Theorem 0nmhm 24734

Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nmhm.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
0nmhm.2	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
0nmhm.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
0nmhm.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
0nmhm	⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem 0nmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmlmod 24657	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ LMod)
2		nlmlmod 24657	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → 𝐹 = 𝐺)
4		0nmhm.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
5		0nmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
6		0nmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑆)
7		0nmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑇)
8	4, 5, 6, 7	0lmhm 21031	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9	1, 2, 3, 8	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nlmngp 24656	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
11		nlmngp 24656	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
12	5, 4	0nghm 24720	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
13	10, 11, 12	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		isnmhm 24725	. . . 4 ⊢ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
16	15	baib 535	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
17	16	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
18	9, 14, 17	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   × cxp 5624  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218  0_gc0g 17397  LModclmod 20850   LMHom clmhm 21010  NrmGrpcngp 24556  NrmModcnlm 24559   NGHom cnghm 24685   NMHom cnmhm 24686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ico 13299  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-topgen 17401  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ghm 19183  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20852  df-lmhm 21013  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-xms 24299  df-ms 24300  df-nm 24561  df-ngp 24562  df-nlm 24565  df-nmo 24687  df-nghm 24688  df-nmhm 24689

This theorem is referenced by: (None)