Theorem omelon2 7855

Description: Omega is an ordinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omelon2	⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)

Proof of Theorem omelon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omon 7854	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On ∨ ω = On)
2	1	ori 861	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ On → ω = On)
3		onprc 7754	. . . 4 ⊢ ¬ On ∈ V
4		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (ω = On → (ω ∈ V ↔ On ∈ V))
5	3, 4	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (ω = On → ¬ ω ∈ V)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ On → ¬ ω ∈ V)
7	6	con4i 114	1 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  Oncon0 6332  ωcom 7842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-om 7843

This theorem is referenced by:  oaabs  8612  omelon  9599  fictb  10197  axdc3lem  10403