Theorem nlmdsdi 24602

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdi.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdi	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
3		nlmngp 24598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 24520	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		nlmdsdi.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
11	9, 10	grpsubcl 18934	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
14		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		nlmdsdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		nlmdsdi.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
17		nlmdsdi.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	nmvs 24597	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
19	1, 2, 12, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
20		nlmlmod 24599	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	9, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8	lmodsubdi 20857	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍)))
23	22	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
24	19, 23	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
25		nlmdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
26	13, 9, 10, 25	ngpds 24525	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
27	4, 7, 8, 26	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
28	27	oveq2d 7385	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
29	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20816	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	21, 2, 7, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20816	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
32	21, 2, 8, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	13, 9, 10, 25	ngpds 24525	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
34	4, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   · cmul 11049  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  distcds 17205  Grpcgrp 18847  -_gcsg 18849  LModclmod 20798  normcnm 24497  NrmGrpcngp 24498  NrmModcnlm 24501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-topgen 17382  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20800  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-xms 24241  df-ms 24242  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nlm 24507

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24606