Theorem 0nmhm 24627

Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nmhm.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
0nmhm.2	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
0nmhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
0nmhm.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
0nmhm	⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem 0nmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmlmod 24550	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ LMod)
2		nlmlmod 24550	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → 𝐹 = 𝐺)
4		0nmhm.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
5		0nmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
6		0nmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
7		0nmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	0lmhm 20888	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1157	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nlmngp 24549	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
11		nlmngp 24549	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
12	5, 4	0nghm 24613	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
13	10, 11, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		isnmhm 24618	. . . 4 ⊢ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
16	15	baib 535	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
17	16	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
18	9, 14, 17	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   × cxp 5667  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  0_gc0g 17394  LModclmod 20706   LMHom clmhm 20867  NrmGrpcngp 24441  NrmModcnlm 24444   NGHom cnghm 24578   NMHom cnmhm 24579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lmhm 20870  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nlm 24450  df-nmo 24580  df-nghm 24581  df-nmhm 24582

This theorem is referenced by: (None)