Theorem nlmvscnlem2 24600

Description: Lemma for nlmvscn 24602. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15503 for continuity of multiplication on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
nlmvscn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
nlmvscn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
nlmvscn.1	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24592	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4		ngpms 24515	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
6		nlmlmod 24593	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		nlmvscn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		nlmvscn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		nlmvscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		nlmvscn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14	10, 11, 12, 13	lmodvscl 20811	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		nlmvscn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
17		nlmvscn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 13	lmodvscl 20811	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
19	7, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20		nlmvscn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
21	10, 20	mscl 24376	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
22	5, 15, 19, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
23	10, 11, 12, 13	lmodvscl 20811	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
25	10, 20	mscl 24376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
26	5, 15, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
27	10, 20	mscl 24376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
28	5, 24, 19, 27	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 11141	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30		nlmvscn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
31	30	rpred 12934	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
32	10, 20	mstri 24384	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
33	5, 15, 19, 24, 32	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
34	11	nlmngp2 24595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
35	1, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
36		nlmvscn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
37	13, 36	nmcl 24531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
38	35, 8, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
39	13, 36	nmge0 24532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
40	35, 8, 39	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
41	38, 40	ge0p1rpd 12964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
43	10, 20	mscl 24376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
44	5, 9, 17, 43	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
46	31	rehalfcld 12368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
47	10, 12, 11, 13, 20, 36	nlmdsdi 24596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
48	1, 8, 9, 17, 47	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49		msxms 24369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
50	5, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
51	10, 20	xmsge0 24378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
52	50, 9, 17, 51	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
53	38	lep1d 12053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ≤ ((𝐴‘𝐵) + 1))
54	38, 42, 44, 52, 53	lemul1ad 12061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
55	48, 54	eqbrtrrd 5113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56		nlmvscn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57		nlmvscn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
58	56, 57	breqtrdi 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)))
59	44, 46, 41	ltmuldiv2d 12982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))))
60	58, 59	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
61	26, 45, 46, 55, 60	lelttrd 11271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62		ngpms 24515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
63	35, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MetSp)
64		nlmvscn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
65	13, 64	mscl 24376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
66	63, 8, 16, 65	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67		nlmvscn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
68	10, 67	nmcl 24531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
69	3, 9, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
70	30	rphalfcld 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
71	70, 41	rpdivcld 12951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
72	57, 71	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
73	72	rpred 12934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
74	69, 73	readdcld 11141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
75	66, 74	remulcld 11142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
76	10, 12, 11, 13, 20, 67, 64	nlmdsdir 24597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
77	1, 8, 16, 17, 76	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
78	10, 67	nmcl 24531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	3, 17, 78	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
80		msxms 24369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
81	63, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
82	13, 64	xmsge0 24378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
83	81, 8, 16, 82	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
84	79, 69	resubcld 11545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ∈ ℝ)
85		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
86	10, 67, 85	nm2dif 24540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
87	3, 17, 9, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
88	67, 10, 85, 20	ngpdsr 24520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
89	3, 9, 17, 88	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
90	87, 89	breqtrrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
91	44, 73, 56	ltled 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
92	84, 44, 73, 90, 91	letrd 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇)
93	79, 69, 73	lesubadd2d 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
94	92, 93	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
95	79, 74, 66, 83, 94	lemul2ad 12062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
96	77, 95	eqbrtrrd 5113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
97		nlmvscn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98		nlmvscn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
99	97, 98	breqtrdi 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
100		0red 11115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
101	10, 67	nmge0 24532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
102	3, 9, 101	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
103	69, 72	ltaddrpd 12967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
104	100, 69, 74, 102, 103	lelttrd 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
105		ltmuldiv 11995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
106	66, 46, 74, 104, 105	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
107	99, 106	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
108	28, 75, 46, 96, 107	lelttrd 11271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
109	26, 28, 31, 61, 108	lt2halvesd 12369	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
110	22, 29, 31, 33, 109	lelttrd 11271	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  2c2 12180  ℝ⁺crp 12890  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  distcds 17170  -_gcsg 18848  LModclmod 20793  ∞MetSpcxms 24232  MetSpcms 24233  normcnm 24491  NrmGrpcngp 24492  NrmModcnlm 24495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-xrs 17406  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-lmod 20795  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-xms 24235  df-ms 24236  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-nrg 24500  df-nlm 24501

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  24601