Theorem nmhmrcl2 25029

Description: Reverse closure for a normed module homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmrcl2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)

Proof of Theorem nmhmrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnmhm 25027	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
2	1	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
3	2	simprd 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408   LMHom clmhm 21256  NrmModcnlm 24861   NGHom cnghm 24987   NMHom cnmhm 24988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-nmhm 24991

This theorem is used by:  nmhmco  25037  nmhmplusg  25038