MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fictb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fictb 10237
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ↔ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
Proof of Theorem fictb
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8951 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰)
21adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰)
3 reldom 8942 . . . . . 6 Rel β‰Ό
43brrelex2i 5732 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ Ο‰ ∈ V)
5 omelon2 7865 . . . . . . . . . . 11 (Ο‰ ∈ V β†’ Ο‰ ∈ On)
65ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ Ο‰ ∈ On)
7 pwexg 5376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
9 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
11 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
12 ssdomg 8993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V β†’ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1310, 11, 12mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14 f1f1orn 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
1514adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝑓:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
16 f1opwfi 9353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
18 f1oeng 8964 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin)) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰ˆ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1910, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰ˆ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
20 pwexg 5376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο‰ ∈ V β†’ 𝒫 Ο‰ ∈ V)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝒫 Ο‰ ∈ V)
22 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 Ο‰ ∈ V β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V)
24 f1f 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓:π΄βŸΆΟ‰)
2524frnd 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ ran 𝑓 βŠ† Ο‰)
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ran 𝑓 βŠ† Ο‰)
2726sspwd 4615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝒫 ran 𝑓 βŠ† 𝒫 Ο‰)
2827ssrind 4235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) βŠ† (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
29 ssdomg 8993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V β†’ ((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) βŠ† (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)))
3023, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
31 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 β†’ {𝑓} = {𝑧})
32 pweq 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 β†’ 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑧)
3331, 32xpeq12d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑧 β†’ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧))
3433cbviunv 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑧 ∈ π‘₯ ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧)
35 iuneq1 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ π‘₯ ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧))
3634, 35eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧))
3736fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧)))
3837cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))) = (𝑦 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧)))
3938ackbij1 10230 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
40 f1oeng 8964 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰) β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β‰ˆ Ο‰)
4123, 39, 40sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β‰ˆ Ο‰)
42 domentr 9006 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β‰ˆ Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
4330, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
44 endomtr 9005 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰ˆ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ∧ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
4519, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
46 domtr 9000 . . . . . . . . . . 11 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
4713, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
48 ondomen 10029 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ ∈ On ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
496, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦) = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦)
5150fifo 9424 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’(fiβ€˜π΄))
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’(fiβ€˜π΄))
53 fodomnum 10049 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card β†’ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’(fiβ€˜π΄) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
5449, 52, 53sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))
55 domtr 9000 . . . . . . . 8 (((fiβ€˜π΄) β‰Ό ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰)
5654, 47, 55syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰)
5756ex 414 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) β†’ (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
5857exlimdv 1937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
594, 58sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
602, 59mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰)
6160ex 414 . 2 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
62 fvex 6902 . . . 4 (fiβ€˜π΄) ∈ V
63 ssfii 9411 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 βŠ† (fiβ€˜π΄))
64 ssdomg 8993 . . . 4 ((fiβ€˜π΄) ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† (fiβ€˜π΄) β†’ 𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄)))
6562, 63, 64mpsyl 68 . . 3 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄))
66 domtr 9000 . . . 4 ((𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄) ∧ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
6766ex 414 . . 3 (𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄) β†’ ((fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
6865, 67syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ ((fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
6961, 68impbid 211 1 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ↔ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆ© cint 4950  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Oncon0 6362  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“ontoβ†’wfo 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  Ο‰com 7852   β‰ˆ cen 8933   β‰Ό cdom 8934  Fincfn 8936  ficfi 9402  cardccrd 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934
This theorem is referenced by:  2ndcsb  22945
  Copyright terms: Public domain W3C validator