Theorem cnfldmul 21355

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21348. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmul	⊢ · = (.r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldmul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 11109	. . . 4 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6655	. . . 4 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7487	. . 3 ⊢ ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 231	. 2 ⊢ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
6		mpocnfldmul 21354	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2762	1 ⊢ · = (.r‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1547   × cxp 5616   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11027   · cmul 11034  ._rcmulr 17212  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cnfldexp  21380  cnsrng  21381  absabv  21399  cnsubrg  21402  cnmsubglem  21405  expmhm  21411  nn0srg  21412  rge0srg  21413  zringmulr  21432  expghm  21450  psgnghm  21555  psgnco  21558  evpmodpmf1o  21571  remulr  21586  mdetralt  22591  clmmul  25060  clmmcl  25070  isclmp  25082  cnlmod  25125  cnncvsmulassdemo  25149  cphsubrglem  25162  cphdivcl  25167  cphabscl  25170  cphsqrtcl2  25171  cphsqrtcl3  25172  ipcau2  25219  plypf1  26195  reefgim  26433  efabl  26532  efsubm  26533  amgmlem  26971  amgm  26972  wilthlem2  27050  wilthlem3  27051  dchrelbas3  27219  dchrzrhmul  27227  dchrmulcl  27230  dchrn0  27231  dchrinvcl  27234  dchrsum2  27249  sum2dchr  27255  qabvexp  27607  ostthlem2  27609  padicabv  27611  ostth2lem2  27615  ostth3  27619  xrge0slmod  33431  zringfrac  33637  ccfldsrarelvec  33855  ccfldextdgrr  33856  constrelextdg2  33931  constrsdrg  33959  2sqr3minply  33964  cos9thpiminplylem6  33971  iistmd  34086  xrge0iifmhm  34123  xrge0pluscn  34124  qqhrhm  34173  cnsrexpcl  43610  cnsrplycl  43612  rngunsnply  43614  amgm2d  44642  amgm3d  44643  amgm4d  44644  cnfldsrngmul  48654  aacllem  50291  amgmlemALT  50293  amgmw2d  50294