MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdir 24718
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32nlmngp2 24716 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24627 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑋𝐾)
8 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑌𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2734 . . . . . 6 (-g𝐹) = (-g𝐹)
119, 10grpsubcl 19050 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1195 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑍𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2734 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 24712 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
20 eqid 2734 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
21 nlmlmod 24714 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 20934 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
2423fveq2d 6910 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2776 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
2717, 9, 10, 26ngpds 24632 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
2928oveq1d 7445 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
30 nlmngp 24713 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3130adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 20892 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑍𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 20892 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐾𝑍𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1370 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
3715, 14, 20, 36ngpds 24632 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2784 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430   · cmul 11157  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  LModclmod 20874  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  NrmModcnlm 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nrg 24613  df-nlm 24614
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24721
  Copyright terms: Public domain W3C validator