MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmhmplusg 23911
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmhmplusg.p + = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmhmplusg ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl1 23901 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2 nmhmrcl2 23902 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
31, 2anim12i 613 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4 nmhmlmhm 23903 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5 nmhmlmhm 23903 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6 nmhmplusg.p . . . . 5 + = (+g𝑇)
76lmhmplusg 20296 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
84, 5, 7syl2an 596 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nlmlmod 23832 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10 lmodabl 20160 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
112, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
1211adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13 nmhmnghm 23904 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1413adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15 nmhmnghm 23904 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1615adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
176nghmplusg 23894 . . . 4 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1370 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
198, 18jca 512 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20 isnmhm 23900 . 2 ((𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
213, 19, 20sylanbrc 583 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6431  (class class class)co 7269  f cof 7523  +gcplusg 16952  Abelcabl 19377  LModclmod 20113   LMHom clmhm 20271  NrmModcnlm 23726   NGHom cnghm 23860   NMHom cnmhm 23861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-sup 9171  df-inf 9172  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-ico 13076  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-topgen 17144  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-ghm 18822  df-cmn 19378  df-abl 19379  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775  df-lmod 20115  df-lmhm 20274  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-top 22033  df-topon 22050  df-topsp 22072  df-bases 22086  df-xms 23463  df-ms 23464  df-nm 23728  df-ngp 23729  df-nlm 23732  df-nmo 23862  df-nghm 23863  df-nmhm 23864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator