MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpocelbl 23307
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p + = (+g𝐺)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 23280 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
42, 3ngpmet 23206 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 22938 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76anim1i 616 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1128 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1197 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝑃𝑋)
10 ngpgrp 23202 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋𝐴𝑋))
14 3anass 1091 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 585 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
172, 16grpcl 18105 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 514 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 514 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 22994 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 7163 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7308 . . . . . 6 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24syl5eq 2868 . . . . 5 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1129 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
29 eqid 2821 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
30 eqid 2821 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 23208 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1367 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
33 nlmlmod 23281 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 19675 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1091 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 585 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 18930 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6668 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)) = (𝑁𝐴))
4226, 32, 413eqtrd 2860 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁𝐴))
4342breq1d 5068 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
4422, 43bitrd 281 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5058   × cxp 5547  cres 5551  cfv 6349  (class class class)co 7150  *cxr 10668   < clt 10669  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  distcds 16568  Grpcgrp 18097  -gcsg 18099  Abelcabl 18901  LModclmod 19628  ∞Metcxmet 20524  Metcmet 20525  ballcbl 20526  normcnm 23180  NrmGrpcngp 23181  NrmModcnlm 23184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nlm 23190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator