MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ngpocelbl 24212
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngpocelbl.p + = (+gβ€˜πΊ)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24185 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
42, 3ngpmet 24103 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 metxmet 23831 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
76anim1i 615 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1201 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
10 ngpgrp 24099 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜πΊ)
172, 16grpcl 18823 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 512 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 512 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 23887 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 7418 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7569 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
29 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
30 eqid 2732 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 24105 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)))
33 nlmlmod 24186 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 20511 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 19677 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6892 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)) = (π‘β€˜π΄))
4226, 32, 413eqtrd 2776 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
4342breq1d 5157 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
4422, 43bitrd 278 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„*cxr 11243   < clt 11244  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  distcds 17202  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  Abelcabl 19643  LModclmod 20463  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  ballcbl 20923  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmModcnlm 24080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator