MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdir 24703
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32nlmngp2 24701 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24612 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑋𝐾)
8 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑌𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (-g𝐹) = (-g𝐹)
119, 10grpsubcl 19038 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1197 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑍𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2737 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 24697 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1373 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
20 eqid 2737 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
21 nlmlmod 24699 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 20918 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
2423fveq2d 6910 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2779 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
2717, 9, 10, 26ngpds 24617 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1373 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
2928oveq1d 7446 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
30 nlmngp 24698 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3130adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 20876 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑍𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1373 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 20876 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐾𝑍𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1373 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
3715, 14, 20, 36ngpds 24617 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2787 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431   · cmul 11160  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  LModclmod 20858  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24706
  Copyright terms: Public domain W3C validator