MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmmul0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlmmul0or 24421
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmmul0or.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmmul0or.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmmul0or.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
nlmmul0or.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmmul0or.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmmul0or.o 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
nlmmul0or ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐡 = 0 )))
Proof of Theorem nlmmul0or
StepHypRef Expression
1 nlmmul0or.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21nlmngp2 24418 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
323ad2ant1 1132 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
4 simp2 1136 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
5 nlmmul0or.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
75, 6nmcl 24346 . . . . 5 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
83, 4, 7syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
98recnd 11247 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ β„‚)
10 nlmngp 24415 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
11103ad2ant1 1132 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
12 simp3 1137 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
13 nlmmul0or.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 eqid 2731 . . . . . 6 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
1513, 14nmcl 24346 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) ∈ ℝ)
1611, 12, 15syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) ∈ ℝ)
1716recnd 11247 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) ∈ β„‚)
189, 17mul0ord 11869 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅)) = 0 ↔ (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) = 0 ∨ ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = 0)))
19 nlmmul0or.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2013, 14, 19, 1, 5, 6nmvs 24414 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅)))
2120eqeq1d 2733 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = 0 ↔ (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅)) = 0))
22 nlmlmod 24416 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2313, 1, 19, 5lmodvscl 20633 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
2422, 23syl3an1 1162 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
25 nlmmul0or.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2613, 14, 25nmeq0 24348 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝐡) = 0 ))
2711, 24, 26syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝐡) = 0 ))
2821, 27bitr3d 281 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝐡) = 0 ))
29 nlmmul0or.o . . . . 5 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
305, 6, 29nmeq0 24348 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
313, 4, 30syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
3213, 14, 25nmeq0 24348 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = 0 ))
3311, 12, 32syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = 0 ↔ 𝐡 = 0 ))
3431, 33orbi12d 916 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((((normβ€˜πΉ)β€˜π΄) = 0 ∨ ((normβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐡 = 0 )))
3518, 28, 343bitr3d 309 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐡 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  0cc0 11114   Β· cmul 11119  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  LModclmod 20615  normcnm 24306  NrmGrpcngp 24307  NrmModcnlm 24310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-lmod 20617  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-xms 24047  df-ms 24048  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator