Theorem ngpocelbl 24599

Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpocelbl.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngpocelbl.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ngpocelbl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpocelbl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ngpocelbl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	ngpmet 24498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 24229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	6	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
8	7	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
10		ngpgrp 24494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
15	12, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16		ngpocelbl.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17	2, 16	grpcl 18880	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
19	9, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
20	8, 19	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21		elbl2 24285	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
23	3	oveqi 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24		ovres 7558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
25	23, 24	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
26	19, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
27	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28		ngpocelbl.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
29		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
30		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
31	28, 2, 29, 30	ngpdsr 24500	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
32	27, 9, 18, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)))
33		nlmlmod 24573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34		lmodabl 20822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36	35	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
38	36, 13, 37	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
39	2, 16, 29	ablpncan2 19752	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃) = 𝐴)
41	40	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g‘𝐺)𝑃)) = (𝑁‘𝐴))
42	26, 32, 41	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
43	42	breq1d 5120	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))
44	22, 43	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁‘𝐴) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  distcds 17236  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  Abelcabl 19718  LModclmod 20773  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257  ballcbl 21258  normcnm 24471  NrmGrpcngp 24472  NrmModcnlm 24475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-nlm 24481

This theorem is referenced by: (None)