Theorem cnfldmul 21355

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21348. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11112	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6663	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7492	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21354	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2760	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   × cxp 5623   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ℂcc 11030   · cmul 11037  ._rcmulr 17215  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cncrngOLD  21382  cnfld1OLD  21387  cndrngOLD  21392  cnflddivOLD  21394  cnfldexp  21397  cnsrng  21398  cnsubrglemOLD  21410  absabv  21417  cnsubrg  21420  cnmsubglem  21423  expmhm  21429  nn0srg  21430  rge0srg  21431  zringmulr  21450  expghm  21468  psgnghm  21573  psgnco  21576  evpmodpmf1o  21589  remulr  21604  mdetralt  22586  clmmul  25055  clmmcl  25065  isclmp  25077  cnlmod  25120  cnncvsmulassdemo  25144  cphsubrglem  25157  cphdivcl  25162  cphabscl  25165  cphsqrtcl2  25166  cphsqrtcl3  25167  ipcau2  25214  plypf1  26190  dvply2gOLD  26265  taylply2OLD  26348  reefgim  26431  efabl  26530  efsubm  26531  amgmlem  26970  amgm  26971  wilthlem2  27049  wilthlem3  27050  dchrelbas3  27218  dchrzrhmul  27226  dchrmulcl  27229  dchrn0  27230  dchrinvcl  27233  dchrsum2  27248  sum2dchr  27254  qabvexp  27606  ostthlem2  27608  padicabv  27610  ostth2lem2  27614  ostth3  27618  xrge0slmod  33426  zringfrac  33632  ccfldsrarelvec  33834  ccfldextdgrr  33835  constrelextdg2  33910  constrsdrg  33938  2sqr3minply  33943  cos9thpiminplylem6  33950  iistmd  34065  xrge0iifmhm  34102  xrge0pluscn  34103  qqhrhm  34152  cnsrexpcl  43614  cnsrplycl  43616  rngunsnply  43618  amgm2d  44646  amgm3d  44647  amgm4d  44648  cnfldsrngmul  48654  aacllem  50291  amgmlemALT  50293  amgmw2d  50294