Theorem nlmdsdir 23846

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdir	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmdsdi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	nlmngp2 23844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 23755	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝐾)
9		nlmdsdi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
11	9, 10	grpsubcl 18655	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
14		nlmdsdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		nlmdsdir.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
16		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
18	14, 15, 16, 2, 9, 17	nmvs 23840	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
19	1, 12, 13, 18	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		nlmlmod 23842	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
23	14, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13	lmodsubdir 20181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
24	23	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
25	19, 24	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26		nlmdsdir.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
27	17, 9, 10, 26	ngpds 23760	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
28	4, 7, 8, 27	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
29	28	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
30		nlmngp 23841	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
32	14, 2, 16, 9	lmodvscl 20140	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	22, 7, 13, 32	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	14, 2, 16, 9	lmodvscl 20140	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	22, 8, 13, 34	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36		nlmdsdi.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
37	15, 14, 20, 36	ngpds 23760	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
39	25, 29, 38	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   · cmul 10876  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  distcds 16971  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  LModclmod 20123  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  NrmModcnlm 23736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  23849