Theorem cnfldmul 21429

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21422. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11153	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6691	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7527	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 232	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21428	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2785	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1560   × cxp 5645   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ℂcc 11071   · cmul 11078  ._rcmulr 17287  ℂ_fldccnfld 21421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-cnfld 21422

This theorem is referenced by:  cnfldexp  21454  cnsrng  21455  absabv  21473  cnsubrg  21476  cnmsubglem  21479  expmhm  21485  nn0srg  21486  rge0srg  21487  zringmulr  21506  expghm  21524  psgnghm  21629  psgnco  21632  evpmodpmf1o  21645  remulr  21660  mdetralt  22665  clmmul  25134  clmmcl  25144  isclmp  25156  cnlmod  25199  cnncvsmulassdemo  25223  cphsubrglem  25236  cphdivcl  25241  cphabscl  25244  cphsqrtcl2  25245  cphsqrtcl3  25246  ipcau2  25293  plypf1  26269  reefgim  26510  efabl  26612  efsubm  26613  amgmlem  27051  amgm  27052  wilthlem2  27130  wilthlem3  27131  dchrelbas3  27299  dchrzrhmul  27307  dchrmulcl  27310  dchrn0  27311  dchrinvcl  27314  dchrsum2  27329  sum2dchr  27335  qabvexp  27687  ostthlem2  27689  padicabv  27691  ostth2lem2  27695  ostth3  27699  xrge0slmod  33531  zringfrac  33747  ccfldsrarelvec  33965  ccfldextdgrr  33966  constrelextdg2  34041  constrsdrg  34069  2sqr3minply  34074  cos9thpiminplylem6  34081  iistmd  34196  xrge0iifmhm  34233  xrge0pluscn  34234  qqhrhm  34283  cnsrexpcl  43739  cnsrplycl  43741  rngunsnply  43743  amgm2d  44771  amgm3d  44772  amgm4d  44773  cnfldsrngmul  48782  aacllem  50419  amgmlemALT  50421  amgmw2d  50422