Theorem nmhmplusg 24692

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmhmplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmhmplusg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl1 24682	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl2 24683	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 24684	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5		nmhmlmhm 24684	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		nmhmplusg.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑇)
7	6	lmhmplusg 20987	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
8	4, 5, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nlmlmod 24613	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10		lmodabl 20851	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
11	2, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13		nmhmnghm 24685	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		nmhmnghm 24685	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
17	6	nghmplusg 24675	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
19	8, 18	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20		isnmhm 24681	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
21	3, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  +_gcplusg 17168  Abelcabl 19701  LModclmod 20802   LMHom clmhm 20962  NrmModcnlm 24515   NGHom cnghm 24641   NMHom cnmhm 24642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ico 13258  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-topgen 17354  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-ghm 19133  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-lmod 20804  df-lmhm 20965  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-xms 24255  df-ms 24256  df-nm 24517  df-ngp 24518  df-nlm 24521  df-nmo 24643  df-nghm 24644  df-nmhm 24645

This theorem is referenced by: (None)