Theorem lssnlm 24645

Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnlm	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24621	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24622	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssnlm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 20908	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	2, 4	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lssnlm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
7	6	subgngp 24579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
8	1, 5, 7	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
9	6, 3	lsslmod 20911	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
10	2, 9	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	6, 11	resssca 17263	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	11	nlmnrg 24623	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
16	13, 15	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
17	8, 10, 16	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
20	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
21	20	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
22	19, 21	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25	24	subgss 19057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
28	6	subgbas 19060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	23, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	27, 29	eleqtrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	26, 30	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
36	24, 32, 33, 11, 34, 35	nmvs 24620	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
37	18, 22, 31, 36	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
39	6, 33	ressvsca 17264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
41	40	oveqd 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦))
42	41	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)))
43	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
44	11, 33, 34, 3	lssvscl 20906	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
45	43, 38, 22, 30, 44	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
47	6, 32, 46	subgnm2 24578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
48	5, 45, 47	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
49	42, 48	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
50	20	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
51	50	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
53	6, 32, 46	subgnm2 24578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
54	5, 30, 53	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
55	52, 54	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
56	37, 49, 55	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
57	56	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
60		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62		eqid 2736	. . 3 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
63	58, 46, 59, 60, 61, 62	isnlm 24619	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
64	17, 57, 63	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   · cmul 11031  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  SubGrpcsubg 19050  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  normcnm 24520  NrmGrpcngp 24521  NrmRingcnrg 24523  NrmModcnlm 24524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-ds 17199  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-topgen 17363  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-xms 24264  df-ms 24265  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-nlm 24530

This theorem is referenced by:  lssnvc  24646  cphsscph  25207