Theorem nlmmul0or 23753

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nlmmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmmul0or	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Proof of Theorem nlmmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmmul0or.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	nlmngp2 23750	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
3	2	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		nlmmul0or.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
7	5, 6	nmcl 23678	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
8	3, 4, 7	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10934	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℂ)
10		nlmngp 23747	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
11	10	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
12		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		nlmmul0or.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
15	13, 14	nmcl 23678	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 12, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10934	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℂ)
18	9, 17	mul0ord 11555	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0)))
19		nlmmul0or.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	13, 14, 19, 1, 5, 6	nmvs 23746	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)))
21	20	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0))
22		nlmlmod 23748	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
23	13, 1, 19, 5	lmodvscl 20055	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl3an1 1161	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
25		nlmmul0or.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
26	13, 14, 25	nmeq0 23680	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
27	11, 24, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
28	21, 27	bitr3d 280	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
29		nlmmul0or.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
30	5, 6, 29	nmeq0 23680	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
31	3, 4, 30	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
32	13, 14, 25	nmeq0 23680	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
33	11, 12, 32	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
34	31, 33	orbi12d 915	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))
35	18, 28, 34	3bitr3d 308	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639  NrmModcnlm 23642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-lmod 20040  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648

This theorem is referenced by: (None)