Theorem cnfldmul 20949

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulex 12972	. 2 ⊢ · ∈ V
2		cnfldstr 20945	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		mulridx 17238	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		snsstp3 4821	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4172	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4172	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20944	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4019	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3991	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3991	. . 3 ⊢ {⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17136	. 2 ⊢ ( · ∈ V → · = (.r‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   ≤ cle 11248   − cmin 11443  3c3 12267  ;cdc 12676  ∗ccj 15042  abscabs 15180  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  *_𝑟cstv 17198  TopSetcts 17202  lecple 17203  distcds 17205  UnifSetcunif 17206  MetOpencmopn 20933  metUnifcmetu 20934  ℂ_fldccnfld 20943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-cnfld 20944

This theorem is referenced by:  cncrng  20965  cnfld1  20969  cndrng  20973  cnflddiv  20974  cnfldexp  20977  cnsrng  20978  cnsubrglem  20994  absabv  21001  cnsubrg  21004  cnmsubglem  21007  expmhm  21013  nn0srg  21014  rge0srg  21015  zringmulr  21026  expghm  21044  psgnghm  21132  psgnco  21135  evpmodpmf1o  21148  remulr  21163  mdetralt  22109  clmmul  24590  clmmcl  24600  isclmp  24612  cnlmod  24655  cnncvsmulassdemo  24680  cphsubrglem  24693  cphdivcl  24698  cphabscl  24701  cphsqrtcl2  24702  cphsqrtcl3  24703  ipcau2  24750  plypf1  25725  dvply2g  25797  taylply2  25879  reefgim  25961  efabl  26058  efsubm  26059  amgmlem  26491  amgm  26492  wilthlem2  26570  wilthlem3  26571  dchrelbas3  26738  dchrzrhmul  26746  dchrmulcl  26749  dchrn0  26750  dchrinvcl  26753  dchrsum2  26768  sum2dchr  26774  qabvexp  27126  ostthlem2  27128  padicabv  27130  ostth2lem2  27134  ostth3  27138  xrge0slmod  32458  ccfldsrarelvec  32740  ccfldextdgrr  32741  iistmd  32877  xrge0iifmhm  32914  xrge0pluscn  32915  qqhrhm  32964  cnsrexpcl  41897  cnsrplycl  41899  rngunsnply  41905  amgm2d  42940  amgm3d  42941  amgm4d  42942  cnfldsrngmul  46531  aacllem  47838  amgmlemALT  47840  amgmw2d  47841