MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlmdsdir 24543
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmdsdir.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmdsdir.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)))
Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32nlmngp2 24541 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24452 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1191 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2724 . . . . . 6 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
119, 10grpsubcl 18944 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1193 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2724 . . . . 5 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 24537 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
20 eqid 2724 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
21 nlmlmod 24539 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2221adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 20762 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍) = ((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍)))
2423fveq2d 6886 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2766 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
2717, 9, 10, 26ngpds 24457 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = ((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = ((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)))
2928oveq1d 7417 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
30 nlmngp 24538 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
3130adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 20720 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 20720 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
3715, 14, 20, 36ngpds 24457 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2774 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   Β· cmul 11112  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  distcds 17211  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  LModclmod 20702  normcnm 24429  NrmGrpcngp 24430  NrmModcnlm 24433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nrg 24438  df-nlm 24439
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24546
  Copyright terms: Public domain W3C validator