Theorem nlmngp 24592

Description: A normed module is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmngp	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem nlmngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 24590	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp1d 1142	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   · cmul 11011  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  LModclmod 20793  normcnm 24491  NrmGrpcngp 24492  NrmRingcnrg 24494  NrmModcnlm 24495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-nlm 24501

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  24596  nlmdsdir  24597  nlmmul0or  24598  nlmvscnlem2  24600  nlmvscnlem1  24601  nlmvscn  24602  nlmtlm  24609  lssnlm  24616  ngpocelbl  24619  isnmhm2  24667  idnmhm  24669  0nmhm  24670  nmoleub2lem  25041  nmoleub2lem3  25042  nmoleub2lem2  25043  nmoleub3  25046  nmhmcn  25047  ncvsm1  25081  ncvsdif  25082  ncvspi  25083  ncvs1  25084  ncvspds  25088  cphngp  25100  ipcnlem2  25171  ipcnlem1  25172  csscld  25176  bnngp  25269  cssbn  25302