Theorem cnnvs 30662

Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvs.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvs	⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2	1	smfval 30587	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
3		cnnvs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4	3	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5		opex 5407	. . . . 5 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6		absf 15247	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		cnex 11094	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8		fex 7166	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ abs ∈ V
10	5, 9	op1st 7935	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
11	4, 10	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑈) = ⟨ + , · ⟩
12	11	fveq2i 6831	. 2 ⊢ (2nd ‘(1st ‘𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13		addex 12889	. . 3 ⊢ + ∈ V
14		mulex 12891	. . 3 ⊢ · ∈ V
15	13, 14	op2nd 7936	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
16	2, 12, 15	3eqtrri 2761	1 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ⟨cop 4581  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  1^st c1st 7925  2^nd c2nd 7926  ℂcc 11011  ℝcr 11012   + caddc 11016   · cmul 11018  abscabs 15143   ·_𝑠OLD cns 30569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-sm 30579

This theorem is referenced by:  cnnvm  30664  ipblnfi  30837