Theorem nmhmco 24018

Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈))

Proof of Theorem nmhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl2 24010	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl1 24009	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12ci 614	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 24011	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑈))
5		nmhmlmhm 24011	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		lmhmco 20403	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
8		nmhmnghm 24012	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈))
9		nmhmnghm 24012	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
10		nghmco 24000	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
12	7, 11	jca 512	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈)))
13		isnmhm 24008	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ∘ ccom 5618  (class class class)co 7329   LMHom clmhm 20379  NrmModcnlm 23834   NGHom cnghm 23968   NMHom cnmhm 23969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ico 13178  df-0g 17241  df-topgen 17243  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-grp 18668  df-ghm 18920  df-lmod 20223  df-lmhm 20382  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-xms 23571  df-ms 23572  df-nm 23836  df-ngp 23837  df-nmo 23970  df-nghm 23971  df-nmhm 23972

This theorem is referenced by: (None)