Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmmulg 30610
Description: The norm of a group product, provided the -module is normed. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmulg.x 𝐵 = (Base‘𝑅)
nmmulg.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmulg.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
nmmulg.t · = (.g𝑅)
Assertion
Ref Expression
nmmulg ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((abs‘𝑀) · (𝑁𝑋)))

Proof of Theorem nmmulg
StepHypRef Expression
1 simp2 1128 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 zringbas 20220 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
3 nlmlmod 22890 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ NrmMod → 𝑍 ∈ LMod)
4 nmmulg.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
54zlmlmod 20267 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑍 ∈ LMod)
63, 5sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ NrmMod → 𝑅 ∈ Abel)
763ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Abel)
84zlmsca 20265 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Abel → ℤring = (Scalar‘𝑍))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ℤring = (Scalar‘𝑍))
109fveq2d 6450 . . . . 5 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (Base‘ℤring) = (Base‘(Scalar‘𝑍)))
112, 10syl5eq 2826 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ℤ = (Base‘(Scalar‘𝑍)))
121, 11eleqtrd 2861 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)))
13 nmmulg.x . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
144, 13zlmbas 20262 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
15 eqid 2778 . . . 4 (norm‘𝑍) = (norm‘𝑍)
16 nmmulg.t . . . . 5 · = (.g𝑅)
174, 16zlmvsca 20266 . . . 4 · = ( ·𝑠𝑍)
18 eqid 2778 . . . 4 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
19 eqid 2778 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑍)) = (Base‘(Scalar‘𝑍))
20 eqid 2778 . . . 4 (norm‘(Scalar‘𝑍)) = (norm‘(Scalar‘𝑍))
2114, 15, 17, 18, 19, 20nmvs 22888 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑍)) ∧ 𝑋𝐵) → ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
2212, 21syld3an2 1480 . 2 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
23 nmmulg.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
244, 23zlmnm 30608 . . . 4 (𝑅 ∈ Abel → 𝑁 = (norm‘𝑍))
257, 24syl 17 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 = (norm‘𝑍))
2625fveq1d 6448 . 2 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((norm‘𝑍)‘(𝑀 · 𝑋)))
27 zzsnm 30603 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) = ((norm‘ℤring)‘𝑀))
28273ad2ant2 1125 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (abs‘𝑀) = ((norm‘ℤring)‘𝑀))
299fveq2d 6450 . . . . 5 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (norm‘ℤring) = (norm‘(Scalar‘𝑍)))
3029fveq1d 6448 . . . 4 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((norm‘ℤring)‘𝑀) = ((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀))
3128, 30eqtrd 2814 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (abs‘𝑀) = ((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀))
3225fveq1d 6448 . . 3 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ((norm‘𝑍)‘𝑋))
3331, 32oveq12d 6940 . 2 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((abs‘𝑀) · (𝑁𝑋)) = (((norm‘(Scalar‘𝑍))‘𝑀) · ((norm‘𝑍)‘𝑋)))
3422, 26, 333eqtr4d 2824 1 ((𝑍 ∈ NrmMod ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑀 · 𝑋)) = ((abs‘𝑀) · (𝑁𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922   · cmul 10277  cz 11728  abscabs 14381  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  .gcmg 17927  Abelcabl 18580  LModclmod 19255  ringzring 20214  ℤModczlm 20245  normcnm 22789  NrmModcnlm 22793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zlm 20249  df-nm 22795  df-nlm 22799
This theorem is referenced by:  zrhnm  30611
  Copyright terms: Public domain W3C validator