MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpocelbl 24740
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p + = (+g𝐺)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24713 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
42, 3ngpmet 24631 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 24359 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76anim1i 615 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝑃𝑋)
10 ngpgrp 24627 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋𝐴𝑋))
14 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
172, 16grpcl 18971 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 511 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 511 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 24415 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 7443 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7598 . . . . . 6 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24eqtrid 2786 . . . . 5 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
29 eqid 2734 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
30 eqid 2734 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 24633 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
33 nlmlmod 24714 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 20923 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 19847 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)) = (𝑁𝐴))
4226, 32, 413eqtrd 2778 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁𝐴))
4342breq1d 5157 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
4422, 43bitrd 279 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147   × cxp 5686  cres 5690  cfv 6562  (class class class)co 7430  *cxr 11291   < clt 11292  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  distcds 17306  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  Abelcabl 19813  LModclmod 20874  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  ballcbl 21368  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  NrmModcnlm 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nlm 24614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator