Theorem nlmngp 23747

Description: A normed module is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmngp	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem nlmngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 23745	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp1d 1140	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   · cmul 10807  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  LModclmod 20038  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639  NrmRingcnrg 23641  NrmModcnlm 23642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-nlm 23648

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  23751  nlmdsdir  23752  nlmmul0or  23753  nlmvscnlem2  23755  nlmvscnlem1  23756  nlmvscn  23757  nlmtlm  23764  lssnlm  23771  ngpocelbl  23774  isnmhm2  23822  idnmhm  23824  0nmhm  23825  nmoleub2lem  24183  nmoleub2lem3  24184  nmoleub2lem2  24185  nmoleub3  24188  nmhmcn  24189  ncvsm1  24223  ncvsdif  24224  ncvspi  24225  ncvs1  24226  ncvspds  24230  cphngp  24242  ipcnlem2  24313  ipcnlem1  24314  csscld  24318  bnngp  24411  cssbn  24444