Theorem nmhmplusg 24983

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmhmplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmhmplusg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl1 24973	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl2 24974	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12i 625	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 24975	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5		nmhmlmhm 24975	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		nmhmplusg.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑇)
7	6	lmhmplusg 21228	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
8	4, 5, 7	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nlmlmod 24904	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10		lmodabl 21093	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
11	2, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13		nmhmnghm 24976	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		nmhmnghm 24976	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
17	6	nghmplusg 24966	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
19	8, 18	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20		isnmhm 24972	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
21	3, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∘_f cof 7676  +_gcplusg 17342  Abelcabl 19908  LModclmod 21044   LMHom clmhm 21203  NrmModcnlm 24806   NGHom cnghm 24932   NMHom cnmhm 24933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ico 13404  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-topgen 17528  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-ghm 19341  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046  df-lmhm 21206  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-xms 24546  df-ms 24547  df-nm 24808  df-ngp 24809  df-nlm 24812  df-nmo 24934  df-nghm 24935  df-nmhm 24936

This theorem is used by: (None)