Theorem 0nmhm 23919

Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nmhm.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
0nmhm.2	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
0nmhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
0nmhm.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
0nmhm	⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem 0nmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmlmod 23842	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ LMod)
2		nlmlmod 23842	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → 𝐹 = 𝐺)
4		0nmhm.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
5		0nmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
6		0nmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
7		0nmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	0lmhm 20302	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1159	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nlmngp 23841	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
11		nlmngp 23841	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
12	5, 4	0nghm 23905	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		isnmhm 23910	. . . 4 ⊢ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
16	15	baib 536	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
17	16	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
18	9, 14, 17	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  LModclmod 20123   LMHom clmhm 20281  NrmGrpcngp 23733  NrmModcnlm 23736   NGHom cnghm 23870   NMHom cnmhm 23871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nlm 23742  df-nmo 23872  df-nghm 23873  df-nmhm 23874

This theorem is referenced by: (None)