MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvg 28461
Description: The vector addition (group) operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvg.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvg + = ( +𝑣𝑈)

Proof of Theorem cnnvg
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
21vafval 28386 . 2 ( +𝑣𝑈) = (1st ‘(1st𝑈))
3 cnnvg.6 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
43fveq2i 6648 . . . 4 (1st𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5 opex 5321 . . . . 5 ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6 absf 14689 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
7 cnex 10607 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8 fex 6966 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . 5 abs ∈ V
105, 9op1st 7679 . . . 4 (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
114, 10eqtri 2821 . . 3 (1st𝑈) = ⟨ + , · ⟩
1211fveq2i 6648 . 2 (1st ‘(1st𝑈)) = (1st ‘⟨ + , · ⟩)
13 addex 12375 . . 3 + ∈ V
14 mulex 12376 . . 3 · ∈ V
1513, 14op1st 7679 . 2 (1st ‘⟨ + , · ⟩) = +
162, 12, 153eqtrri 2826 1 + = ( +𝑣𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  cop 4531  wf 6320  cfv 6324  1st c1st 7669  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529   · cmul 10531  abscabs 14585   +𝑣 cpv 28368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-va 28378
This theorem is referenced by:  cnnvba  28462  cnnvm  28465  ipblnfi  28638
  Copyright terms: Public domain W3C validator