Theorem nlmvscnlem2 23860

Description: Lemma for nlmvscn 23862. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15316 for continuity of multiplication on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
nlmvscn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
nlmvscn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
nlmvscn.1	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 23852	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4		ngpms 23767	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
6		nlmlmod 23853	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		nlmvscn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		nlmvscn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		nlmvscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		nlmvscn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14	10, 11, 12, 13	lmodvscl 20151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		nlmvscn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
17		nlmvscn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 13	lmodvscl 20151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
19	7, 16, 17, 18	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20		nlmvscn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
21	10, 20	mscl 23625	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
22	5, 15, 19, 21	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
23	10, 11, 12, 13	lmodvscl 20151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
25	10, 20	mscl 23625	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
26	5, 15, 24, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
27	10, 20	mscl 23625	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
28	5, 24, 19, 27	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 11015	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30		nlmvscn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
31	30	rpred 12783	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
32	10, 20	mstri 23633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
33	5, 15, 19, 24, 32	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
34	11	nlmngp2 23855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
35	1, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
36		nlmvscn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
37	13, 36	nmcl 23783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
38	35, 8, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
39	13, 36	nmge0 23784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
40	35, 8, 39	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
41	38, 40	ge0p1rpd 12813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
43	10, 20	mscl 23625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
44	5, 9, 17, 43	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
46	31	rehalfcld 12231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
47	10, 12, 11, 13, 20, 36	nlmdsdi 23856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
48	1, 8, 9, 17, 47	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49		msxms 23618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
50	5, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
51	10, 20	xmsge0 23627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
52	50, 9, 17, 51	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
53	38	lep1d 11917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ≤ ((𝐴‘𝐵) + 1))
54	38, 42, 44, 52, 53	lemul1ad 11925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
55	48, 54	eqbrtrrd 5103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56		nlmvscn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57		nlmvscn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
58	56, 57	breqtrdi 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)))
59	44, 46, 41	ltmuldiv2d 12831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))))
60	58, 59	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
61	26, 45, 46, 55, 60	lelttrd 11144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62		ngpms 23767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
63	35, 62	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MetSp)
64		nlmvscn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
65	13, 64	mscl 23625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
66	63, 8, 16, 65	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67		nlmvscn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
68	10, 67	nmcl 23783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
69	3, 9, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
70	30	rphalfcld 12795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
71	70, 41	rpdivcld 12800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
72	57, 71	eqeltrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
73	72	rpred 12783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
74	69, 73	readdcld 11015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
75	66, 74	remulcld 11016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
76	10, 12, 11, 13, 20, 67, 64	nlmdsdir 23857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
77	1, 8, 16, 17, 76	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
78	10, 67	nmcl 23783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	3, 17, 78	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
80		msxms 23618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
81	63, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
82	13, 64	xmsge0 23627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
83	81, 8, 16, 82	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
84	79, 69	resubcld 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ∈ ℝ)
85		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
86	10, 67, 85	nm2dif 23792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
87	3, 17, 9, 86	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
88	67, 10, 85, 20	ngpdsr 23772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
89	3, 9, 17, 88	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
90	87, 89	breqtrrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
91	44, 73, 56	ltled 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
92	84, 44, 73, 90, 91	letrd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇)
93	79, 69, 73	lesubadd2d 11585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
94	92, 93	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
95	79, 74, 66, 83, 94	lemul2ad 11926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
96	77, 95	eqbrtrrd 5103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
97		nlmvscn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98		nlmvscn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
99	97, 98	breqtrdi 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
100		0red 10989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
101	10, 67	nmge0 23784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
102	3, 9, 101	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
103	69, 72	ltaddrpd 12816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
104	100, 69, 74, 102, 103	lelttrd 11144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
105		ltmuldiv 11859	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
106	66, 46, 74, 104, 105	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
107	99, 106	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
108	28, 75, 46, 96, 107	lelttrd 11144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
109	26, 28, 31, 61, 108	lt2halvesd 12232	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
110	22, 29, 31, 33, 109	lelttrd 11144	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℝcr 10881  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   · cmul 10887   < clt 11020   ≤ cle 11021   − cmin 11216   / cdiv 11643  2c2 12039  ℝ⁺crp 12741  Basecbs 16923  Scalarcsca 16976   ·_𝑠 cvsca 16977  distcds 16982  -_gcsg 18590  LModclmod 20134  ∞MetSpcxms 23481  MetSpcms 23482  normcnm 23743  NrmGrpcngp 23744  NrmModcnlm 23747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-fz 13251  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-0g 17163  df-topgen 17165  df-xrs 17224  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-sbg 18593  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-lmod 20136  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-xms 23484  df-ms 23485  df-nm 23749  df-ngp 23750  df-nrg 23752  df-nlm 23753

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  23861