Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nmhm 23359
 Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0nmhm.1 𝑉 = (Base‘𝑆)
0nmhm.2 0 = (0g𝑇)
0nmhm.f 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
0nmhm.g 𝐺 = (Scalar‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
0nmhm ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem 0nmhm
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 23282 . . 3 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ LMod)
2 nlmlmod 23282 . . 3 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
3 id 22 . . 3 (𝐹 = 𝐺𝐹 = 𝐺)
4 0nmhm.2 . . . 4 0 = (0g𝑇)
5 0nmhm.1 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑆)
6 0nmhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
7 0nmhm.g . . . 4 𝐺 = (Scalar‘𝑇)
84, 5, 6, 70lmhm 19803 . . 3 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
91, 2, 3, 8syl3an 1157 . 2 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nlmngp 23281 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
11 nlmngp 23281 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
125, 40nghm 23345 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1310, 11, 12syl2an 598 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14133adant3 1129 . 2 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15 isnmhm 23350 . . . 4 ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
1615baib 539 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
17163adant3 1129 . 2 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
189, 14, 17mpbir2and 712 1 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {csn 4539   × cxp 5530  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559  0gc0g 16704  LModclmod 19625   LMHom clmhm 19782  NrmGrpcngp 23182  NrmModcnlm 23185   NGHom cnghm 23310   NMHom cnmhm 23311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-ghm 18347  df-mgp 19231  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lmhm 19785  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926  df-nm 23187  df-ngp 23188  df-nlm 23191  df-nmo 23312  df-nghm 23313  df-nmhm 23314 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator