Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β π β NrmMod) |
2 | | nlmdsdi.f |
. . . . . . . 8
β’ πΉ = (Scalarβπ) |
3 | 2 | nlmngp2 24067 |
. . . . . . 7
β’ (π β NrmMod β πΉ β NrmGrp) |
4 | 3 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β πΉ β NrmGrp) |
5 | | ngpgrp 23978 |
. . . . . 6
β’ (πΉ β NrmGrp β πΉ β Grp) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β πΉ β Grp) |
7 | | simpr1 1195 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β π β πΎ) |
8 | | simpr2 1196 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β π β πΎ) |
9 | | nlmdsdi.k |
. . . . . 6
β’ πΎ = (BaseβπΉ) |
10 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(-gβπΉ) = (-gβπΉ) |
11 | 9, 10 | grpsubcl 18835 |
. . . . 5
β’ ((πΉ β Grp β§ π β πΎ β§ π β πΎ) β (π(-gβπΉ)π) β πΎ) |
12 | 6, 7, 8, 11 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (π(-gβπΉ)π) β πΎ) |
13 | | simpr3 1197 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β π β π) |
14 | | nlmdsdi.v |
. . . . 5
β’ π = (Baseβπ) |
15 | | nlmdsdir.n |
. . . . 5
β’ π = (normβπ) |
16 | | nlmdsdi.s |
. . . . 5
β’ Β· = (
Β·π βπ) |
17 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(normβπΉ) =
(normβπΉ) |
18 | 14, 15, 16, 2, 9, 17 | nmvs 24063 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π(-gβπΉ)π) β πΎ β§ π β π) β (πβ((π(-gβπΉ)π) Β· π)) = (((normβπΉ)β(π(-gβπΉ)π)) Β· (πβπ))) |
19 | 1, 12, 13, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (πβ((π(-gβπΉ)π) Β· π)) = (((normβπΉ)β(π(-gβπΉ)π)) Β· (πβπ))) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(-gβπ) = (-gβπ) |
21 | | nlmlmod 24065 |
. . . . . 6
β’ (π β NrmMod β π β LMod) |
22 | 21 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β π β LMod) |
23 | 14, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13 | lmodsubdir 20424 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β ((π(-gβπΉ)π) Β· π) = ((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π))) |
24 | 23 | fveq2d 6850 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (πβ((π(-gβπΉ)π) Β· π)) = (πβ((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
25 | 19, 24 | eqtr3d 2775 |
. 2
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (((normβπΉ)β(π(-gβπΉ)π)) Β· (πβπ)) = (πβ((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
26 | | nlmdsdir.e |
. . . . 5
β’ πΈ = (distβπΉ) |
27 | 17, 9, 10, 26 | ngpds 23983 |
. . . 4
β’ ((πΉ β NrmGrp β§ π β πΎ β§ π β πΎ) β (ππΈπ) = ((normβπΉ)β(π(-gβπΉ)π))) |
28 | 4, 7, 8, 27 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (ππΈπ) = ((normβπΉ)β(π(-gβπΉ)π))) |
29 | 28 | oveq1d 7376 |
. 2
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β ((ππΈπ) Β· (πβπ)) = (((normβπΉ)β(π(-gβπΉ)π)) Β· (πβπ))) |
30 | | nlmngp 24064 |
. . . 4
β’ (π β NrmMod β π β NrmGrp) |
31 | 30 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β π β NrmGrp) |
32 | 14, 2, 16, 9 | lmodvscl 20383 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ π β πΎ β§ π β π) β (π Β· π) β π) |
33 | 22, 7, 13, 32 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (π Β· π) β π) |
34 | 14, 2, 16, 9 | lmodvscl 20383 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ π β πΎ β§ π β π) β (π Β· π) β π) |
35 | 22, 8, 13, 34 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β (π Β· π) β π) |
36 | | nlmdsdi.d |
. . . 4
β’ π· = (distβπ) |
37 | 15, 14, 20, 36 | ngpds 23983 |
. . 3
β’ ((π β NrmGrp β§ (π Β· π) β π β§ (π Β· π) β π) β ((π Β· π)π·(π Β· π)) = (πβ((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
38 | 31, 33, 35, 37 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β ((π Β· π)π·(π Β· π)) = (πβ((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
39 | 25, 29, 38 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β πΎ β§ π β π)) β ((ππΈπ) Β· (πβπ)) = ((π Β· π)π·(π Β· π))) |