Theorem cncph 30957

Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncph.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cncph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem cncph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncph.6	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
3	2	cnnv 30815	. . 3 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec
4		mulm1 11614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
5	4	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
6	5	oveq2d 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
7		negsub 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
8	6, 7	eqtrd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
9	8	fveq2d 6856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
10	9	oveq1d 7396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2))
11	10	oveq2d 7397	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)))
12		sqabsadd 15281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
13		sqabssub 15282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
14	12, 13	oveq12d 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))))
15		abscl 15277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
18		abscl 15277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 14143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
21		addcl 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	syl2an 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
23		2cn 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		cjcl 15104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
25		mulcl 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
26	24, 25	sylan2 601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
27		recl 15109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
30		mulcl 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
31	23, 29, 30	sylancr 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
32	22, 31, 22	ppncand 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
33	14, 32	eqtrd 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
34		2times 12339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
35	34	eqcomd 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
36	22, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
37	33, 36	eqtrd 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
38	11, 37	eqtrd 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
39	38	rgen2 3192	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))
40		addex 12976	. . . 4 ⊢ + ∈ V
41		mulex 12978	. . . 4 ⊢ · ∈ V
42		absf 15337	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
43		cnex 11140	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
44		fex 7195	. . . . 5 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
45	42, 43, 44	mp2an 700	. . . 4 ⊢ abs ∈ V
46		cnaddabloOLD 30719	. . . . . . 7 ⊢ + ∈ AbelOp
47		ablogrpo 30685	. . . . . . 7 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + ∈ GrpOp
49		ax-addf 11138	. . . . . . 7 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
50	49	fdmi 6688	. . . . . 6 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
51	48, 50	grporn 30659	. . . . 5 ⊢ ℂ = ran +
52	51	isphg 30955	. . . 4 ⊢ (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ abs ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))))
53	40, 41, 45, 52	mp3an 1472	. . 3 ⊢ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))))
54	3, 39, 53	mpbir2an 719	. 2 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD
55	1, 54	eqeltri 2848	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  Vcvv 3444  ⟨cop 4578   × cxp 5634  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064   − cmin 11400  -cneg 11401  2c2 12258  ↑cexp 14060  ∗ccj 15095  ℜcre 15096  abscabs 15233  GrpOpcgr 30627  AbelOpcablo 30682  NrmCVeccnv 30722  CPreHil_OLDccphlo 30950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-grpo 30631  df-gid 30632  df-ablo 30683  df-vc 30697  df-nv 30730  df-ph 30951

This theorem is referenced by:  elimphu  30959  cnchl  31054