Theorem cnnvs 29622

Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvs.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvs	⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2	1	smfval 29547	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
3		cnnvs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4	3	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5		opex 5421	. . . . 5 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6		absf 15222	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		cnex 11132	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8		fex 7176	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ abs ∈ V
10	5, 9	op1st 7929	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
11	4, 10	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑈) = ⟨ + , · ⟩
12	11	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (2nd ‘(1st ‘𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13		addex 12913	. . 3 ⊢ + ∈ V
14		mulex 12914	. . 3 ⊢ · ∈ V
15	13, 14	op2nd 7930	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
16	2, 12, 15	3eqtrri 2769	1 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ⟨cop 4592  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  ℂcc 11049  ℝcr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  abscabs 15119   ·_𝑠OLD cns 29529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-sm 29539

This theorem is referenced by:  cnnvm  29624  ipblnfi  29797