MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnlm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssnlm 24217
Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lssnlm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssnlm ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
Proof of Theorem lssnlm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24193 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
2 nlmlmod 24194 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lssnlm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
43lsssubg 20567 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
52, 4sylan 580 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
6 lssnlm.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
76subgngp 24143 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
81, 5, 7syl2an2r 683 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
96, 3lsslmod 20570 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
102, 9sylan 580 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
126, 11resssca 17287 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1312adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1411nlmnrg 24195 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
1514adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
1613, 15eqeltrrd 2834 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing)
178, 10, 163jca 1128 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing))
18 simpll 765 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
19 simprl 769 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
2013adantr 481 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
2120fveq2d 6895 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
2219, 21eleqtrrd 2836 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
235adantr 481 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2524subgss 19006 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
27 simprr 771 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
286subgbas 19009 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
3027, 29eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3126, 30sseldd 3983 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
32 eqid 2732 . . . . . 6 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
33 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
34 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
35 eqid 2732 . . . . . 6 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3624, 32, 33, 11, 34, 35nmvs 24192 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
3718, 22, 31, 36syl3anc 1371 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
38 simplr 767 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
396, 33ressvsca 17288 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
4140oveqd 7425 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦))
4241fveq2d 6895 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)))
432ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4411, 33, 34, 3lssvscl 20565 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
4543, 38, 22, 30, 44syl22anc 837 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2732 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘‹) = (normβ€˜π‘‹)
476, 32, 46subgnm2 24142 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
485, 45, 47syl2an2r 683 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
4942, 48eqtr3d 2774 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
5020eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
5150fveq2d 6895 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5251fveq1d 6893 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) = ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯))
536, 32, 46subgnm2 24142 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
545, 30, 53syl2an2r 683 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5552, 54oveq12d 7426 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
5637, 49, 553eqtr4d 2782 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)))
5756ralrimivva 3200 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘‹)((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)))
58 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
59 eqid 2732 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
60 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
61 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
62 eqid 2732 . . 3 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
6358, 46, 59, 60, 61, 62isnlm 24191 . 2 (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘‹)((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦))))
6417, 57, 63sylanbrc 583 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   Β· cmul 11114  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  SubGrpcsubg 18999  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085  NrmRingcnrg 24087  NrmModcnlm 24088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nlm 24094
This theorem is referenced by:  lssnvc  24218  cphsscph  24767
  Copyright terms: Public domain W3C validator