Theorem nlmdsdir 24619

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdir	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmdsdi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	nlmngp2 24617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 24536	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝐾)
9		nlmdsdi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
11	9, 10	grpsubcl 19001	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
14		nlmdsdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		nlmdsdir.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
16		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
18	14, 15, 16, 2, 9, 17	nmvs 24613	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
19	1, 12, 13, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
20		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		nlmlmod 24615	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
23	14, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13	lmodsubdir 20875	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
24	23	fveq2d 6879	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
25	19, 24	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26		nlmdsdir.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
27	17, 9, 10, 26	ngpds 24541	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
28	4, 7, 8, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
29	28	oveq1d 7418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
30		nlmngp 24614	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
32	14, 2, 16, 9	lmodvscl 20833	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	22, 7, 13, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	14, 2, 16, 9	lmodvscl 20833	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	22, 8, 13, 34	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36		nlmdsdi.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
37	15, 14, 20, 36	ngpds 24541	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
39	25, 29, 38	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   · cmul 11132  Basecbs 17226  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  distcds 17278  Grpcgrp 18914  -_gcsg 18916  LModclmod 20815  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514  NrmModcnlm 24517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-lmod 20817  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-xms 24257  df-ms 24258  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nrg 24522  df-nlm 24523

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24622