Theorem cnfldmul 21360

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21353. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11118	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6668	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7498	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21359	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2759	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   × cxp 5629   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ℂcc 11036   · cmul 11043  ._rcmulr 17221  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  cnfldexp  21385  cnsrng  21386  absabv  21404  cnsubrg  21407  cnmsubglem  21410  expmhm  21416  nn0srg  21417  rge0srg  21418  zringmulr  21437  expghm  21455  psgnghm  21560  psgnco  21563  evpmodpmf1o  21576  remulr  21591  mdetralt  22573  clmmul  25042  clmmcl  25052  isclmp  25064  cnlmod  25107  cnncvsmulassdemo  25131  cphsubrglem  25144  cphdivcl  25149  cphabscl  25152  cphsqrtcl2  25153  cphsqrtcl3  25154  ipcau2  25201  plypf1  26177  reefgim  26415  efabl  26514  efsubm  26515  amgmlem  26953  amgm  26954  wilthlem2  27032  wilthlem3  27033  dchrelbas3  27201  dchrzrhmul  27209  dchrmulcl  27212  dchrn0  27213  dchrinvcl  27216  dchrsum2  27231  sum2dchr  27237  qabvexp  27589  ostthlem2  27591  padicabv  27593  ostth2lem2  27597  ostth3  27601  xrge0slmod  33408  zringfrac  33614  ccfldsrarelvec  33815  ccfldextdgrr  33816  constrelextdg2  33891  constrsdrg  33919  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem6  33931  iistmd  34046  xrge0iifmhm  34083  xrge0pluscn  34084  qqhrhm  34133  cnsrexpcl  43593  cnsrplycl  43595  rngunsnply  43597  amgm2d  44625  amgm3d  44626  amgm4d  44627  cnfldsrngmul  48639  aacllem  50276  amgmlemALT  50278  amgmw2d  50279