MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmmul0or 24520
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmmul0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmmul0or.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmmul0or.z 0 = (0g𝑊)
nlmmul0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmmul0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmmul0or.o 𝑂 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmmul0or ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝐵 = 0 )))

Proof of Theorem nlmmul0or
StepHypRef Expression
1 nlmmul0or.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21nlmngp2 24517 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
323ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝐴𝐾)
5 nlmmul0or.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
75, 6nmcl 24445 . . . . 5 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
83, 4, 7syl2anc 583 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
98recnd 11249 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℂ)
10 nlmngp 24514 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
11103ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
12 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
13 nlmmul0or.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 eqid 2731 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
1513, 14nmcl 24445 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
1611, 12, 15syl2anc 583 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
1716recnd 11249 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℂ)
189, 17mul0ord 11871 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0)))
19 nlmmul0or.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
2013, 14, 19, 1, 5, 6nmvs 24513 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)))
2120eqeq1d 2733 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0))
22 nlmlmod 24515 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2313, 1, 19, 5lmodvscl 20720 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
2422, 23syl3an1 1162 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
25 nlmmul0or.z . . . . 5 0 = (0g𝑊)
2613, 14, 25nmeq0 24447 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
2711, 24, 26syl2anc 583 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
2821, 27bitr3d 281 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
29 nlmmul0or.o . . . . 5 𝑂 = (0g𝐹)
305, 6, 29nmeq0 24447 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝐾) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
313, 4, 30syl2anc 583 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
3213, 14, 25nmeq0 24447 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
3311, 12, 32syl2anc 583 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
3431, 33orbi12d 916 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂𝐵 = 0 )))
3518, 28, 343bitr3d 309 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝐵 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  cr 11115  0cc0 11116   · cmul 11121  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  LModclmod 20702  normcnm 24405  NrmGrpcngp 24406  NrmModcnlm 24409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-lmod 20704  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-xms 24146  df-ms 24147  df-nm 24411  df-ngp 24412  df-nrg 24414  df-nlm 24415
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator