Theorem nlmngp 23283

Description: A normed module is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmngp	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem nlmngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑊)) = (norm‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isnlm 23281	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod ↔ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((norm‘𝑊)‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) = (((norm‘(Scalar‘𝑊))‘𝑥) · ((norm‘𝑊)‘𝑦))))
8	7	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing))
9	8	simp1d 1139	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   · cmul 10531  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  LModclmod 19627  normcnm 23183  NrmGrpcngp 23184  NrmRingcnrg 23186  NrmModcnlm 23187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-nlm 23193

This theorem is referenced by:  nlmdsdi  23287  nlmdsdir  23288  nlmmul0or  23289  nlmvscnlem2  23291  nlmvscnlem1  23292  nlmvscn  23293  nlmtlm  23300  lssnlm  23307  ngpocelbl  23310  isnmhm2  23358  idnmhm  23360  0nmhm  23361  nmoleub2lem  23719  nmoleub2lem3  23720  nmoleub2lem2  23721  nmoleub3  23724  nmhmcn  23725  ncvsm1  23759  ncvsdif  23760  ncvspi  23761  ncvs1  23762  ncvspds  23766  cphngp  23778  ipcnlem2  23848  ipcnlem1  23849  csscld  23853  bnngp  23946  cssbn  23979