MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssnlm 24088
Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lssnlm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssnlm ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24064 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
2 nlmlmod 24065 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lssnlm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
43lsssubg 20462 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
52, 4sylan 581 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
6 lssnlm.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
76subgngp 24014 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
81, 5, 7syl2an2r 684 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
96, 3lsslmod 20465 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
102, 9sylan 581 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
126, 11resssca 17232 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1312adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1411nlmnrg 24066 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
1514adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
1613, 15eqeltrrd 2835 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing)
178, 10, 163jca 1129 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing))
18 simpll 766 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
19 simprl 770 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
2013adantr 482 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
2120fveq2d 6850 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
2219, 21eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
235adantr 482 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2524subgss 18937 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
286subgbas 18940 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
3027, 29eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3126, 30sseldd 3949 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
32 eqid 2733 . . . . . 6 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
33 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
34 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
35 eqid 2733 . . . . . 6 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3624, 32, 33, 11, 34, 35nmvs 24063 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
3718, 22, 31, 36syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
396, 33ressvsca 17233 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
4140oveqd 7378 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦))
4241fveq2d 6850 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)))
432ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4411, 33, 34, 3lssvscl 20460 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
4543, 38, 22, 30, 44syl22anc 838 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘‹) = (normβ€˜π‘‹)
476, 32, 46subgnm2 24013 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
485, 45, 47syl2an2r 684 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
4942, 48eqtr3d 2775 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
5020eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
5150fveq2d 6850 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5251fveq1d 6848 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) = ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯))
536, 32, 46subgnm2 24013 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
545, 30, 53syl2an2r 684 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5552, 54oveq12d 7379 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
5637, 49, 553eqtr4d 2783 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)))
5756ralrimivva 3194 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘‹)((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)))
58 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
59 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
60 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
61 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
62 eqid 2733 . . 3 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
6358, 46, 59, 60, 61, 62isnlm 24062 . 2 (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘‹)((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦))))
6417, 57, 63sylanbrc 584 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   Β· cmul 11064  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  SubGrpcsubg 18930  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmRingcnrg 23958  NrmModcnlm 23959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-nlm 23965
This theorem is referenced by:  lssnvc  24089  cphsscph  24638
  Copyright terms: Public domain W3C validator