Theorem nlmngp 24935

Description: A normed module is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmngp	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem nlmngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24933	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   · cmul 11154  Basecbs 17326  Scalarcsca 17370   ·_𝑠 cvsca 17371  LModclmod 21074  normcnm 24834  NrmGrpcngp 24835  NrmRingcnrg 24837  NrmModcnlm 24838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6491  df-fv 6543  df-ov 7419  df-nlm 24844

This theorem is used by:  nlmdsdi  24939  nlmdsdir  24940  nlmmul0or  24941  nlmvscnlem2  24943  nlmvscnlem1  24944  nlmvscn  24945  nlmtlm  24952  lssnlm  24959  ngpocelbl  24962  isnmhm2  25010  idnmhm  25012  0nmhm  25013  nmoleub2lem  25374  nmoleub2lem3  25375  nmoleub2lem2  25376  nmoleub3  25379  nmhmcn  25380  ncvsm1  25414  ncvsdif  25415  ncvspi  25416  ncvs1  25417  ncvspds  25421  cphngp  25433  ipcnlem2  25504  ipcnlem1  25505  csscld  25509  bnngp  25602  cssbn  25635