Theorem lssnlm 24826

Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnlm	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24802	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24803	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssnlm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 21055	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	2, 4	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lssnlm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
7	6	subgngp 24760	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
8	1, 5, 7	syl2an2r 697	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
9	6, 3	lsslmod 21058	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
10	2, 9	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	6, 11	resssca 17395	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
13	12	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	11	nlmnrg 24804	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
16	13, 15	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
17	8, 10, 16	3jca 1144	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
20	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
21	20	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
22	19, 21	eleqtrrd 2872	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25	24	subgss 19192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
28	6	subgbas 19195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	23, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	27, 29	eleqtrrd 2872	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	26, 30	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
36	24, 32, 33, 11, 34, 35	nmvs 24801	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
37	18, 22, 31, 36	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
39	6, 33	ressvsca 17396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
41	40	oveqd 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦))
42	41	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)))
43	2	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
44	11, 33, 34, 3	lssvscl 21053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
45	43, 38, 22, 30, 44	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
47	6, 32, 46	subgnm2 24759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
48	5, 45, 47	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
49	42, 48	eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
50	20	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
51	50	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
53	6, 32, 46	subgnm2 24759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
54	5, 30, 53	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
55	52, 54	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
56	37, 49, 55	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
57	56	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59		eqid 2769	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
60		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62		eqid 2769	. . 3 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
63	58, 46, 59, 60, 61, 62	isnlm 24800	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
64	17, 57, 63	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   · cmul 11104  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  SubGrpcsubg 19185  LModclmod 20958  LSubSpclss 21029  normcnm 24701  NrmGrpcngp 24702  NrmRingcnrg 24704  NrmModcnlm 24705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-tset 17328  df-ds 17331  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-topgen 17495  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-xms 24445  df-ms 24446  df-nm 24707  df-ngp 24708  df-nlm 24711

This theorem is referenced by:  lssnvc  24827  cphsscph  25378