Theorem nmhmco 24651

Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈))

Proof of Theorem nmhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl2 24643	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl1 24642	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12ci 614	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 24644	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑈))
5		nmhmlmhm 24644	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		lmhmco 20957	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
8		nmhmnghm 24645	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈))
9		nmhmnghm 24645	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
10		nghmco 24633	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
12	7, 11	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈)))
13		isnmhm 24641	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5645  (class class class)co 7390   LMHom clmhm 20933  NrmModcnlm 24475   NGHom cnghm 24601   NMHom cnmhm 24602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-ghm 19152  df-lmod 20775  df-lmhm 20936  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-nmo 24603  df-nghm 24604  df-nmhm 24605

This theorem is referenced by: (None)