Theorem nmhmplusg 23349

Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmhmplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmhmplusg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl1 23339	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl2 23340	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 23341	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5		nmhmlmhm 23341	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		nmhmplusg.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑇)
7	6	lmhmplusg 19799	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
8	4, 5, 7	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nlmlmod 23270	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10		lmodabl 19664	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
11	2, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
12	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13		nmhmnghm 23342	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
14	13	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15		nmhmnghm 23342	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
16	15	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
17	6	nghmplusg 23332	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
19	8, 18	jca 514	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20		isnmhm 23338	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
21	3, 19, 20	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142   ∘_f cof 7393  +_gcplusg 16548  Abelcabl 18890  LModclmod 19617   LMHom clmhm 19774  NrmModcnlm 23173   NGHom cnghm 23298   NMHom cnmhm 23299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-q 12336  df-rp 12377  df-xneg 12494  df-xadd 12495  df-xmul 12496  df-ico 12731  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-plusg 16561  df-0g 16698  df-topgen 16700  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-sbg 18091  df-ghm 18339  df-cmn 18891  df-abl 18892  df-mgp 19223  df-ur 19235  df-ring 19282  df-lmod 19619  df-lmhm 19777  df-psmet 20520  df-xmet 20521  df-met 20522  df-bl 20523  df-mopn 20524  df-top 21485  df-topon 21502  df-topsp 21524  df-bases 21537  df-xms 22913  df-ms 22914  df-nm 23175  df-ngp 23176  df-nlm 23179  df-nmo 23300  df-nghm 23301  df-nmhm 23302

This theorem is referenced by: (None)