Theorem cnfldmul 21594

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21587. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11205	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6703	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7545	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21593	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2783	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ℂcc 11123   · cmul 11130  ._rcmulr 17344  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-cnfld 21587

This theorem is used by:  cnfldexp  21619  cnsrng  21620  absabv  21638  cnsubrg  21641  cnmsubglem  21644  expmhm  21650  nn0srg  21651  rge0srg  21652  zringmulr  21671  expghm  21689  psgnghm  21794  psgnco  21797  evpmodpmf1o  21810  remulr  21825  mdetralt  22831  clmmul  25304  clmmcl  25314  isclmp  25326  cnlmod  25369  cnncvsmulassdemo  25393  cphsubrglem  25406  cphdivcl  25411  cphabscl  25414  cphsqrtcl2  25415  cphsqrtcl3  25416  ipcau2  25463  plypf1  26439  reefgim  26687  efabl  26788  efsubm  26789  amgmlem  27227  amgm  27228  wilthlem2  27306  wilthlem3  27307  dchrelbas3  27475  dchrzrhmul  27483  dchrmulcl  27486  dchrn0  27487  dchrinvcl  27490  dchrsum2  27505  sum2dchr  27511  qabvexp  27863  ostthlem2  27865  padicabv  27867  ostth2lem2  27871  ostth3  27875  xrge0slmod  33789  zringfrac  33965  ccfldsrarelvec  34182  ccfldextdgrr  34183  constrelextdg2  34258  constrsdrg  34286  2sqr3minply  34291  cos9thpiminplylem6  34298  iistmd  34413  xrge0iifmhm  34450  xrge0pluscn  34451  qqhrhm  34500  cnsrexpcl  44007  cnsrplycl  44009  rngunsnply  44011  amgm2d  45039  amgm3d  45040  amgm4d  45041  cnfldsrngmul  49079  aacllem  50773  amgmlemALT  50822  amgmw2d  50823