MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmmul0or 24704
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmmul0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmmul0or.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmmul0or.z 0 = (0g𝑊)
nlmmul0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmmul0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmmul0or.o 𝑂 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmmul0or ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝐵 = 0 )))

Proof of Theorem nlmmul0or
StepHypRef Expression
1 nlmmul0or.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21nlmngp2 24701 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
323ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝐴𝐾)
5 nlmmul0or.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
75, 6nmcl 24629 . . . . 5 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
83, 4, 7syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
98recnd 11289 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℂ)
10 nlmngp 24698 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
11103ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
12 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
13 nlmmul0or.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
1513, 14nmcl 24629 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
1611, 12, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
1716recnd 11289 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℂ)
189, 17mul0ord 11913 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0)))
19 nlmmul0or.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
2013, 14, 19, 1, 5, 6nmvs 24697 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)))
2120eqeq1d 2739 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0))
22 nlmlmod 24699 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2313, 1, 19, 5lmodvscl 20876 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
2422, 23syl3an1 1164 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
25 nlmmul0or.z . . . . 5 0 = (0g𝑊)
2613, 14, 25nmeq0 24631 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
2711, 24, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
2821, 27bitr3d 281 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
29 nlmmul0or.o . . . . 5 𝑂 = (0g𝐹)
305, 6, 29nmeq0 24631 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝐾) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
313, 4, 30syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
3213, 14, 25nmeq0 24631 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
3311, 12, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
3431, 33orbi12d 919 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂𝐵 = 0 )))
3518, 28, 343bitr3d 309 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴𝐾𝐵𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝐵 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LModclmod 20858  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator