MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpocelbl 22840
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p + = (+g𝐺)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 22813 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
42, 3ngpmet 22739 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 22471 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76anim1i 609 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1163 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1259 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝑃𝑋)
10 ngpgrp 22735 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1164 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1169 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋𝐴𝑋))
14 3anass 1117 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 579 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
172, 16grpcl 17750 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 508 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 508 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 22527 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 6895 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7038 . . . . . 6 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24syl5eq 2849 . . . . 5 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1164 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
29 eqid 2803 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
30 eqid 2803 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 22741 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1491 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
33 nlmlmod 22814 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 19232 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1164 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1117 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 579 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 18540 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6419 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)) = (𝑁𝐴))
4226, 32, 413eqtrd 2841 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁𝐴))
4342breq1d 4857 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
4422, 43bitrd 271 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4847   × cxp 5314  cres 5318  cfv 6105  (class class class)co 6882  *cxr 10366   < clt 10367  Basecbs 16188  +gcplusg 16271  distcds 16280  Grpcgrp 17742  -gcsg 17744  Abelcabl 18513  LModclmod 19185  ∞Metcxmet 20057  Metcmet 20058  ballcbl 20059  normcnm 22713  NrmGrpcngp 22714  NrmModcnlm 22717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-sup 8594  df-inf 8595  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981  df-nn 11317  df-2 11380  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-q 12038  df-rp 12079  df-xneg 12197  df-xadd 12198  df-xmul 12199  df-ndx 16191  df-slot 16192  df-base 16194  df-sets 16195  df-plusg 16284  df-0g 16421  df-topgen 16423  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-grp 17745  df-minusg 17746  df-sbg 17747  df-cmn 18514  df-abl 18515  df-mgp 18810  df-ur 18822  df-ring 18869  df-lmod 19187  df-psmet 20064  df-xmet 20065  df-met 20066  df-bl 20067  df-mopn 20068  df-top 21031  df-topon 21048  df-topsp 21070  df-bases 21083  df-xms 22457  df-ms 22458  df-nm 22719  df-ngp 22720  df-nlm 22723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator