Theorem cnnvs 31010

Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvs.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvs	⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2	1	smfval 30935	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
3		cnnvs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4	3	fveq2i 6886	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5		opex 5447	. . . . 5 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6		absf 15391	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		cnex 11182	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8		fex 7226	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ abs ∈ V
10	5, 9	op1st 7995	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
11	4, 10	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑈) = ⟨ + , · ⟩
12	11	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (2nd ‘(1st ‘𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13		addex 13014	. . 3 ⊢ + ∈ V
14		mulex 13016	. . 3 ⊢ · ∈ V
15	13, 14	op2nd 7996	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
16	2, 12, 15	3eqtrri 2791	1 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ⟨cop 4596  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986  ℂcc 11099  ℝcr 11100   + caddc 11104   · cmul 11106  abscabs 15287   ·_𝑠OLD cns 30917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-sm 30927

This theorem is referenced by:  cnnvm  31012  ipblnfi  31185