Theorem nlmvscnlem2 25004

Description: Lemma for nlmvscn 25006. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15763 for continuity of multiplication on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
nlmvscn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
nlmvscn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
nlmvscn.1	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24996	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4		ngpms 24919	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
6		nlmlmod 24997	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		nlmvscn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		nlmvscn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		nlmvscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		nlmvscn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14	10, 11, 12, 13	lmodvscl 21153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		nlmvscn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
17		nlmvscn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 13	lmodvscl 21153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
19	7, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20		nlmvscn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
21	10, 20	mscl 24780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
22	5, 15, 19, 21	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
23	10, 11, 12, 13	lmodvscl 21153	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
25	10, 20	mscl 24780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
26	5, 15, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
27	10, 20	mscl 24780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
28	5, 24, 19, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 11338	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30		nlmvscn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
31	30	rpred 13164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
32	10, 20	mstri 24788	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
33	5, 15, 19, 24, 32	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
34	11	nlmngp2 24999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
35	1, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
36		nlmvscn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
37	13, 36	nmcl 24935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
38	35, 8, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
39	13, 36	nmge0 24936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
40	35, 8, 39	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
41	38, 40	ge0p1rpd 13194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 13164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
43	10, 20	mscl 24780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
44	5, 9, 17, 43	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
46	31	rehalfcld 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
47	10, 12, 11, 13, 20, 36	nlmdsdi 25000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
48	1, 8, 9, 17, 47	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49		msxms 24773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
50	5, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
51	10, 20	xmsge0 24782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
52	50, 9, 17, 51	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
53	38	lep1d 12248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ≤ ((𝐴‘𝐵) + 1))
54	38, 42, 44, 52, 53	lemul1ad 12256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
55	48, 54	eqbrtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56		nlmvscn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57		nlmvscn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
58	56, 57	breqtrdi 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)))
59	44, 46, 41	ltmuldiv2d 13212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))))
60	58, 59	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
61	26, 45, 46, 55, 60	lelttrd 11468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62		ngpms 24919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
63	35, 62	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MetSp)
64		nlmvscn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
65	13, 64	mscl 24780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
66	63, 8, 16, 65	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67		nlmvscn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
68	10, 67	nmcl 24935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
69	3, 9, 68	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
70	30	rphalfcld 13176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
71	70, 41	rpdivcld 13181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
72	57, 71	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
73	72	rpred 13164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
74	69, 73	readdcld 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
75	66, 74	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
76	10, 12, 11, 13, 20, 67, 64	nlmdsdir 25001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
77	1, 8, 16, 17, 76	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
78	10, 67	nmcl 24935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	3, 17, 78	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
80		msxms 24773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
81	63, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
82	13, 64	xmsge0 24782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
83	81, 8, 16, 82	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
84	79, 69	resubcld 11744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ∈ ℝ)
85		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
86	10, 67, 85	nm2dif 24944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
87	3, 17, 9, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
88	67, 10, 85, 20	ngpdsr 24924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
89	3, 9, 17, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
90	87, 89	breqtrrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
91	44, 73, 56	ltled 11458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
92	84, 44, 73, 90, 91	letrd 11467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇)
93	79, 69, 73	lesubadd2d 11915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
94	92, 93	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
95	79, 74, 66, 83, 94	lemul2ad 12257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
96	77, 95	eqbrtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
97		nlmvscn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98		nlmvscn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
99	97, 98	breqtrdi 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
100		0red 11311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
101	10, 67	nmge0 24936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
102	3, 9, 101	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
103	69, 72	ltaddrpd 13197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
104	100, 69, 74, 102, 103	lelttrd 11468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
105		ltmuldiv 12190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
106	66, 46, 74, 104, 105	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
107	99, 106	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
108	28, 75, 46, 96, 107	lelttrd 11468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
109	26, 28, 31, 61, 108	lt2halvesd 12594	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
110	22, 29, 31, 33, 109	lelttrd 11468	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  distcds 17437  -_gcsg 19146  LModclmod 21135  ∞MetSpcxms 24636  MetSpcms 24637  normcnm 24895  NrmGrpcngp 24896  NrmModcnlm 24899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-xrs 17674  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-xms 24639  df-ms 24640  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-nlm 24905

This theorem is used by:  nlmvscnlem1  25005