MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ngpocelbl 24228
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngpocelbl.p + = (+gβ€˜πΊ)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 24201 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
42, 3ngpmet 24119 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 metxmet 23847 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
76anim1i 615 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1201 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
10 ngpgrp 24115 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
14 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜πΊ)
172, 16grpcl 18829 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 512 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 512 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 23903 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 7424 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7575 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
29 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
30 eqid 2732 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 24121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃(distβ€˜πΊ)(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)))
33 nlmlmod 24202 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 20524 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 19685 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜((𝑃 + 𝐴)(-gβ€˜πΊ)𝑃)) = (π‘β€˜π΄))
4226, 32, 413eqtrd 2776 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (π‘β€˜π΄))
4342breq1d 5158 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
4422, 43bitrd 278 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘β€˜π΄) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„*cxr 11249   < clt 11250  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  distcds 17208  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  Abelcabl 19651  LModclmod 20475  βˆžMetcxmet 20935  Metcmet 20936  ballcbl 20937  normcnm 24092  NrmGrpcngp 24093  NrmModcnlm 24096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nlm 24102
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator