Theorem cncph 31286

Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncph.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cncph	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem cncph

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncph.6	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
3	2	cnnv 31144	. . 3 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec
4		mulm1 11682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
6	5	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
7		negsub 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
8	6, 7	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 − 𝑦))
9	8	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
10	9	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2))
11	10	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)))
12		sqabsadd 15371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
13		sqabssub 15372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
14	12, 13	oveq12d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))))
15		abscl 15367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
18		abscl 15367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 14210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
21		addcl 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
23		2cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		cjcl 15194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
25		mulcl 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
26	24, 25	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
27		recl 15199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
30		mulcl 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
31	23, 29, 30	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
32	22, 31, 22	ppncand 11636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
33	14, 32	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
34		2times 12403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
35	34	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
36	22, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
37	33, 36	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 − 𝑦))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
38	11, 37	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
39	38	rgen2 3204	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))
40		addex 13041	. . . 4 ⊢ + ∈ V
41		mulex 13043	. . . 4 ⊢ · ∈ V
42		absf 15427	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
43		cnex 11208	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
44		fex 7228	. . . . 5 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
45	42, 43, 44	mp2an 705	. . . 4 ⊢ abs ∈ V
46		cnaddabloOLD 31048	. . . . . . 7 ⊢ + ∈ AbelOp
47		ablogrpo 31014	. . . . . . 7 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ + ∈ GrpOp
49		ax-addf 11206	. . . . . . 7 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
50	49	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
51	48, 50	grporn 30988	. . . . 5 ⊢ ℂ = ran +
52	51	isphg 31284	. . . 4 ⊢ (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ abs ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))))
53	40, 41, 45, 52	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))))
54	3, 39, 53	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD
55	1, 54	eqeltri 2858	1 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  -cneg 11469  2c2 12322  ↑cexp 14127  ∗ccj 15185  ℜcre 15186  abscabs 15323  GrpOpcgr 30956  AbelOpcablo 31011  NrmCVeccnv 31051  CPreHil_OLDccphlo 31279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-ph 31280

This theorem is used by:  elimphu  31288  cnchl  31383