MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem2 24209
Description: Lemma for nlmvscn 24211. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15542 for continuity of multiplication on β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmvscn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmvscn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmvscn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmvscn.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
nlmvscn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmvscn.a 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
nlmvscn.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
nlmvscn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
nlmvscn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
nlmvscn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
nlmvscn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
nlmvscn.1 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐸𝐢) < π‘ˆ)
nlmvscn.2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 nlmngp 24201 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
4 ngpms 24116 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6 nlmlmod 24202 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
71, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 nlmvscn.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 nlmvscn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 nlmvscn.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 nlmvscn.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 nlmvscn.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
13 nlmvscn.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 20493 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
157, 8, 9, 14syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
16 nlmvscn.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
17 nlmvscn.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1810, 11, 12, 13lmodvscl 20493 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
197, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
20 nlmvscn.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
2110, 20mscl 23974 . . 3 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
225, 15, 19, 21syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
2310, 11, 12, 13lmodvscl 20493 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
247, 8, 17, 23syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
2510, 20mscl 23974 . . . 4 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
265, 15, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
2710, 20mscl 23974 . . . 4 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
285, 24, 19, 27syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ∈ ℝ)
2926, 28readdcld 11245 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) + ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ))) ∈ ℝ)
30 nlmvscn.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
3130rpred 13018 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
3210, 20mstri 23982 . . 3 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ ((𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ≀ (((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) + ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ))))
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ≀ (((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) + ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ))))
3411nlmngp2 24204 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
351, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
3713, 36nmcl 24132 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
3835, 8, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
3913, 36nmge0 24133 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
4035, 8, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
4138, 40ge0p1rpd 13048 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) + 1) ∈ ℝ+)
4241rpred 13018 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) + 1) ∈ ℝ)
4310, 20mscl 23974 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘‹π·π‘Œ) ∈ ℝ)
445, 9, 17, 43syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜π΅) + 1) Β· (π‘‹π·π‘Œ)) ∈ ℝ)
4631rehalfcld 12461 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 24205 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π΅) Β· (π‘‹π·π‘Œ)) = ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)))
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) Β· (π‘‹π·π‘Œ)) = ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)))
49 msxms 23967 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ MetSp β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
505, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ∞MetSp)
5110, 20xmsge0 23976 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘‹π·π‘Œ))
5250, 9, 17, 51syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘‹π·π‘Œ))
5338lep1d 12147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π΅) ≀ ((π΄β€˜π΅) + 1))
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 12155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) Β· (π‘‹π·π‘Œ)) ≀ (((π΄β€˜π΅) + 1) Β· (π‘‹π·π‘Œ)))
5548, 54eqbrtrrd 5172 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) ≀ (((π΄β€˜π΅) + 1) Β· (π‘‹π·π‘Œ)))
56 nlmvscn.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < 𝑇)
57 nlmvscn.t . . . . . 6 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
5856, 57breqtrdi 5189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1)))
5944, 46, 41ltmuldiv2d 13066 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((π΄β€˜π΅) + 1) Β· (π‘‹π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2) ↔ (π‘‹π·π‘Œ) < ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))))
6058, 59mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π΄β€˜π΅) + 1) Β· (π‘‹π·π‘Œ)) < (𝑅 / 2))
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 11374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) < (𝑅 / 2))
62 ngpms 24116 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
6335, 62syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
64 nlmvscn.e . . . . . . 7 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
6513, 64mscl 23974 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡𝐸𝐢) ∈ ℝ)
6663, 8, 16, 65syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐸𝐢) ∈ ℝ)
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
6810, 67nmcl 24132 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
693, 9, 68syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
7030rphalfcld 13030 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7170, 41rpdivcld 13035 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1)) ∈ ℝ+)
7257, 71eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
7372rpred 13018 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7469, 73readdcld 11245 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ)
7566, 74remulcld 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡𝐸𝐢) Β· ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) ∈ ℝ)
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 24206 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐡𝐸𝐢) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)))
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡𝐸𝐢) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)))
7810, 67nmcl 24132 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
793, 17, 78syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
80 msxms 23967 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MetSp β†’ 𝐹 ∈ ∞MetSp)
8163, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∞MetSp)
8213, 64xmsge0 23976 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ 0 ≀ (𝐡𝐸𝐢))
8381, 8, 16, 82syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐡𝐸𝐢))
8479, 69resubcld 11644 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
85 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
8610, 67, 85nm2dif 24141 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
873, 17, 9, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) ≀ (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
8867, 10, 85, 20ngpdsr 24121 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
893, 9, 17, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = (π‘β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑋)))
9087, 89breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) ≀ (π‘‹π·π‘Œ))
9144, 73, 56ltled 11364 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) ≀ 𝑇)
9284, 44, 73, 90, 91letrd 11373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) ≀ 𝑇)
9379, 69, 73lesubadd2d 11815 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π‘Œ) βˆ’ (π‘β€˜π‘‹)) ≀ 𝑇 ↔ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)))
9492, 93mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ≀ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 12156 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡𝐸𝐢) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) ≀ ((𝐡𝐸𝐢) Β· ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)))
9677, 95eqbrtrrd 5172 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) ≀ ((𝐡𝐸𝐢) Β· ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)))
97 nlmvscn.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐸𝐢) < π‘ˆ)
98 nlmvscn.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
9997, 98breqtrdi 5189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡𝐸𝐢) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)))
100 0red 11219 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
10110, 67nmge0 24133 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
1023, 9, 101syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
10369, 72ltaddrpd 13051 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 11374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
105 ltmuldiv 12089 . . . . . 6 (((𝐡𝐸𝐢) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))) β†’ (((𝐡𝐸𝐢) Β· ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐡𝐸𝐢) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))))
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐡𝐸𝐢) Β· ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐡𝐸𝐢) < ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))))
10799, 106mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡𝐸𝐢) Β· ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 11374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) < (𝑅 / 2))
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 12462 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐡 Β· π‘Œ)) + ((𝐡 Β· π‘Œ)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ))) < 𝑅)
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 11374 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(𝐢 Β· π‘Œ)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  β„+crp 12976  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  distcds 17208  -gcsg 18823  LModclmod 20475  βˆžMetSpcxms 23830  MetSpcms 23831  normcnm 24092  NrmGrpcngp 24093  NrmModcnlm 24096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-xrs 17450  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nrg 24101  df-nlm 24102
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  24210
  Copyright terms: Public domain W3C validator