Theorem ngpocelbl 24641

Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpocelbl.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngpocelbl.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ngpocelbl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpocelbl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ngpocelbl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 24540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 24271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	6	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
8	7	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
10		ngpgrp 24536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16		ngpocelbl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17	2, 16	grpcl 18922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
19	9, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
20	8, 19	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21		elbl2 24327	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
23	3	oveqi 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24		ovres 7571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
25	23, 24	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
26	19, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
27	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28		ngpocelbl.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
29		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
30		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
31	28, 2, 29, 30	ngpdsr 24542	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
32	27, 9, 18, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
33		nlmlmod 24615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34		lmodabl 20864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36	35	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
38	36, 13, 37	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
39	2, 16, 29	ablpncan2 19794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
41	40	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)) = (𝑁‘𝐴))
42	26, 32, 41	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
43	42	breq1d 5129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))
44	22, 43	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   × cxp 5652   ↾ cres 5656  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  distcds 17278  Grpcgrp 18914  -_gcsg 18916  Abelcabl 19760  LModclmod 20815  ∞Metcxmet 21298  Metcmet 21299  ballcbl 21300  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514  NrmModcnlm 24517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193  df-lmod 20817  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-xms 24257  df-ms 24258  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nlm 24523

This theorem is referenced by: (None)