Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpocelbl 23406
 Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p + = (+g𝐺)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 23379 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
42, 3ngpmet 23305 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 23036 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76anim1i 617 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1198 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝑃𝑋)
10 ngpgrp 23301 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋𝐴𝑋))
14 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
172, 16grpcl 18177 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 515 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 515 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 23092 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 7163 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 7310 . . . . . 6 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24syl5eq 2805 . . . . 5 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
29 eqid 2758 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
30 eqid 2758 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 23307 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
33 nlmlmod 23380 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 19749 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 19004 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6662 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)) = (𝑁𝐴))
4226, 32, 413eqtrd 2797 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁𝐴))
4342breq1d 5042 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
4422, 43bitrd 282 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032   × cxp 5522   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝ*cxr 10712   < clt 10713  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  distcds 16632  Grpcgrp 18169  -gcsg 18171  Abelcabl 18974  LModclmod 19702  ∞Metcxmet 20151  Metcmet 20152  ballcbl 20153  normcnm 23278  NrmGrpcngp 23279  NrmModcnlm 23282 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-topgen 16775  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-lmod 19704  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-xms 23022  df-ms 23023  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-nlm 23288 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator