MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssnlm 24722
Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lssnlm.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssnlm ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24698 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2 nlmlmod 24699 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3 lssnlm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 20955 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
52, 4sylan 580 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6 lssnlm.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
76subgngp 24648 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
81, 5, 7syl2an2r 685 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
96, 3lsslmod 20958 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
102, 9sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
126, 11resssca 17387 . . . . 5 (𝑈𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1312adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
1411nlmnrg 24700 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
1613, 15eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
178, 10, 163jca 1129 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18 simpll 767 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19 simprl 771 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
2013adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
2120fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
2219, 21eleqtrrd 2844 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
235adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2524subgss 19145 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
286subgbas 19148 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
3027, 29eleqtrrd 2844 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦𝑈)
3126, 30sseldd 3984 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32 eqid 2737 . . . . . 6 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
34 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35 eqid 2737 . . . . . 6 (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
3624, 32, 33, 11, 34, 35nmvs 24697 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
3718, 22, 31, 36syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈𝑆)
396, 33ressvsca 17388 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑋))
4140oveqd 7448 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦))
4241fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)))
432ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
4411, 33, 34, 3lssvscl 20953 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
4543, 38, 22, 30, 44syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46 eqid 2737 . . . . . . 7 (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
476, 32, 46subgnm2 24647 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
485, 45, 47syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
4942, 48eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)))
5020eqcomd 2743 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
5150fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
5251fveq1d 6908 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
536, 32, 46subgnm2 24647 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
545, 30, 53syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
5552, 54oveq12d 7449 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
5637, 49, 553eqtr4d 2787 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
5756ralrimivva 3202 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59 eqid 2737 . . 3 ( ·𝑠𝑋) = ( ·𝑠𝑋)
60 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61 eqid 2737 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62 eqid 2737 . . 3 (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
6358, 46, 59, 60, 61, 62isnlm 24696 . 2 (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
6417, 57, 63sylanbrc 583 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431   · cmul 11160  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  SubGrpcsubg 19138  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599
This theorem is referenced by:  lssnvc  24723  cphsscph  25285
  Copyright terms: Public domain W3C validator