MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem2 24049
Description: Lemma for nlmvscn 24051. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15478 for continuity of multiplication on . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
nlmvscn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (𝜑𝐵𝐾)
nlmvscn.x (𝜑𝑋𝑉)
nlmvscn.c (𝜑𝐶𝐾)
nlmvscn.y (𝜑𝑌𝑉)
nlmvscn.1 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmngp 24041 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
4 ngpms 23956 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
6 nlmlmod 24042 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 nlmvscn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
9 nlmvscn.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
10 nlmvscn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 nlmvscn.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 nlmvscn.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
13 nlmvscn.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 20339 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
157, 8, 9, 14syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16 nlmvscn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
17 nlmvscn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
1810, 11, 12, 13lmodvscl 20339 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝑌𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
197, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20 nlmvscn.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
2110, 20mscl 23814 . . 3 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
225, 15, 19, 21syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2310, 11, 12, 13lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑌𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
247, 8, 17, 23syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
2510, 20mscl 23814 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
265, 15, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2710, 20mscl 23814 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
285, 24, 19, 27syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2926, 28readdcld 11184 . 2 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30 nlmvscn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3130rpred 12957 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
3210, 20mstri 23822 . . 3 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
3411nlmngp2 24044 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
351, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ NrmGrp)
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (norm‘𝐹)
3713, 36nmcl 23972 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3835, 8, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3913, 36nmge0 23973 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → 0 ≤ (𝐴𝐵))
4035, 8, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐵))
4138, 40ge0p1rpd 12987 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
4241rpred 12957 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ)
4310, 20mscl 23814 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
445, 9, 17, 43syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
4631rehalfcld 12400 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 24045 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49 msxms 23807 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
505, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
5110, 20xmsge0 23816 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
5250, 9, 17, 51syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
5338lep1d 12086 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≤ ((𝐴𝐵) + 1))
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 12094 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
5548, 54eqbrtrrd 5129 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56 nlmvscn.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57 nlmvscn.t . . . . . 6 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
5856, 57breqtrdi 5146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)))
5944, 46, 41ltmuldiv2d 13005 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))))
6058, 59mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 11313 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62 ngpms 23956 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
6335, 62syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MetSp)
64 nlmvscn.e . . . . . . 7 𝐸 = (dist‘𝐹)
6513, 64mscl 23814 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝐾𝐶𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
6663, 8, 16, 65syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
6810, 67nmcl 23972 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
693, 9, 68syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
7030rphalfcld 12969 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7170, 41rpdivcld 12974 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
7257, 71eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7372rpred 12957 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7469, 73readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
7566, 74remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 24046 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵𝐾𝐶𝐾𝑌𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
7810, 67nmcl 23972 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
793, 17, 78syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
80 msxms 23807 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
8163, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ∞MetSp)
8213, 64xmsge0 23816 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝐾𝐶𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
8381, 8, 16, 82syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
8479, 69resubcld 11583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ∈ ℝ)
85 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
8610, 67, 85nm2dif 23981 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
873, 17, 9, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
8867, 10, 85, 20ngpdsr 23961 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
893, 9, 17, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
9087, 89breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
9144, 73, 56ltled 11303 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
9284, 44, 73, 90, 91letrd 11312 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ 𝑇)
9379, 69, 73lesubadd2d 11754 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
9492, 93mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝑋) + 𝑇))
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 12095 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
9677, 95eqbrtrrd 5129 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
97 nlmvscn.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98 nlmvscn.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
9997, 98breqtrdi 5146 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
100 0red 11158 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10110, 67nmge0 23973 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝑋))
1023, 9, 101syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑋))
10369, 72ltaddrpd 12990 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 11313 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
105 ltmuldiv 12028 . . . . . 6 (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))))
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))))
10799, 106mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 11313 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 12401 . 2 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 11313 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  distcds 17142  -gcsg 18750  LModclmod 20322  ∞MetSpcxms 23670  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  NrmModcnlm 23936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-xrs 17384  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  24050
  Copyright terms: Public domain W3C validator