Theorem nmmulg 34598

Description: The norm of a group product, provided the ℤ-module is normed. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmulg.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
nmmulg.t	⊢ · = (.g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmmulg	⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem nmmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zringbas 21759	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		nlmlmod 24997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ NrmMod → 𝑍 ∈ LMod)
4		nmmulg.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5	4	zlmlmod 21828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑍 ∈ LMod)
6	3, 5	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ NrmMod → 𝑅 ∈ Abel)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
8	4	zlmsca 21826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑍))
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘ℤring) = (Base‘(Scalar‘𝑍)))
11	2, 10	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ℤ = (Base‘(Scalar‘𝑍)))
12	1, 11	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)))
13		nmmulg.x	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14	4, 13	zlmbas 21823	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
16		nmmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
17	4, 16	zlmvsca 21827	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑍)
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
20		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑍)) = (norm‘(Scalar‘𝑍))
21	14, 15, 17, 18, 19, 20	nmvs 24995	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
22	12, 21	syld3an2 1438	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
23		nmmulg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
24	4, 23	zlmnm 34596	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑁 = (norm‘𝑍))
25	7, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
26	25	fveq1d 6887	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)))
27		zzsnm 34591	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) = ((norm‘ℤring)‘𝑀))
28	27	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑀) = ((norm‘ℤring)‘𝑀))
29	9	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (norm‘ℤring) = (norm‘(Scalar‘𝑍)))
30	29	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((norm‘ℤring)‘𝑀) = ((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀))
31	28, 30	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑀) = ((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀))
32	25	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ((norm‘𝑍)‘𝑋))
33	31, 32	oveq12d 7438	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
34	22, 26, 33	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   · cmul 11205  ℤcz 12693  abscabs 15401  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431  ._gcmg 19277  Abelcabl 19995  LModclmod 21135  ℤ_ringczring 21752  ℤModczlm 21806  normcnm 24895  NrmModcnlm 24899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zlm 21810  df-nm 24901  df-nlm 24905

This theorem is used by:  zrhnm  34599