MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0nmhm 24171
Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0nmhm.1 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
0nmhm.2 0 = (0gβ€˜π‘‡)
0nmhm.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘†)
0nmhm.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
0nmhm ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))
Proof of Theorem 0nmhm
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 24094 . . 3 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ LMod)
2 nlmlmod 24094 . . 3 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 id 22 . . 3 (𝐹 = 𝐺 β†’ 𝐹 = 𝐺)
4 0nmhm.2 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘‡)
5 0nmhm.1 . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
6 0nmhm.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘†)
7 0nmhm.g . . . 4 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘‡)
84, 5, 6, 70lmhm 20573 . . 3 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
91, 2, 3, 8syl3an 1160 . 2 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nlmngp 24093 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
11 nlmngp 24093 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
125, 40nghm 24157 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1310, 11, 12syl2an 596 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14133adant3 1132 . 2 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15 isnmhm 24162 . . . 4 ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
1615baib 536 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
17163adant3 1132 . 2 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
189, 14, 17mpbir2and 711 1 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4606   Γ— cxp 5651  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Scalarcsca 17165  0gc0g 17350  LModclmod 20393   LMHom clmhm 20552  NrmGrpcngp 23985  NrmModcnlm 23988   NGHom cnghm 24122   NMHom cnmhm 24123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13295  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-0g 17352  df-topgen 17354  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-grp 18780  df-ghm 19035  df-mgp 19926  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lmhm 20555  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-xms 23725  df-ms 23726  df-nm 23990  df-ngp 23991  df-nlm 23994  df-nmo 24124  df-nghm 24125  df-nmhm 24126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator