Theorem nlmmul0or 22857

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nlmmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmmul0or	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Proof of Theorem nlmmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmmul0or.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	nlmngp2 22854	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
3	2	3ad2ant1 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4		simp2 1173	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		nlmmul0or.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
7	5, 6	nmcl 22790	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
8	3, 4, 7	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10385	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℂ)
10		nlmngp 22851	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
11	10	3ad2ant1 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
12		simp3 1174	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		nlmmul0or.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
15	13, 14	nmcl 22790	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 12, 15	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10385	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℂ)
18	9, 17	mul0ord 11002	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0)))
19		nlmmul0or.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	13, 14, 19, 1, 5, 6	nmvs 22850	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)))
21	20	eqeq1d 2827	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0))
22		nlmlmod 22852	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
23	13, 1, 19, 5	lmodvscl 19236	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl3an1 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
25		nlmmul0or.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
26	13, 14, 25	nmeq0 22792	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
27	11, 24, 26	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
28	21, 27	bitr3d 273	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
29		nlmmul0or.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
30	5, 6, 29	nmeq0 22792	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
31	3, 4, 30	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
32	13, 14, 25	nmeq0 22792	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
33	11, 12, 32	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
34	31, 33	orbi12d 949	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))
35	18, 28, 34	3bitr3d 301	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308   ·_𝑠 cvsca 16309  0_gc0g 16453  LModclmod 19219  normcnm 22751  NrmGrpcngp 22752  NrmModcnlm 22755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-0g 16455  df-topgen 16457  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-lmod 19221  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-xms 22495  df-ms 22496  df-nm 22757  df-ngp 22758  df-nrg 22760  df-nlm 22761

This theorem is referenced by: (None)