Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdir 23277
 Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32nlmngp2 23275 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 23194 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑋𝐾)
8 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑌𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2824 . . . . . 6 (-g𝐹) = (-g𝐹)
119, 10grpsubcl 18168 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑍𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2824 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 23271 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
20 eqid 2824 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
21 nlmlmod 23273 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2221adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 19678 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
2423fveq2d 6655 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2861 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
2717, 9, 10, 26ngpds 23199 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
2928oveq1d 7153 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
30 nlmngp 23272 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3130adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 19637 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑍𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 19637 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐾𝑍𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
3715, 14, 20, 36ngpds 23199 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2869 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   · cmul 10527  Basecbs 16472  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  distcds 16563  Grpcgrp 18092  -gcsg 18094  LModclmod 19620  normcnm 23172  NrmGrpcngp 23173  NrmModcnlm 23176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-topgen 16706  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-lmod 19622  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-xms 22916  df-ms 22917  df-nm 23178  df-ngp 23179  df-nrg 23181  df-nlm 23182 This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  23280
 Copyright terms: Public domain W3C validator