Theorem cnnvs 29042

Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvs.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvs	⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2	1	smfval 28967	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = (2nd ‘(1st ‘𝑈))
3		cnnvs.6	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
4	3	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5		opex 5379	. . . . 5 ⊢ ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6		absf 15049	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
7		cnex 10952	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
8		fex 7102	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
9	6, 7, 8	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ abs ∈ V
10	5, 9	op1st 7839	. . . 4 ⊢ (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
11	4, 10	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑈) = ⟨ + , · ⟩
12	11	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (2nd ‘(1st ‘𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13		addex 12728	. . 3 ⊢ + ∈ V
14		mulex 12729	. . 3 ⊢ · ∈ V
15	13, 14	op2nd 7840	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
16	2, 12, 15	3eqtrri 2771	1 ⊢ · = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⟨cop 4567  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  1^st c1st 7829  2^nd c2nd 7830  ℂcc 10869  ℝcr 10870   + caddc 10874   · cmul 10876  abscabs 14945   ·_𝑠OLD cns 28949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-sm 28959

This theorem is referenced by:  cnnvm  29044  ipblnfi  29217