Theorem nlmvscnlem2 24951

Description: Lemma for nlmvscn 24953. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 15716 for continuity of multiplication on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
nlmvscn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
nlmvscn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
nlmvscn.1	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmngp 24943	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4		ngpms 24866	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
6		nlmlmod 24944	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		nlmvscn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		nlmvscn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		nlmvscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		nlmvscn.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14	10, 11, 12, 13	lmodvscl 21100	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		nlmvscn.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
17		nlmvscn.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
18	10, 11, 12, 13	lmodvscl 21100	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
19	7, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20		nlmvscn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
21	10, 20	mscl 24727	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
22	5, 15, 19, 21	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
23	10, 11, 12, 13	lmodvscl 21100	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
25	10, 20	mscl 24727	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
26	5, 15, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
27	10, 20	mscl 24727	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
28	5, 24, 19, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 11295	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30		nlmvscn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
31	30	rpred 13119	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
32	10, 20	mstri 24735	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
33	5, 15, 19, 24, 32	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
34	11	nlmngp2 24946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
35	1, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
36		nlmvscn.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
37	13, 36	nmcl 24882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
38	35, 8, 37	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
39	13, 36	nmge0 24883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
40	35, 8, 39	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
41	38, 40	ge0p1rpd 13149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 13119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ)
43	10, 20	mscl 24727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
44	5, 9, 17, 43	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
46	31	rehalfcld 12548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
47	10, 12, 11, 13, 20, 36	nlmdsdi 24947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
48	1, 8, 9, 17, 47	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49		msxms 24720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
50	5, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
51	10, 20	xmsge0 24729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
52	50, 9, 17, 51	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
53	38	lep1d 12203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ≤ ((𝐴‘𝐵) + 1))
54	38, 42, 44, 52, 53	lemul1ad 12211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
55	48, 54	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56		nlmvscn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57		nlmvscn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
58	56, 57	breqtrdi 5146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)))
59	44, 46, 41	ltmuldiv2d 13167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))))
60	58, 59	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
61	26, 45, 46, 55, 60	lelttrd 11425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62		ngpms 24866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
63	35, 62	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MetSp)
64		nlmvscn.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
65	13, 64	mscl 24727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
66	63, 8, 16, 65	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67		nlmvscn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
68	10, 67	nmcl 24882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
69	3, 9, 68	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
70	30	rphalfcld 13131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
71	70, 41	rpdivcld 13136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
72	57, 71	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
73	72	rpred 13119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
74	69, 73	readdcld 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
75	66, 74	remulcld 11296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
76	10, 12, 11, 13, 20, 67, 64	nlmdsdir 24948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
77	1, 8, 16, 17, 76	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
78	10, 67	nmcl 24882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
79	3, 17, 78	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ ℝ)
80		msxms 24720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
81	63, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
82	13, 64	xmsge0 24729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
83	81, 8, 16, 82	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
84	79, 69	resubcld 11699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ∈ ℝ)
85		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
86	10, 67, 85	nm2dif 24891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
87	3, 17, 9, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
88	67, 10, 85, 20	ngpdsr 24871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
89	3, 9, 17, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑋)))
90	87, 89	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
91	44, 73, 56	ltled 11415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
92	84, 44, 73, 90, 91	letrd 11424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇)
93	79, 69, 73	lesubadd2d 11870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑌) − (𝑁‘𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
94	92, 93	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ≤ ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
95	79, 74, 66, 83, 94	lemul2ad 12212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁‘𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
96	77, 95	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
97		nlmvscn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98		nlmvscn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
99	97, 98	breqtrdi 5146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)))
100		0red 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
101	10, 67	nmge0 24883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
102	3, 9, 101	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
103	69, 72	ltaddrpd 13152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
104	100, 69, 74, 102, 103	lelttrd 11425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
105		ltmuldiv 12145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
106	66, 46, 74, 104, 105	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))))
107	99, 106	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
108	28, 75, 46, 96, 107	lelttrd 11425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
109	26, 28, 31, 61, 108	lt2halvesd 12549	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
110	22, 29, 31, 33, 109	lelttrd 11425	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498   / cdiv 11928  2c2 12352  ℝ⁺crp 13075  Basecbs 17334  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  distcds 17384  -_gcsg 19093  LModclmod 21082  ∞MetSpcxms 24583  MetSpcms 24584  normcnm 24842  NrmGrpcngp 24843  NrmModcnlm 24846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-fz 13595  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-0g 17559  df-topgen 17561  df-xrs 17621  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-lmod 21084  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-xms 24586  df-ms 24587  df-nm 24848  df-ngp 24849  df-nrg 24851  df-nlm 24852

This theorem is used by:  nlmvscnlem1  24952