Theorem idnmhm 24785

Description: The identity operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nmhm.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idnmhm	⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NMHom 𝑆))

Proof of Theorem idnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 24709	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ LMod)
3		0nmhm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
4	3	idlmhm 21041	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 LMHom 𝑆))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 LMHom 𝑆))
6		nlmngp 24708	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
7	3	idnghm 24774	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
9	5, 8	jca 510	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 LMHom 𝑆) ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆)))
10		isnmhm 24777	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NMHom 𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑆 ∈ NrmMod) ∧ (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 LMHom 𝑆) ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))))
11	1, 1, 9, 10	syl21anbrc 1341	1 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NMHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   I cid 5583   ↾ cres 5688  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Basecbs 17234  LModclmod 20858   LMHom clmhm 21019  NrmGrpcngp 24600  NrmModcnlm 24603   NGHom cnghm 24737   NMHom cnmhm 24738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8742  df-map 8865  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-sup 9492  df-inf 9493  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-q 12995  df-rp 13039  df-xneg 13156  df-xadd 13157  df-xmul 13158  df-ico 13394  df-0g 17477  df-topgen 17479  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-grp 18952  df-ghm 19229  df-lmod 20860  df-lmhm 21022  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-top 22910  df-topon 22927  df-topsp 22949  df-bases 22963  df-xms 24340  df-ms 24341  df-nm 24605  df-ngp 24606  df-nlm 24609  df-nmo 24739  df-nghm 24740  df-nmhm 24741

This theorem is referenced by: (None)