Theorem nlmdsdir 22811

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdir	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmdsdi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	nlmngp2 22809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 22728	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7		simpr1 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1251	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝐾)
9		nlmdsdi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
11	9, 10	grpsubcl 17808	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1491	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13		simpr3 1253	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
14		nlmdsdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		nlmdsdir.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
16		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
18	14, 15, 16, 2, 9, 17	nmvs 22805	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g‘𝐹)𝑌) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
19	1, 12, 13, 18	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
20		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		nlmlmod 22807	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
23	14, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13	lmodsubdir 19236	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
24	23	fveq2d 6413	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g‘𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
25	19, 24	eqtr3d 2833	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26		nlmdsdir.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
27	17, 9, 10, 26	ngpds 22733	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
28	4, 7, 8, 27	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)))
29	28	oveq1d 6891	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g‘𝐹)𝑌)) · (𝑁‘𝑍)))
30		nlmngp 22806	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31	30	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
32	14, 2, 16, 9	lmodvscl 19195	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	22, 7, 13, 32	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
34	14, 2, 16, 9	lmodvscl 19195	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
35	22, 8, 13, 34	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36		nlmdsdi.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
37	15, 14, 20, 36	ngpds 22733	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1491	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g‘𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
39	25, 29, 38	3eqtr4d 2841	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁‘𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876   · cmul 10227  Basecbs 16181  Scalarcsca 16267   ·_𝑠 cvsca 16268  distcds 16273  Grpcgrp 17735  -_gcsg 17737  LModclmod 19178  normcnm 22706  NrmGrpcngp 22707  NrmModcnlm 22710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-plusg 16277  df-0g 16414  df-topgen 16416  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-lmod 19180  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-xms 22450  df-ms 22451  df-nm 22712  df-ngp 22713  df-nrg 22715  df-nlm 22716

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  22814