MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdi 24068
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmdsdi.a 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· (π‘Œπ·π‘)) = ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
2 simpr1 1195 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
3 nlmngp 24064 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
43adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 23978 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
7 simpr2 1196 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
8 simpr3 1197 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
9 nlmdsdi.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
119, 10grpsubcl 18835 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉)
13 eqid 2733 . . . . 5 (normβ€˜π‘Š) = (normβ€˜π‘Š)
14 nlmdsdi.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 nlmdsdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 nlmdsdi.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
17 nlmdsdi.a . . . . 5 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 24063 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))))
191, 2, 12, 18syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))))
20 nlmlmod 24065 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ LMod)
2120adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 20423 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍)) = ((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍)))
2322fveq2d 6850 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 Β· (π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
2419, 23eqtr3d 2775 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
25 nlmdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
2613, 9, 10, 25ngpds 23983 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œπ·π‘) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍)))
274, 7, 8, 26syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Œπ·π‘) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍)))
2827oveq2d 7377 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· (π‘Œπ·π‘)) = ((π΄β€˜π‘‹) Β· ((normβ€˜π‘Š)β€˜(π‘Œ(-gβ€˜π‘Š)𝑍))))
299, 15, 14, 16lmodvscl 20383 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
3021, 2, 7, 29syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
319, 15, 14, 16lmodvscl 20383 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3221, 2, 8, 31syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
3313, 9, 10, 25ngpds 23983 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
344, 30, 32, 33syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)) = ((normβ€˜π‘Š)β€˜((𝑋 Β· π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 Β· 𝑍))))
3524, 28, 343eqtr4d 2783 1 ((π‘Š ∈ NrmMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((π΄β€˜π‘‹) Β· (π‘Œπ·π‘)) = ((𝑋 Β· π‘Œ)𝐷(𝑋 Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   Β· cmul 11064  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  distcds 17150  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  LModclmod 20365  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmModcnlm 23959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-nlm 23965
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  24072
  Copyright terms: Public domain W3C validator