Theorem cnfldmul 20097

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulex 12376	. 2 ⊢ · ∈ V
2		cnfldstr 20093	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		mulrid 16608	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		snsstp3 4711	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4099	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4099	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20092	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3952	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3924	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3924	. . 3 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16523	. 2 ⊢ ( · ∈ V → · = (.r‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879  {csn 4525  {ctp 4529  ⟨cop 4531   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859  3c3 11681  ;cdc 12086  ∗ccj 14447  abscabs 14585  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  *_𝑟cstv 16559  TopSetcts 16563  lecple 16564  distcds 16566  UnifSetcunif 16567  MetOpencmopn 20081  metUnifcmetu 20082  ℂ_fldccnfld 20091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-cnfld 20092

This theorem is referenced by:  cncrng  20112  cnfld1  20116  cndrng  20120  cnflddiv  20121  cnfldexp  20124  cnsrng  20125  cnsubrglem  20141  absabv  20148  cnsubrg  20151  cnmsubglem  20154  expmhm  20160  nn0srg  20161  rge0srg  20162  zringmulr  20172  expghm  20189  psgnghm  20269  psgnco  20272  evpmodpmf1o  20285  remulr  20300  mdetralt  21213  clmmul  23680  clmmcl  23690  isclmp  23702  cnlmod  23745  cnncvsmulassdemo  23769  cphsubrglem  23782  cphdivcl  23787  cphabscl  23790  cphsqrtcl2  23791  cphsqrtcl3  23792  ipcau2  23838  plypf1  24809  dvply2g  24881  taylply2  24963  reefgim  25045  efabl  25142  efsubm  25143  amgmlem  25575  amgm  25576  wilthlem2  25654  wilthlem3  25655  dchrelbas3  25822  dchrzrhmul  25830  dchrmulcl  25833  dchrn0  25834  dchrinvcl  25837  dchrsum2  25852  sum2dchr  25858  qabvexp  26210  ostthlem2  26212  padicabv  26214  ostth2lem2  26218  ostth3  26222  xrge0slmod  30968  ccfldsrarelvec  31144  ccfldextdgrr  31145  iistmd  31255  xrge0iifmhm  31292  xrge0pluscn  31293  qqhrhm  31340  cnsrexpcl  40109  cnsrplycl  40111  rngunsnply  40117  amgm2d  40904  amgm3d  40905  amgm4d  40906  cnfldsrngmul  44391  aacllem  45329  amgmlemALT  45331  amgmw2d  45332