Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmmulg 33478
Description: The norm of a group product, provided the β„€-module is normed. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmulg.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmulg.z 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
nmmulg.t Β· = (.gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nmmulg ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem nmmulg
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 zringbas 21336 . . . . 5 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
3 nlmlmod 24546 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ NrmMod β†’ 𝑍 ∈ LMod)
4 nmmulg.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€Modβ€˜π‘…)
54zlmlmod 21409 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑍 ∈ LMod)
63, 5sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmMod β†’ 𝑅 ∈ Abel)
763ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
84zlmsca 21407 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Abel β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ β„€ring = (Scalarβ€˜π‘))
109fveq2d 6888 . . . . 5 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜β„€ring) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)))
112, 10eqtrid 2778 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ β„€ = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)))
121, 11eleqtrd 2829 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)))
13 nmmulg.x . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
144, 13zlmbas 21401 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
15 eqid 2726 . . . 4 (normβ€˜π‘) = (normβ€˜π‘)
16 nmmulg.t . . . . 5 Β· = (.gβ€˜π‘…)
174, 16zlmvsca 21408 . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘)
18 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘)
19 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
20 eqid 2726 . . . 4 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘))
2114, 15, 17, 18, 19, 20nmvs 24544 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘))β€˜π‘€) Β· ((normβ€˜π‘)β€˜π‘‹)))
2212, 21syld3an2 1408 . 2 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((normβ€˜π‘)β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘))β€˜π‘€) Β· ((normβ€˜π‘)β€˜π‘‹)))
23 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
244, 23zlmnm 33476 . . . 4 (𝑅 ∈ Abel β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
257, 24syl 17 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘))
2625fveq1d 6886 . 2 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = ((normβ€˜π‘)β€˜(𝑀 Β· 𝑋)))
27 zzsnm 33469 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (absβ€˜π‘€) = ((normβ€˜β„€ring)β€˜π‘€))
28273ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜π‘€) = ((normβ€˜β„€ring)β€˜π‘€))
299fveq2d 6888 . . . . 5 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (normβ€˜β„€ring) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘)))
3029fveq1d 6886 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((normβ€˜β„€ring)β€˜π‘€) = ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘))β€˜π‘€))
3128, 30eqtrd 2766 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜π‘€) = ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘))β€˜π‘€))
3225fveq1d 6886 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = ((normβ€˜π‘)β€˜π‘‹))
3331, 32oveq12d 7422 . 2 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜π‘‹)) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘))β€˜π‘€) Β· ((normβ€˜π‘)β€˜π‘‹)))
3422, 26, 333eqtr4d 2776 1 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝑀 Β· 𝑋)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (π‘β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Β· cmul 11114  β„€cz 12559  abscabs 15185  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  .gcmg 18993  Abelcabl 19699  LModclmod 20704  β„€ringczring 21329  β„€Modczlm 21383  normcnm 24436  NrmModcnlm 24440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zlm 21387  df-nm 24442  df-nlm 24446
This theorem is referenced by:  zrhnm  33479
  Copyright terms: Public domain W3C validator