Theorem nmhmco 24693

Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmhmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈))

Proof of Theorem nmhmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmhmrcl2 24685	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ NrmMod)
2		nmhmrcl1 24684	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
3	1, 2	anim12ci 614	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ NrmMod))
4		nmhmlmhm 24686	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑈))
5		nmhmlmhm 24686	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6		lmhmco 20999	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 LMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
8		nmhmnghm 24687	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈))
9		nmhmnghm 24687	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
10		nghmco 24675	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NGHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))
12	7, 11	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈)))
13		isnmhm 24683	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑈 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑈))))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 NMHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5658  (class class class)co 7403   LMHom clmhm 20975  NrmModcnlm 24517   NGHom cnghm 24643   NMHom cnmhm 24644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ico 13366  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-grp 18917  df-ghm 19194  df-lmod 20817  df-lmhm 20978  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-xms 24257  df-ms 24258  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nmo 24645  df-nghm 24646  df-nmhm 24647

This theorem is referenced by: (None)