Theorem cnnvs 30766

Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvs.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvs	⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2	1	smfval 30691	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
3		cnnvs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4	3	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5		opex 5411	. . . . 5 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6		absf 15291	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		cnex 11110	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8		fex 7174	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ abs ∈ V
10	5, 9	op1st 7943	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
11	4, 10	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑈) = ⟨ + , · ⟩
12	11	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (2nd ‘(1st ‘𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13		addex 12930	. . 3 ⊢ + ∈ V
14		mulex 12932	. . 3 ⊢ · ∈ V
15	13, 14	op2nd 7944	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
16	2, 12, 15	3eqtrri 2765	1 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934  ℂcc 11027  ℝcr 11028   + caddc 11032   · cmul 11034  abscabs 15187   ·_𝑠OLD cns 30673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-sm 30683

This theorem is referenced by:  cnnvm  30768  ipblnfi  30941