Theorem cnfldmul 21686

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21679. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11280	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7551	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21685	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2784	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11198   · cmul 11205  ._rcmulr 17429  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-cnfld 21679

This theorem is used by:  cnfldexp  21711  cnsrng  21712  absabv  21730  cnsubrg  21733  cnmsubglem  21736  expmhm  21742  nn0srg  21743  rge0srg  21744  zringmulr  21763  expghm  21781  psgnghm  21886  psgnco  21889  evpmodpmf1o  21902  remulr  21917  mdetralt  22923  clmmul  25396  clmmcl  25406  isclmp  25418  cnlmod  25461  cnncvsmulassdemo  25485  cphsubrglem  25498  cphdivcl  25503  cphabscl  25506  cphsqrtcl2  25507  cphsqrtcl3  25508  ipcau2  25555  plypf1  26531  reefgim  26777  efabl  26878  efsubm  26879  amgmlem  27317  amgm  27318  wilthlem2  27396  wilthlem3  27397  dchrelbas3  27565  dchrzrhmul  27573  dchrmulcl  27576  dchrn0  27577  dchrinvcl  27580  dchrsum2  27595  sum2dchr  27601  qabvexp  27953  ostthlem2  27955  padicabv  27957  ostth2lem2  27961  ostth3  27965  xrge0slmod  33909  zringfrac  34086  ccfldsrarelvec  34303  ccfldextdgrr  34304  constrelextdg2  34379  constrsdrg  34407  2sqr3minply  34412  cos9thpiminplylem6  34419  iistmd  34534  xrge0iifmhm  34571  xrge0pluscn  34572  qqhrhm  34621  cnsrexpcl  44166  cnsrplycl  44168  rngunsnply  44170  amgm2d  45197  amgm3d  45198  amgm4d  45199  cnfldsrngmul  49259  aacllem  50938  amgmlemALT  50987  amgmw2d  50988