Theorem cnfldmul 21240

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulex 12980	. 2 ⊢ · ∈ V
2		cnfldstr 21236	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		mulridx 17246	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		snsstp3 4821	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4172	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4172	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 21235	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4019	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3991	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3991	. . 3 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17144	. 2 ⊢ ( · ∈ V → · = (.r‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   ≤ cle 11256   − cmin 11451  3c3 12275  ;cdc 12684  ∗ccj 15050  abscabs 15188  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  *_𝑟cstv 17206  TopSetcts 17210  lecple 17211  distcds 17213  UnifSetcunif 17214  MetOpencmopn 21224  metUnifcmetu 21225  ℂ_fldccnfld 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-cnfld 21235

This theorem is referenced by:  cncrng  21256  cnfld1  21260  cndrng  21264  cnflddiv  21265  cnfldexp  21268  cnsrng  21269  cnsubrglem  21285  absabv  21292  cnsubrg  21295  cnmsubglem  21298  expmhm  21304  nn0srg  21305  rge0srg  21306  zringmulr  21318  expghm  21336  psgnghm  21444  psgnco  21447  evpmodpmf1o  21460  remulr  21475  mdetralt  22431  clmmul  24923  clmmcl  24933  isclmp  24945  cnlmod  24988  cnncvsmulassdemo  25013  cphsubrglem  25026  cphdivcl  25031  cphabscl  25034  cphsqrtcl2  25035  cphsqrtcl3  25036  ipcau2  25083  plypf1  26065  dvply2g  26138  taylply2  26220  reefgim  26303  efabl  26400  efsubm  26401  amgmlem  26837  amgm  26838  wilthlem2  26916  wilthlem3  26917  dchrelbas3  27086  dchrzrhmul  27094  dchrmulcl  27097  dchrn0  27098  dchrinvcl  27101  dchrsum2  27116  sum2dchr  27122  qabvexp  27474  ostthlem2  27476  padicabv  27478  ostth2lem2  27482  ostth3  27486  xrge0slmod  32901  ccfldsrarelvec  33202  ccfldextdgrr  33203  iistmd  33348  xrge0iifmhm  33385  xrge0pluscn  33386  qqhrhm  33435  cnsrexpcl  42373  cnsrplycl  42375  rngunsnply  42381  amgm2d  43416  amgm3d  43417  amgm4d  43418  cnfldsrngmul  47003  aacllem  48013  amgmlemALT  48015  amgmw2d  48016