MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssnlm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssnlm 24631
Description: A subspace of a normed module is a normed module. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssnlm.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lssnlm.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssnlm ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
Proof of Theorem lssnlm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24607 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
2 nlmlmod 24608 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 lssnlm.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
43lsssubg 20841 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
52, 4sylan 579 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
6 lssnlm.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
76subgngp 24557 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
81, 5, 7syl2an2r 684 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
96, 3lsslmod 20844 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
102, 9sylan 579 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
126, 11resssca 17324 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1312adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
1411nlmnrg 24609 . . . . 5 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
1514adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ NrmRing)
1613, 15eqeltrrd 2830 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing)
178, 10, 163jca 1126 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing))
18 simpll 766 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
19 simprl 770 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
2013adantr 480 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
2120fveq2d 6901 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
2219, 21eleqtrrd 2832 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
235adantr 480 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2524subgss 19082 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
27 simprr 772 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
286subgbas 19085 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2923, 28syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
3027, 29eleqtrrd 2832 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3126, 30sseldd 3981 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
32 eqid 2728 . . . . . 6 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
33 eqid 2728 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
34 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
35 eqid 2728 . . . . . 6 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3624, 32, 33, 11, 34, 35nmvs 24606 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
3718, 22, 31, 36syl3anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
396, 33ressvsca 17325 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
4140oveqd 7437 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦))
4241fveq2d 6901 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)))
432ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4411, 33, 34, 3lssvscl 20839 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
4543, 38, 22, 30, 44syl22anc 838 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2728 . . . . . . 7 (normβ€˜π‘‹) = (normβ€˜π‘‹)
476, 32, 46subgnm2 24556 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
485, 45, 47syl2an2r 684 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
4942, 48eqtr3d 2770 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦)))
5020eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
5150fveq2d 6901 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5251fveq1d 6899 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) = ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯))
536, 32, 46subgnm2 24556 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
545, 30, 53syl2an2r 684 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5552, 54oveq12d 7438 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
5637, 49, 553eqtr4d 2778 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)))
5756ralrimivva 3197 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘‹)((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦)))
58 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
59 eqid 2728 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
60 eqid 2728 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
61 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
62 eqid 2728 . . 3 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
6358, 46, 59, 60, 61, 62isnlm 24605 . 2 (𝑋 ∈ NrmMod ↔ ((𝑋 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘‹)((normβ€˜π‘‹)β€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)𝑦)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))β€˜π‘₯) Β· ((normβ€˜π‘‹)β€˜π‘¦))))
6417, 57, 63sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   Β· cmul 11144  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  SubGrpcsubg 19075  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  normcnm 24498  NrmGrpcngp 24499  NrmRingcnrg 24501  NrmModcnlm 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nlm 24508
This theorem is referenced by:  lssnvc  24632  cphsscph  25192
  Copyright terms: Public domain W3C validator