Theorem nlmdsdi 24702

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmdsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdi.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdi	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝐾)
3		nlmngp 24698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5		ngpgrp 24612	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		nlmdsdi.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
11	9, 10	grpsubcl 19038	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
14		nlmdsdi.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		nlmdsdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		nlmdsdi.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
17		nlmdsdi.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
18	9, 13, 14, 15, 16, 17	nmvs 24697	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝑌(-g‘𝑊)𝑍) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
19	1, 2, 12, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
20		nlmlmod 24699	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	9, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8	lmodsubdi 20917	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍)))
23	22	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
24	19, 23	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
25		nlmdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
26	13, 9, 10, 25	ngpds 24617	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
27	4, 7, 8, 26	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍)))
28	27	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐴‘𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g‘𝑊)𝑍))))
29	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20876	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	21, 2, 7, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31	9, 15, 14, 16	lmodvscl 20876	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
32	21, 2, 8, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
33	13, 9, 10, 25	ngpds 24617	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
34	4, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
35	24, 28, 34	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝐴‘𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   · cmul 11160  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  LModclmod 20858  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24706