Theorem nlmdsdi 24642

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdi.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdi	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
3		nlmngp 24638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 24560	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		nlmdsdi.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
11	9, 10	grpsubcl 18967	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
14		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		nlmdsdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		nlmdsdi.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
17		nlmdsdi.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	nmvs 24637	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
19	1, 2, 12, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
20		nlmlmod 24639	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	9, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8	lmodsubdi 20887	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍)))
23	22	fveq2d 6848	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
24	19, 23	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
25		nlmdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
26	13, 9, 10, 25	ngpds 24565	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
27	4, 7, 8, 26	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
28	27	oveq2d 7386	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
29	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20846	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	21, 2, 7, 29	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20846	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
32	21, 2, 8, 31	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	13, 9, 10, 25	ngpds 24565	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
34	4, 30, 32, 33	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   · cmul 11045  Basecbs 17150  Scalarcsca 17194   ·_𝑠 cvsca 17195  distcds 17200  Grpcgrp 18880  -_gcsg 18882  LModclmod 20828  normcnm 24537  NrmGrpcngp 24538  NrmModcnlm 24541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-topgen 17377  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20830  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-xms 24281  df-ms 24282  df-nm 24543  df-ngp 24544  df-nlm 24547

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24646