MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ngpocelbl 24221
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngpocelbl.p + = (+gβ€˜πΊ)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24194 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
42, 3ngpmet 24112 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 metxmet 23840 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
76anim1i 616 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1202 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
10 ngpgrp 24108 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14 3anass 1096 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜πΊ)
172, 16grpcl 18827 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 513 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 513 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 23896 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 7422 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7573 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24eqtrid 2785 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
29 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
30 eqid 2733 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 24114 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)))
33 nlmlmod 24195 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 20519 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1096 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 19683 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6896 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)) = (π‘β€˜π΄))
4226, 32, 413eqtrd 2777 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
4342breq1d 5159 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
4422, 43bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247   < clt 11248  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  distcds 17206  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmModcnlm 24089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator