Theorem nlmdsdir 24907

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdir	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmdsdi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	nlmngp2 24905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 24824	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝐾)
9		nlmdsdi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
11	9, 10	grpsubcl 19142	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
14		nlmdsdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		nlmdsdir.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
16		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
18	14, 15, 16, 2, 9, 17	nmvs 24901	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
19	1, 12, 13, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		nlmlmod 24903	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
23	14, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13	lmodsubdir 21103	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
24	23	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
25	19, 24	eqtr3d 2799	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26		nlmdsdir.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
27	17, 9, 10, 26	ngpds 24829	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
28	4, 7, 8, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
29	28	oveq1d 7431	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
30		nlmngp 24902	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31	30	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
32	14, 2, 16, 9	lmodvscl 21061	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	22, 7, 13, 32	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	14, 2, 16, 9	lmodvscl 21061	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	22, 8, 13, 34	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36		nlmdsdi.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
37	15, 14, 20, 36	ngpds 24829	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
39	25, 29, 38	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   · cmul 11130  Basecbs 17303  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  distcds 17353  Grpcgrp 19056  -_gcsg 19058  LModclmod 21043  normcnm 24801  NrmGrpcngp 24802  NrmModcnlm 24805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-plusg 17357  df-0g 17528  df-topgen 17530  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-lmod 21045  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-xms 24545  df-ms 24546  df-nm 24807  df-ngp 24808  df-nrg 24810  df-nlm 24811

This theorem is used by:  nlmvscnlem2  24910