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Theorem fictb 10181
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω ↔ (fi‘𝐴) ≼ ω))

Proof of Theorem fictb
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8898 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
21adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
3 reldom 8889 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5689 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → ω ∈ V)
5 omelon2 7815 . . . . . . . . . . 11 (ω ∈ V → ω ∈ On)
65ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ω ∈ On)
7 pwexg 5333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
87ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
9 inex1g 5276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
11 difss 4091 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
12 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1310, 11, 12mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14 f1f1orn 6795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
16 f1opwfi 9300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
18 f1oeng 8911 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1910, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
20 pwexg 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ω ∈ V → 𝒫 ω ∈ V)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 ω ∈ V)
22 inex1g 5276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 ω ∈ V → (𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V)
24 f1f 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝑓:𝐴⟶ω)
2524frnd 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1→ω → ran 𝑓 ⊆ ω)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ran 𝑓 ⊆ ω)
2726sspwd 4573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 ran 𝑓 ⊆ 𝒫 ω)
2827ssrind 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
29 ssdomg 8940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V → ((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin)))
3023, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin))
31 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 → {𝑓} = {𝑧})
32 pweq 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑧)
3331, 32xpeq12d 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑧 → ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3433cbviunv 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = 𝑧𝑥 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)
35 iuneq1 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 𝑧𝑥 ({𝑧} × 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3634, 35eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3736fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓)) = (card‘ 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)))
3837cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))) = (𝑦 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)))
3938ackbij1 10174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))):(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1-onto→ω
40 f1oeng 8911 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))):(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1-onto→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω)
4123, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω)
42 domentr 8953 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω)
4330, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω)
44 endomtr 8952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ∧ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω)
4519, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω)
46 domtr 8947 . . . . . . . . . . 11 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω)
4713, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω)
48 ondomen 9973 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
496, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦)
5150fifo 9368 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
5251ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
53 fodomnum 9993 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
5449, 52, 53sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
55 domtr 8947 . . . . . . . 8 (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
5654, 47, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
5756ex 413 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) → (𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
5857exlimdv 1936 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
594, 58sylan2 593 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
602, 59mpd 15 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
6160ex 413 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
62 fvex 6855 . . . 4 (fi‘𝐴) ∈ V
63 ssfii 9355 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
64 ssdomg 8940 . . . 4 ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
6562, 63, 64mpsyl 68 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
66 domtr 8947 . . . 4 ((𝐴 ≼ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6766ex 413 . . 3 (𝐴 ≼ (fi‘𝐴) → ((fi‘𝐴) ≼ ω → 𝐴 ≼ ω))
6865, 67syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ((fi‘𝐴) ≼ ω → 𝐴 ≼ ω))
6961, 68impbid 211 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω ↔ (fi‘𝐴) ≼ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cint 4907   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  Oncon0 6317  1-1wf1 6493  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  ωcom 7802  cen 8880  cdom 8881  Fincfn 8883  ficfi 9346  cardccrd 9871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878
This theorem is referenced by:  2ndcsb  22800
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