MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlmdsdir 24612
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmdsdir.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmdsdir.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)))
Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32nlmngp2 24610 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24521 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
119, 10grpsubcl 18976 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1194 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2728 . . . . 5 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 24606 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
20 eqid 2728 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
21 nlmlmod 24608 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2221adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 20803 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍) = ((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍)))
2423fveq2d 6901 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘β€˜((𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ) Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2770 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
2717, 9, 10, 26ngpds 24526 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = ((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘‹πΈπ‘Œ) = ((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)))
2928oveq1d 7435 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜(𝑋(-gβ€˜πΉ)π‘Œ)) Β· (π‘β€˜π‘)))
30 nlmngp 24607 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
3130adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 20761 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 20761 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
3715, 14, 20, 36ngpds 24526 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)) = (π‘β€˜((𝑋 Β· 𝑍)(-gβ€˜π‘Š)(π‘Œ Β· 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2778 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘‹πΈπ‘Œ) Β· (π‘β€˜π‘)) = ((𝑋 Β· 𝑍)𝐷(π‘Œ Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   Β· cmul 11144  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  distcds 17242  Grpcgrp 18890  -gcsg 18892  LModclmod 20743  normcnm 24498  NrmGrpcngp 24499  NrmModcnlm 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24615
  Copyright terms: Public domain W3C validator