Theorem omelon2 7873

Description: Omega is an ordinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omelon2	⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)

Proof of Theorem omelon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omon 7872	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On ∨ ω = On)
2	1	ori 874	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ On → ω = On)
3		onprc 7775	. . . 4 ⊢ ¬ On ∈ V
4		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (ω = On → (ω ∈ V ↔ On ∈ V))
5	3, 4	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (ω = On → ¬ ω ∈ V)
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (¬ ω ∈ On → ¬ ω ∈ V)
7	6	con4i 115	1 ⊢ (ω ∈ V → ω ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  Oncon0 6360  ωcom 7860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-om 7861

This theorem is used by:  oaabs  8632  omelon  9613  fictb  10234  axdc3lem  10440  n0ssoldg  28557