Theorem nmmulg 34420

Description: The norm of a group product, provided the ℤ-module is normed. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmulg.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
nmmulg.t	⊢ · = (.g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmmulg	⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘𝑋)))

Proof of Theorem nmmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zringbas 21653	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3		nlmlmod 24886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ NrmMod → 𝑍 ∈ LMod)
4		nmmulg.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
5	4	zlmlmod 21722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑍 ∈ LMod)
6	3, 5	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ NrmMod → 𝑅 ∈ Abel)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
8	4	zlmsca 21720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑍))
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
10	9	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘ℤring) = (Base‘(Scalar‘𝑍)))
11	2, 10	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ℤ = (Base‘(Scalar‘𝑍)))
12	1, 11	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)))
13		nmmulg.x	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14	4, 13	zlmbas 21717	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
15		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
16		nmmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
17	4, 16	zlmvsca 21721	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑍)
18		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
19		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
20		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑍)) = (norm‘(Scalar‘𝑍))
21	14, 15, 17, 18, 19, 20	nmvs 24884	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
22	12, 21	syld3an2 1438	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
23		nmmulg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
24	4, 23	zlmnm 34418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑁 = (norm‘𝑍))
25	7, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
26	25	fveq1d 6887	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)))
27		zzsnm 34413	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) = ((norm‘ℤring)‘𝑀))
28	27	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑀) = ((norm‘ℤring)‘𝑀))
29	9	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (norm‘ℤring) = (norm‘(Scalar‘𝑍)))
30	29	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((norm‘ℤring)‘𝑀) = ((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀))
31	28, 30	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (abs‘𝑀) = ((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀))
32	25	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ((norm‘𝑍)‘𝑋))
33	31, 32	oveq12d 7437	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((abs‘𝑀) · (𝑁‘𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
34	22, 26, 33	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((abs‘𝑀) · (𝑁‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   · cmul 11120  ℤcz 12606  abscabs 15309  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335  ._gcmg 19177  Abelcabl 19895  LModclmod 21031  ℤ_ringczring 21646  ℤModczlm 21700  normcnm 24784  NrmModcnlm 24788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-cnfld 21573  df-zring 21647  df-zlm 21704  df-nm 24790  df-nlm 24794

This theorem is used by:  zrhnm  34421