MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem2 23849
Description: Lemma for nlmvscn 23851. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15305 for continuity of multiplication on . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
nlmvscn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (𝜑𝐵𝐾)
nlmvscn.x (𝜑𝑋𝑉)
nlmvscn.c (𝜑𝐶𝐾)
nlmvscn.y (𝜑𝑌𝑉)
nlmvscn.1 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmngp 23841 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
4 ngpms 23756 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
6 nlmlmod 23842 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 nlmvscn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
9 nlmvscn.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
10 nlmvscn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 nlmvscn.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 nlmvscn.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
13 nlmvscn.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 20140 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
157, 8, 9, 14syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16 nlmvscn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
17 nlmvscn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
1810, 11, 12, 13lmodvscl 20140 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝑌𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
197, 16, 17, 18syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20 nlmvscn.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
2110, 20mscl 23614 . . 3 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
225, 15, 19, 21syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2310, 11, 12, 13lmodvscl 20140 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑌𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
247, 8, 17, 23syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
2510, 20mscl 23614 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
265, 15, 24, 25syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2710, 20mscl 23614 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
285, 24, 19, 27syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2926, 28readdcld 11004 . 2 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30 nlmvscn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3130rpred 12772 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
3210, 20mstri 23622 . . 3 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
3411nlmngp2 23844 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
351, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ NrmGrp)
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (norm‘𝐹)
3713, 36nmcl 23772 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3835, 8, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3913, 36nmge0 23773 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → 0 ≤ (𝐴𝐵))
4035, 8, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐵))
4138, 40ge0p1rpd 12802 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
4241rpred 12772 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ)
4310, 20mscl 23614 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
445, 9, 17, 43syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11005 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
4631rehalfcld 12220 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 23845 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49 msxms 23607 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
505, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
5110, 20xmsge0 23616 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
5250, 9, 17, 51syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
5338lep1d 11906 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≤ ((𝐴𝐵) + 1))
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 11914 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
5548, 54eqbrtrrd 5098 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56 nlmvscn.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57 nlmvscn.t . . . . . 6 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
5856, 57breqtrdi 5115 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)))
5944, 46, 41ltmuldiv2d 12820 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))))
6058, 59mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 11133 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62 ngpms 23756 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
6335, 62syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MetSp)
64 nlmvscn.e . . . . . . 7 𝐸 = (dist‘𝐹)
6513, 64mscl 23614 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝐾𝐶𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
6663, 8, 16, 65syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
6810, 67nmcl 23772 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
693, 9, 68syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
7030rphalfcld 12784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7170, 41rpdivcld 12789 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
7257, 71eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7372rpred 12772 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7469, 73readdcld 11004 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
7566, 74remulcld 11005 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 23846 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵𝐾𝐶𝐾𝑌𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
7810, 67nmcl 23772 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
793, 17, 78syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
80 msxms 23607 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
8163, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ∞MetSp)
8213, 64xmsge0 23616 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝐾𝐶𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
8381, 8, 16, 82syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
8479, 69resubcld 11403 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ∈ ℝ)
85 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
8610, 67, 85nm2dif 23781 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
873, 17, 9, 86syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
8867, 10, 85, 20ngpdsr 23761 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
893, 9, 17, 88syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
9087, 89breqtrrd 5102 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
9144, 73, 56ltled 11123 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
9284, 44, 73, 90, 91letrd 11132 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ 𝑇)
9379, 69, 73lesubadd2d 11574 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
9492, 93mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝑋) + 𝑇))
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 11915 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
9677, 95eqbrtrrd 5098 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
97 nlmvscn.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98 nlmvscn.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
9997, 98breqtrdi 5115 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
100 0red 10978 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10110, 67nmge0 23773 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝑋))
1023, 9, 101syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑋))
10369, 72ltaddrpd 12805 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 11133 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
105 ltmuldiv 11848 . . . . . 6 (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))))
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))))
10799, 106mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 11133 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 12221 . 2 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 11133 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12730  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  distcds 16971  -gcsg 18579  LModclmod 20123  ∞MetSpcxms 23470  MetSpcms 23471  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  NrmModcnlm 23736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-xrs 17213  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  23850
  Copyright terms: Public domain W3C validator