MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdi 24597
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.a 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· (π‘Œπ·π‘)) = ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 simpr1 1192 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
3 nlmngp 24593 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24507 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
7 simpr2 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
8 simpr3 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
9 nlmdsdi.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
119, 10grpsubcl 18975 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1369 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
13 eqid 2728 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
14 nlmdsdi.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 nlmdsdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 nlmdsdi.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
17 nlmdsdi.a . . . . 5 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 24592 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))))
191, 2, 12, 18syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))))
20 nlmlmod 24594 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2120adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 20801 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍)) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍)))
2322fveq2d 6901 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
2419, 23eqtr3d 2770 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
25 nlmdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
2613, 9, 10, 25ngpds 24512 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œπ·π‘) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍)))
274, 7, 8, 26syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œπ·π‘) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍)))
2827oveq2d 7436 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· (π‘Œπ·π‘)) = ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))))
299, 15, 14, 16lmodvscl 20760 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3021, 2, 7, 29syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
319, 15, 14, 16lmodvscl 20760 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3221, 2, 8, 31syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3313, 9, 10, 25ngpds 24512 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
344, 30, 32, 33syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
3524, 28, 343eqtr4d 2778 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· (π‘Œπ·π‘)) = ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   Β· cmul 11143  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  distcds 17241  Grpcgrp 18889  -gcsg 18891  LModclmod 20742  normcnm 24484  NrmGrpcngp 24485  NrmModcnlm 24488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-xms 24225  df-ms 24226  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-nlm 24494
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24601
  Copyright terms: Public domain W3C validator