmul · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul
StepHypRef Expression
1 mulex 12383 . 2 · ∈ V
2 cnfldstr 20482 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 mulrid 16611 . . 3 .r = Slot (.r‘ndx)
4 snsstp3 4750 . . . 4 {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 4152 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 4152 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 20481 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtrri 4008 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3980 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3980 . . 3 {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 16526 . 2 ( · ∈ V → · = (.r‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 · = (.r‘ℂfld)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3500   ∪ cun 3938  {csn 4564  {ctp 4568  ⟨cop 4570   ∘ ccom 5558  ‘cfv 6354  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   ≤ cle 10670   − cmin 10864  3c3 11687  ;cdc 12092  ∗ccj 14450  abscabs 14588  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  *𝑟cstv 16562  TopSetcts 16566  lecple 16567  distcds 16569  UnifSetcunif 16570  MetOpencmopn 20470  metUnifcmetu 20471  ℂfldccnfld 20480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-cnfld 20481 This theorem is referenced by:  cncrng  20501  cnfld1  20505  cndrng  20509  cnflddiv  20510  cnfldexp  20513  cnsrng  20514  cnsubrglem  20530  absabv  20537  cnsubrg  20540  cnmsubglem  20543  expmhm  20549  nn0srg  20550  rge0srg  20551  zringmulr  20561  expghm  20578  psgnghm  20659  psgnco  20662  evpmodpmf1o  20675  remulr  20690  mdetralt  21152  clmmul  23613  clmmcl  23623  isclmp  23635  cnlmod  23678  cnncvsmulassdemo  23702  cphsubrglem  23715  cphdivcl  23720  cphabscl  23723  cphsqrtcl2  23724  cphsqrtcl3  23725  ipcau2  23771  plypf1  24736  dvply2g  24808  taylply2  24890  reefgim  24972  efabl  25066  efsubm  25067  amgmlem  25500  amgm  25501  wilthlem2  25579  wilthlem3  25580  dchrelbas3  25747  dchrzrhmul  25755  dchrmulcl  25758  dchrn0  25759  dchrinvcl  25762  dchrsum2  25777  sum2dchr  25783  qabvexp  26135  ostthlem2  26137  padicabv  26139  ostth2lem2  26143  ostth3  26147  xrge0slmod  30850  ccfldsrarelvec  30961  ccfldextdgrr  30962  iistmd  31050  xrge0iifmhm  31087  xrge0pluscn  31088  qqhrhm  31135  cnsrexpcl  39649  cnsrplycl  39651  rngunsnply  39657  amgm2d  40436  amgm3d  40437  amgm4d  40438  cnfldsrngmul  43889  aacllem  44804  amgmlemALT  44806  amgmw2d  44807
 Copyright terms: Public domain W3C validator