MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssnlm 24737
Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lssnlm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssnlm ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24713 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2 nlmlmod 24714 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3 lssnlm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 20972 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
52, 4sylan 580 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6 lssnlm.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
76subgngp 24663 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
81, 5, 7syl2an2r 685 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
96, 3lsslmod 20975 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
102, 9sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11 eqid 2734 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
126, 11resssca 17388 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1312adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1411nlmnrg 24715 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
1613, 15eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
178, 10, 163jca 1127 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18 simpll 767 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19 simprl 771 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
2013adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
2120fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
2219, 21eleqtrrd 2841 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
235adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2524subgss 19157 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
286subgbas 19160 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
3027, 29eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦𝑈)
3126, 30sseldd 3995 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32 eqid 2734 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33 eqid 2734 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
34 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35 eqid 2734 . . . . . 6 (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
3624, 32, 33, 11, 34, 35nmvs 24712 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
3718, 22, 31, 36syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈𝑆)
396, 33ressvsca 17389 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
4140oveqd 7447 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦))
4241fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)))
432ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
4411, 33, 34, 3lssvscl 20970 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
4543, 38, 22, 30, 44syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46 eqid 2734 . . . . . . 7 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
476, 32, 46subgnm2 24662 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
485, 45, 47syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
4942, 48eqtr3d 2776 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
5020eqcomd 2740 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
5150fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
5251fveq1d 6908 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
536, 32, 46subgnm2 24662 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
545, 30, 53syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
5552, 54oveq12d 7448 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
5637, 49, 553eqtr4d 2784 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
5756ralrimivva 3199 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59 eqid 2734 . . 3 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
60 eqid 2734 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61 eqid 2734 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62 eqid 2734 . . 3 (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
6358, 46, 59, 60, 61, 62isnlm 24711 . 2 (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
6417, 57, 63sylanbrc 583 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430   · cmul 11157  Basecbs 17244  s cress 17273  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  SubGrpcsubg 19150  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  NrmRingcnrg 24607  NrmModcnlm 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nlm 24614
This theorem is referenced by:  lssnvc  24738  cphsscph  25298
  Copyright terms: Public domain W3C validator