Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmhmplusg 22969
 Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmhmplusg.p + = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmhmplusg ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl1 22959 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2 nmhmrcl2 22960 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
31, 2anim12i 606 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4 nmhmlmhm 22961 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5 nmhmlmhm 22961 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6 nmhmplusg.p . . . . 5 + = (+g𝑇)
76lmhmplusg 19439 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
84, 5, 7syl2an 589 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nlmlmod 22890 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10 lmodabl 19302 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
112, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
1211adantl 475 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13 nmhmnghm 22962 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1413adantr 474 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15 nmhmnghm 22962 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1615adantl 475 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
176nghmplusg 22952 . . . 4 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1439 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
198, 18jca 507 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20 isnmhm 22958 . 2 ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
213, 19, 20sylanbrc 578 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172  +gcplusg 16338  Abelcabl 18580  LModclmod 19255   LMHom clmhm 19414  NrmModcnlm 22793   NGHom cnghm 22918   NMHom cnmhm 22919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-topgen 16490  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-ghm 18042  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lmhm 19417  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nlm 22799  df-nmo 22920  df-nghm 22921  df-nmhm 22922 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator