Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 484 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β NrmMod) |
2 | | simpr1 1195 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β πΎ) |
3 | | nlmngp 24064 |
. . . . . . 7
β’ (π β NrmMod β π β NrmGrp) |
4 | 3 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β NrmGrp) |
5 | | ngpgrp 23978 |
. . . . . 6
β’ (π β NrmGrp β π β Grp) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β Grp) |
7 | | simpr2 1196 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β π) |
8 | | simpr3 1197 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β π) |
9 | | nlmdsdi.v |
. . . . . 6
β’ π = (Baseβπ) |
10 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(-gβπ) = (-gβπ) |
11 | 9, 10 | grpsubcl 18835 |
. . . . 5
β’ ((π β Grp β§ π β π β§ π β π) β (π(-gβπ)π) β π) |
12 | 6, 7, 8, 11 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β (π(-gβπ)π) β π) |
13 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(normβπ) =
(normβπ) |
14 | | nlmdsdi.s |
. . . . 5
β’ Β· = (
Β·π βπ) |
15 | | nlmdsdi.f |
. . . . 5
β’ πΉ = (Scalarβπ) |
16 | | nlmdsdi.k |
. . . . 5
β’ πΎ = (BaseβπΉ) |
17 | | nlmdsdi.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (normβπΉ) |
18 | 9, 13, 14, 15, 16, 17 | nmvs 24063 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ π β πΎ β§ (π(-gβπ)π) β π) β ((normβπ)β(π Β· (π(-gβπ)π))) = ((π΄βπ) Β· ((normβπ)β(π(-gβπ)π)))) |
19 | 1, 2, 12, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β ((normβπ)β(π Β· (π(-gβπ)π))) = ((π΄βπ) Β· ((normβπ)β(π(-gβπ)π)))) |
20 | | nlmlmod 24065 |
. . . . . 6
β’ (π β NrmMod β π β LMod) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β π β LMod) |
22 | 9, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8 | lmodsubdi 20423 |
. . . 4
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β (π Β· (π(-gβπ)π)) = ((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π))) |
23 | 22 | fveq2d 6850 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β ((normβπ)β(π Β· (π(-gβπ)π))) = ((normβπ)β((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
24 | 19, 23 | eqtr3d 2775 |
. 2
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β ((π΄βπ) Β· ((normβπ)β(π(-gβπ)π))) = ((normβπ)β((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
25 | | nlmdsdi.d |
. . . . 5
β’ π· = (distβπ) |
26 | 13, 9, 10, 25 | ngpds 23983 |
. . . 4
β’ ((π β NrmGrp β§ π β π β§ π β π) β (ππ·π) = ((normβπ)β(π(-gβπ)π))) |
27 | 4, 7, 8, 26 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β (ππ·π) = ((normβπ)β(π(-gβπ)π))) |
28 | 27 | oveq2d 7377 |
. 2
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β ((π΄βπ) Β· (ππ·π)) = ((π΄βπ) Β· ((normβπ)β(π(-gβπ)π)))) |
29 | 9, 15, 14, 16 | lmodvscl 20383 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ π β πΎ β§ π β π) β (π Β· π) β π) |
30 | 21, 2, 7, 29 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β (π Β· π) β π) |
31 | 9, 15, 14, 16 | lmodvscl 20383 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ π β πΎ β§ π β π) β (π Β· π) β π) |
32 | 21, 2, 8, 31 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β (π Β· π) β π) |
33 | 13, 9, 10, 25 | ngpds 23983 |
. . 3
β’ ((π β NrmGrp β§ (π Β· π) β π β§ (π Β· π) β π) β ((π Β· π)π·(π Β· π)) = ((normβπ)β((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
34 | 4, 30, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β ((π Β· π)π·(π Β· π)) = ((normβπ)β((π Β· π)(-gβπ)(π Β· π)))) |
35 | 24, 28, 34 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ ((π β NrmMod β§ (π β πΎ β§ π β π β§ π β π)) β ((π΄βπ) Β· (ππ·π)) = ((π Β· π)π·(π Β· π))) |