Theorem lssnlm 24858

Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnlm	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24834	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24835	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssnlm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 21078	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	2, 4	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lssnlm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
7	6	subgngp 24792	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
8	1, 5, 7	syl2an2r 697	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
9	6, 3	lsslmod 21081	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
10	2, 9	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	6, 11	resssca 17391	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
13	12	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	11	nlmnrg 24836	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
16	13, 15	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
17	8, 10, 16	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
20	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
22	19, 21	eleqtrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25	24	subgss 19188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
28	6	subgbas 19191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	23, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	27, 29	eleqtrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	26, 30	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
36	24, 32, 33, 11, 34, 35	nmvs 24833	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
37	18, 22, 31, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
39	6, 33	ressvsca 17392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
41	40	oveqd 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦))
42	41	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)))
43	2	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
44	11, 33, 34, 3	lssvscl 21076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
45	43, 38, 22, 30, 44	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
47	6, 32, 46	subgnm2 24791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
48	5, 45, 47	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
49	42, 48	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
50	20	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
51	50	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
53	6, 32, 46	subgnm2 24791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
54	5, 30, 53	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
55	52, 54	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
56	37, 49, 55	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
57	56	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
60		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
63	58, 46, 59, 60, 61, 62	isnlm 24832	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
64	17, 57, 63	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   · cmul 11100  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  SubGrpcsubg 19181  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  normcnm 24733  NrmGrpcngp 24734  NrmRingcnrg 24736  NrmModcnlm 24737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-tset 17324  df-ds 17327  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-topgen 17491  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-xms 24477  df-ms 24478  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-nlm 24743

This theorem is referenced by:  lssnvc  24859  cphsscph  25410