Theorem cnfldmul 21582

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21575. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11197	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7550	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21581	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2788	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ℂcc 11115   · cmul 11122  ._rcmulr 17335  ℂ_fldccnfld 21574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-cnfld 21575

This theorem is used by:  cnfldexp  21607  cnsrng  21608  absabv  21626  cnsubrg  21629  cnmsubglem  21632  expmhm  21638  nn0srg  21639  rge0srg  21640  zringmulr  21659  expghm  21677  psgnghm  21782  psgnco  21785  evpmodpmf1o  21798  remulr  21813  mdetralt  22817  clmmul  25287  clmmcl  25297  isclmp  25309  cnlmod  25352  cnncvsmulassdemo  25376  cphsubrglem  25389  cphdivcl  25394  cphabscl  25397  cphsqrtcl2  25398  cphsqrtcl3  25399  ipcau2  25446  plypf1  26422  reefgim  26666  efabl  26768  efsubm  26769  amgmlem  27207  amgm  27208  wilthlem2  27286  wilthlem3  27287  dchrelbas3  27455  dchrzrhmul  27463  dchrmulcl  27466  dchrn0  27467  dchrinvcl  27470  dchrsum2  27485  sum2dchr  27491  qabvexp  27843  ostthlem2  27845  padicabv  27847  ostth2lem2  27851  ostth3  27855  xrge0slmod  33734  zringfrac  33910  ccfldsrarelvec  34127  ccfldextdgrr  34128  constrelextdg2  34203  constrsdrg  34231  2sqr3minply  34236  cos9thpiminplylem6  34243  iistmd  34358  xrge0iifmhm  34395  xrge0pluscn  34396  qqhrhm  34445  cnsrexpcl  43952  cnsrplycl  43954  rngunsnply  43956  amgm2d  44984  amgm3d  44985  amgm4d  44986  cnfldsrngmul  48987  aacllem  50680  amgmlemALT  50710  amgmw2d  50711