Theorem nmhmplusg 24945

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmhmplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmhmplusg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl1 24935	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl2 24936	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12i 625	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 24937	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5		nmhmlmhm 24937	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		nmhmplusg.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑇)
7	6	lmhmplusg 21195	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
8	4, 5, 7	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nlmlmod 24866	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10		lmodabl 21060	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
11	2, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13		nmhmnghm 24938	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		nmhmnghm 24938	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
17	6	nghmplusg 24928	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
19	8, 18	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20		isnmhm 24934	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
21	3, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678  +_gcplusg 17328  Abelcabl 19875  LModclmod 21011   LMHom clmhm 21170  NrmModcnlm 24768   NGHom cnghm 24894   NMHom cnmhm 24895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ico 13390  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-topgen 17514  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-ghm 19308  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lmod 21013  df-lmhm 21173  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-xms 24508  df-ms 24509  df-nm 24770  df-ngp 24771  df-nlm 24774  df-nmo 24896  df-nghm 24897  df-nmhm 24898

This theorem is used by: (None)