MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlmdsdir 24198
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmdsdir.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmdsdir.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)))
Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32nlmngp2 24196 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24107 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1195 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
119, 10grpsubcl 18902 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1196 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2732 . . . . 5 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 24192 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
20 eqid 2732 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
21 nlmlmod 24194 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2221adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 20529 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍) = ((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍)))
2423fveq2d 6895 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2774 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
2717, 9, 10, 26ngpds 24112 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = ((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = ((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)))
2928oveq1d 7423 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
30 nlmngp 24193 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
3130adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 20488 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 20488 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
3715, 14, 20, 36ngpds 24112 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2782 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   Β· cmul 11114  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  distcds 17205  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  LModclmod 20470  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085  NrmModcnlm 24088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nrg 24093  df-nlm 24094
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24201
  Copyright terms: Public domain W3C validator