Theorem cnfldmul 20235

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulex 12483	. 2 ⊢ · ∈ V
2		cnfldstr 20231	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		mulrid 16731	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		snsstp3 4716	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4072	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4072	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20230	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3924	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3896	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3896	. . 3 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16646	. 2 ⊢ ( · ∈ V → · = (.r‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3400   ∪ cun 3851  {csn 4526  {ctp 4530  ⟨cop 4532   ∘ ccom 5539  ‘cfv 6349  ℂcc 10625  1c1 10628   + caddc 10630   · cmul 10632   ≤ cle 10766   − cmin 10960  3c3 11784  ;cdc 12191  ∗ccj 14557  abscabs 14695  ndxcnx 16595  Basecbs 16598  +_gcplusg 16680  ._rcmulr 16681  *_𝑟cstv 16682  TopSetcts 16686  lecple 16687  distcds 16689  UnifSetcunif 16690  MetOpencmopn 20219  metUnifcmetu 20220  ℂ_fldccnfld 20229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-mulf 10707

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-fz 12994  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-cnfld 20230

This theorem is referenced by:  cncrng  20250  cnfld1  20254  cndrng  20258  cnflddiv  20259  cnfldexp  20262  cnsrng  20263  cnsubrglem  20279  absabv  20286  cnsubrg  20289  cnmsubglem  20292  expmhm  20298  nn0srg  20299  rge0srg  20300  zringmulr  20310  expghm  20328  psgnghm  20408  psgnco  20411  evpmodpmf1o  20424  remulr  20439  mdetralt  21371  clmmul  23839  clmmcl  23849  isclmp  23861  cnlmod  23904  cnncvsmulassdemo  23928  cphsubrglem  23941  cphdivcl  23946  cphabscl  23949  cphsqrtcl2  23950  cphsqrtcl3  23951  ipcau2  23998  plypf1  24973  dvply2g  25045  taylply2  25127  reefgim  25209  efabl  25306  efsubm  25307  amgmlem  25739  amgm  25740  wilthlem2  25818  wilthlem3  25819  dchrelbas3  25986  dchrzrhmul  25994  dchrmulcl  25997  dchrn0  25998  dchrinvcl  26001  dchrsum2  26016  sum2dchr  26022  qabvexp  26374  ostthlem2  26376  padicabv  26378  ostth2lem2  26382  ostth3  26386  xrge0slmod  31132  ccfldsrarelvec  31325  ccfldextdgrr  31326  iistmd  31436  xrge0iifmhm  31473  xrge0pluscn  31474  qqhrhm  31521  cnsrexpcl  40602  cnsrplycl  40604  rngunsnply  40610  amgm2d  41396  amgm3d  41397  amgm4d  41398  cnfldsrngmul  44906  aacllem  46005  amgmlemALT  46007  amgmw2d  46008