Theorem cnfldmul 21530

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21523. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11175	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7541	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21529	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2786	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1570   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11093   · cmul 11100  ._rcmulr 17306  ℂ_fldccnfld 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-cnfld 21523

This theorem is referenced by:  cnfldexp  21555  cnsrng  21556  absabv  21574  cnsubrg  21577  cnmsubglem  21580  expmhm  21586  nn0srg  21587  rge0srg  21588  zringmulr  21607  expghm  21625  psgnghm  21730  psgnco  21733  evpmodpmf1o  21746  remulr  21761  mdetralt  22765  clmmul  25234  clmmcl  25244  isclmp  25256  cnlmod  25299  cnncvsmulassdemo  25323  cphsubrglem  25336  cphdivcl  25341  cphabscl  25344  cphsqrtcl2  25345  cphsqrtcl3  25346  ipcau2  25393  plypf1  26369  reefgim  26613  efabl  26715  efsubm  26716  amgmlem  27154  amgm  27155  wilthlem2  27233  wilthlem3  27234  dchrelbas3  27402  dchrzrhmul  27410  dchrmulcl  27413  dchrn0  27414  dchrinvcl  27417  dchrsum2  27432  sum2dchr  27438  qabvexp  27790  ostthlem2  27792  padicabv  27794  ostth2lem2  27798  ostth3  27802  xrge0slmod  33668  zringfrac  33844  ccfldsrarelvec  34061  ccfldextdgrr  34062  constrelextdg2  34137  constrsdrg  34165  2sqr3minply  34170  cos9thpiminplylem6  34177  iistmd  34292  xrge0iifmhm  34329  xrge0pluscn  34330  qqhrhm  34379  cnsrexpcl  43892  cnsrplycl  43894  rngunsnply  43896  amgm2d  44924  amgm3d  44925  amgm4d  44926  cnfldsrngmul  48928  aacllem  50621  amgmlemALT  50623  amgmw2d  50624