Theorem nlmmul0or 24604

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nlmmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmmul0or	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Proof of Theorem nlmmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmmul0or.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	nlmngp2 24601	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		nlmmul0or.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
7	5, 6	nmcl 24537	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11178	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℂ)
10		nlmngp 24598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
12		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		nlmmul0or.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
15	13, 14	nmcl 24537	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 12, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11178	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℂ)
18	9, 17	mul0ord 11802	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0)))
19		nlmmul0or.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	13, 14, 19, 1, 5, 6	nmvs 24597	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)))
21	20	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0))
22		nlmlmod 24599	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
23	13, 1, 19, 5	lmodvscl 20816	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
25		nlmmul0or.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
26	13, 14, 25	nmeq0 24539	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
27	11, 24, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
28	21, 27	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
29		nlmmul0or.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
30	5, 6, 29	nmeq0 24539	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
31	3, 4, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
32	13, 14, 25	nmeq0 24539	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
33	11, 12, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
34	31, 33	orbi12d 918	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))
35	18, 28, 34	3bitr3d 309	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   · cmul 11049  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  LModclmod 20798  normcnm 24497  NrmGrpcngp 24498  NrmModcnlm 24501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-0g 17380  df-topgen 17382  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-lmod 20800  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-xms 24241  df-ms 24242  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507

This theorem is referenced by: (None)