MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncph 29547
Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cncph.6 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cncph π‘ˆ ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem cncph
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncph.6 . 2 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
2 eqid 2738 . . . 4 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
32cnnv 29405 . . 3 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec
4 mulm1 11530 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· 𝑦) = -𝑦)
54adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· 𝑦) = -𝑦)
65oveq2d 7366 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)) = (π‘₯ + -𝑦))
7 negsub 11383 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -𝑦) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
86, 7eqtrd 2778 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
98fveq2d 6842 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦))) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
109oveq1d 7365 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))↑2) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))↑2))
1110oveq2d 7366 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))↑2)) = (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))↑2)))
12 sqabsadd 15102 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) = ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))))))
13 sqabssub 15103 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))↑2) = ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) βˆ’ (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))))))
1412, 13oveq12d 7368 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))↑2)) = (((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))))) + ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) βˆ’ (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))))))
15 abscl 15098 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1615recnd 11117 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716sqcld 13976 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
18 abscl 15098 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1918recnd 11117 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2019sqcld 13976 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚)
21 addcl 11067 . . . . . . . . 9 ((((absβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚ ∧ ((absβ€˜π‘¦)↑2) ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) ∈ β„‚)
2217, 20, 21syl2an 597 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) ∈ β„‚)
23 2cn 12162 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
24 cjcl 14924 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
25 mulcl 11069 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π‘¦) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
2624, 25sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
27 recl 14929 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)) ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
2827recnd 11117 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)) ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
30 mulcl 11069 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))) ∈ β„‚)
3123, 29, 30sylancr 588 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))) ∈ β„‚)
3222, 31, 22ppncand 11486 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦))))) + ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) βˆ’ (2 Β· (β„œβ€˜(π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))))) = ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
3314, 32eqtrd 2778 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))↑2)) = ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
34 2times 12223 . . . . . . . 8 ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))) = ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
3534eqcomd 2744 . . . . . . 7 ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) ∈ β„‚ β†’ ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
3622, 35syl 17 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)) + (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
3733, 36eqtrd 2778 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))↑2)) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
3811, 37eqtrd 2778 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))
3938rgen2 3193 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)))
40 addex 12842 . . . 4 + ∈ V
41 mulex 12843 . . . 4 Β· ∈ V
42 absf 15157 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
43 cnex 11066 . . . . 5 β„‚ ∈ V
44 fex 7171 . . . . 5 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ abs ∈ V)
4542, 43, 44mp2an 691 . . . 4 abs ∈ V
46 cnaddabloOLD 29309 . . . . . . 7 + ∈ AbelOp
47 ablogrpo 29275 . . . . . . 7 ( + ∈ AbelOp β†’ + ∈ GrpOp)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 + ∈ GrpOp
49 ax-addf 11064 . . . . . . 7 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
5049fdmi 6676 . . . . . 6 dom + = (β„‚ Γ— β„‚)
5148, 50grporn 29249 . . . . 5 β„‚ = ran +
5251isphg 29545 . . . 4 (( + ∈ V ∧ Β· ∈ V ∧ abs ∈ V) β†’ (⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2))))))
5340, 41, 45, 52mp3an 1462 . . 3 (⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ (((absβ€˜(π‘₯ + 𝑦))↑2) + ((absβ€˜(π‘₯ + (-1 Β· 𝑦)))↑2)) = (2 Β· (((absβ€˜π‘₯)↑2) + ((absβ€˜π‘¦)↑2)))))
543, 39, 53mpbir2an 710 . 2 ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD
551, 54eqeltri 2835 1 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444  βŸ¨cop 4591   Γ— cxp 5629  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  β„‚cc 10983  β„cr 10984  1c1 10986   + caddc 10988   Β· cmul 10990   βˆ’ cmin 11319  -cneg 11320  2c2 12142  β†‘cexp 13896  βˆ—ccj 14915  β„œcre 14916  abscabs 15053  GrpOpcgr 29217  AbelOpcablo 29272  NrmCVeccnv 29312  CPreHilOLDccphlo 29540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-grpo 29221  df-gid 29222  df-ablo 29273  df-vc 29287  df-nv 29320  df-ph 29541
This theorem is referenced by:  elimphu  29549  cnchl  29644
  Copyright terms: Public domain W3C validator