Theorem lssnlm 25020

Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssnlm.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lssnlm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssnlm	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem lssnlm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24996	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24997	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lssnlm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 21232	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	2, 4	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lssnlm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
7	6	subgngp 24954	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
8	1, 5, 7	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
9	6, 3	lsslmod 21235	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
10	2, 9	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	6, 11	resssca 17514	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
14	11	nlmnrg 24998	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
16	13, 15	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing)
17	8, 10, 16	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing))
18		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
19		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)))
20	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
22	19, 21	eleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25	24	subgss 19337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
27		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))
28	6	subgbas 19340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	23, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	27, 29	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
31	26, 30	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
32		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
33		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
34		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
35		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
36	24, 32, 33, 11, 34, 35	nmvs 24995	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
37	18, 22, 31, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
38		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
39	6, 33	ressvsca 17515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
41	40	oveqd 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦))
42	41	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)))
43	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
44	11, 33, 34, 3	lssvscl 21230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
45	43, 38, 22, 30, 44	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑋) = (norm‘𝑋)
47	6, 32, 46	subgnm2 24953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
48	5, 45, 47	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
49	42, 48	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = ((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
50	20	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
51	50	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑊)))
52	51	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) = ((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥))
53	6, 32, 46	subgnm2 24953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
54	5, 30, 53	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘𝑦) = ((norm‘𝑊)‘𝑦))
55	52, 54	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦)))
56	37, 49, 55	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑋))) → ((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
57	56	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦)))
58		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
59		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
60		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
61		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
62		eqid 2761	. . 3 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑋)) = (norm‘(Scalar‘𝑋))
63	58, 46, 59, 60, 61, 62	isnlm 24994	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑋)((norm‘𝑋)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑋))‘𝑥) · ((norm‘𝑋)‘𝑦))))
64	17, 57, 63	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   · cmul 11205  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  SubGrpcsubg 19330  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  normcnm 24895  NrmGrpcngp 24896  NrmRingcnrg 24898  NrmModcnlm 24899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ds 17450  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-xms 24639  df-ms 24640  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nlm 24905

This theorem is used by:  lssnvc  25021  cphsscph  25572