Theorem lssnlm 24657

Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnlm	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24633	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24634	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssnlm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20920	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	2, 4	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lssnlm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
7	6	subgngp 24591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
8	1, 5, 7	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
9	6, 3	lsslmod 20923	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
10	2, 9	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	6, 11	resssca 17275	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	11	nlmnrg 24635	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
16	13, 15	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
17	8, 10, 16	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
20	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
21	20	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
22	19, 21	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25	24	subgss 19069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
28	6	subgbas 19072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	23, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	27, 29	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	26, 30	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
36	24, 32, 33, 11, 34, 35	nmvs 24632	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
37	18, 22, 31, 36	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
39	6, 33	ressvsca 17276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
41	40	oveqd 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦))
42	41	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)))
43	2	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
44	11, 33, 34, 3	lssvscl 20918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
45	43, 38, 22, 30, 44	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
47	6, 32, 46	subgnm2 24590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
48	5, 45, 47	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
49	42, 48	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
50	20	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
51	50	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
53	6, 32, 46	subgnm2 24590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
54	5, 30, 53	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
55	52, 54	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
56	37, 49, 55	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
57	56	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
60		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62		eqid 2737	. . 3 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
63	58, 46, 59, 60, 61, 62	isnlm 24631	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
64	17, 57, 63	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   · cmul 11043  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  SubGrpcsubg 19062  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  normcnm 24532  NrmGrpcngp 24533  NrmRingcnrg 24535  NrmModcnlm 24536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-ds 17211  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-topgen 17375  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-xms 24276  df-ms 24277  df-nm 24538  df-ngp 24539  df-nlm 24542

This theorem is referenced by:  lssnvc  24658  cphsscph  25219