Theorem cncph 29761

Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncph.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cncph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem cncph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncph.6	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
3	2	cnnv 29619	. . 3 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec
4		mulm1 11596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
6	5	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
7		negsub 11449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
8	6, 7	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
9	8	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
10	9	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2))
11	10	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)))
12		sqabsadd 15167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
13		sqabssub 15168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
14	12, 13	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))))
15		abscl 15163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
18		abscl 15163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 14049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
21		addcl 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
23		2cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		cjcl 14990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
25		mulcl 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
27		recl 14995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
30		mulcl 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
31	23, 29, 30	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
32	22, 31, 22	ppncand 11552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
33	14, 32	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
34		2times 12289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
35	34	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
36	22, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
37	33, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
38	11, 37	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
39	38	rgen2 3194	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))
40		addex 12913	. . . 4 ⊢ + ∈ V
41		mulex 12914	. . . 4 ⊢ · ∈ V
42		absf 15222	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
43		cnex 11132	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
44		fex 7176	. . . . 5 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
45	42, 43, 44	mp2an 690	. . . 4 ⊢ abs ∈ V
46		cnaddabloOLD 29523	. . . . . . 7 ⊢ + ∈ AbelOp
47		ablogrpo 29489	. . . . . . 7 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + ∈ GrpOp
49		ax-addf 11130	. . . . . . 7 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
50	49	fdmi 6680	. . . . . 6 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
51	48, 50	grporn 29463	. . . . 5 ⊢ ℂ = ran +
52	51	isphg 29759	. . . 4 ⊢ (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ abs ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))))
53	40, 41, 45, 52	mp3an 1461	. . 3 ⊢ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))))
54	3, 39, 53	mpbir2an 709	. 2 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD
55	1, 54	eqeltri 2834	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445  ⟨cop 4592   × cxp 5631  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  ↑cexp 13967  ∗ccj 14981  ℜcre 14982  abscabs 15119  GrpOpcgr 29431  AbelOpcablo 29486  NrmCVeccnv 29526  CPreHil_OLDccphlo 29754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-ph 29755

This theorem is referenced by:  elimphu  29763  cnchl  29858