Theorem cnfldmul 21323

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21316. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11209	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6706	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7538	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21322	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2758	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   × cxp 5652   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11127   · cmul 11134  ._rcmulr 17272  ℂ_fldccnfld 21315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-cnfld 21316

This theorem is referenced by:  cncrngOLD  21352  cnfld1OLD  21357  cndrngOLD  21362  cnflddivOLD  21364  cnfldexp  21367  cnsrng  21368  cnsubrglemOLD  21385  absabv  21392  cnsubrg  21395  cnmsubglem  21398  expmhm  21404  nn0srg  21405  rge0srg  21406  zringmulr  21418  expghm  21436  psgnghm  21540  psgnco  21543  evpmodpmf1o  21556  remulr  21571  mdetralt  22546  clmmul  25026  clmmcl  25036  isclmp  25048  cnlmod  25091  cnncvsmulassdemo  25116  cphsubrglem  25129  cphdivcl  25134  cphabscl  25137  cphsqrtcl2  25138  cphsqrtcl3  25139  ipcau2  25186  plypf1  26169  dvply2gOLD  26245  taylply2OLD  26328  reefgim  26412  efabl  26511  efsubm  26512  amgmlem  26952  amgm  26953  wilthlem2  27031  wilthlem3  27032  dchrelbas3  27201  dchrzrhmul  27209  dchrmulcl  27212  dchrn0  27213  dchrinvcl  27216  dchrsum2  27231  sum2dchr  27237  qabvexp  27589  ostthlem2  27591  padicabv  27593  ostth2lem2  27597  ostth3  27601  xrge0slmod  33363  zringfrac  33569  ccfldsrarelvec  33712  ccfldextdgrr  33713  constrelextdg2  33781  constrsdrg  33809  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem6  33821  iistmd  33933  xrge0iifmhm  33970  xrge0pluscn  33971  qqhrhm  34020  cnsrexpcl  43189  cnsrplycl  43191  rngunsnply  43193  amgm2d  44222  amgm3d  44223  amgm4d  44224  cnfldsrngmul  48138  aacllem  49665  amgmlemALT  49667  amgmw2d  49668