Theorem nlmdsdi 24646

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdi.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdi	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
3		nlmngp 24642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 24564	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		nlmdsdi.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
11	9, 10	grpsubcl 18996	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
14		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		nlmdsdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		nlmdsdi.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
17		nlmdsdi.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	nmvs 24641	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
19	1, 2, 12, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
20		nlmlmod 24643	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	9, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8	lmodsubdi 20914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍)))
23	22	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
24	19, 23	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
25		nlmdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
26	13, 9, 10, 25	ngpds 24569	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
27	4, 7, 8, 26	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
28	27	oveq2d 7383	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
29	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20873	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	21, 2, 7, 29	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20873	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
32	21, 2, 8, 31	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	13, 9, 10, 25	ngpds 24569	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
34	4, 30, 32, 33	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   · cmul 11043  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  distcds 17229  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  LModclmod 20855  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542  NrmModcnlm 24545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nlm 24551

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24650