MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdi 23973
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdi.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 simpr1 1195 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑋𝐾)
3 nlmngp 23969 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 23883 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑌𝑉)
8 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑍𝑉)
9 nlmdsdi.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 eqid 2738 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
119, 10grpsubcl 18762 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌(-g𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑌(-g𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
13 eqid 2738 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
14 nlmdsdi.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
15 nlmdsdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16 nlmdsdi.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
17 nlmdsdi.a . . . . 5 𝐴 = (norm‘𝐹)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 23968 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋𝐾 ∧ (𝑌(-g𝑊)𝑍) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))))
191, 2, 12, 18syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))))
20 nlmlmod 23970 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2120adantr 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 20308 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍)))
2322fveq2d 6842 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
2419, 23eqtr3d 2780 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
25 nlmdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
2613, 9, 10, 25ngpds 23888 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍)))
274, 7, 8, 26syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍)))
2827oveq2d 7366 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))))
299, 15, 14, 16lmodvscl 20268 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3021, 2, 7, 29syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
319, 15, 14, 16lmodvscl 20268 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑍𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3221, 2, 8, 31syl3anc 1372 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3313, 9, 10, 25ngpds 23888 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
344, 30, 32, 33syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
3524, 28, 343eqtr4d 2788 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  (class class class)co 7350   · cmul 10990  Basecbs 17019  Scalarcsca 17072   ·𝑠 cvsca 17073  distcds 17078  Grpcgrp 18684  -gcsg 18686  LModclmod 20251  normcnm 23860  NrmGrpcngp 23861  NrmModcnlm 23864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-plusg 17082  df-0g 17259  df-topgen 17261  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-sbg 18689  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-ring 19896  df-lmod 20253  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-xms 23601  df-ms 23602  df-nm 23866  df-ngp 23867  df-nlm 23870
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  23977
  Copyright terms: Public domain W3C validator