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Theorem fictb 9322
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω ↔ (fi‘𝐴) ≼ ω))

Proof of Theorem fictb
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8173 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
21adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
3 reldom 8168 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5331 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → ω ∈ V)
5 omelon2 7277 . . . . . . . . . . 11 (ω ∈ V → ω ∈ On)
65ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ω ∈ On)
7 pwexg 5016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
87ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
9 inex1g 4964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
11 difss 3901 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
12 ssdomg 8208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1310, 11, 12mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14 f1f1orn 6333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
1514adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
16 f1opwfi 8479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
18 f1oeng 8181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1910, 17, 18syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
20 pwexg 5016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ω ∈ V → 𝒫 ω ∈ V)
2120ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 ω ∈ V)
22 inex1g 4964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 ω ∈ V → (𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V)
24 f1f 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝑓:𝐴⟶ω)
2524adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝑓:𝐴⟶ω)
2625frnd 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ran 𝑓 ⊆ ω)
27 sspwb 5075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑓 ⊆ ω ↔ 𝒫 ran 𝑓 ⊆ 𝒫 ω)
2826, 27sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 ran 𝑓 ⊆ 𝒫 ω)
2928ssrind 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
30 ssdomg 8208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V → ((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin)))
3123, 29, 30sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin))
32 sneq 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 → {𝑓} = {𝑧})
33 pweq 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑧)
3432, 33xpeq12d 5310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑧 → ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3534cbviunv 4717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = 𝑧𝑥 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)
36 iuneq1 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 𝑧𝑥 ({𝑧} × 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3735, 36syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3837fveq2d 6381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓)) = (card‘ 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)))
3938cbvmptv 4911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))) = (𝑦 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)))
4039ackbij1 9315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))):(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1-onto→ω
41 f1oeng 8181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))):(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1-onto→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω)
4223, 40, 41sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω)
43 domentr 8221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω)
4431, 42, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω)
45 endomtr 8220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ∧ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω)
4619, 44, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω)
47 domtr 8215 . . . . . . . . . . 11 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω)
4813, 46, 47syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω)
49 ondomen 9113 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
506, 48, 49syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
51 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦)
5251fifo 8547 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
5352ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
54 fodomnum 9133 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
5550, 53, 54sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
56 domtr 8215 . . . . . . . 8 (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
5755, 48, 56syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
5857ex 401 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) → (𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
5958exlimdv 2028 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
604, 59sylan2 586 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
612, 60mpd 15 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
6261ex 401 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
63 fvex 6390 . . . 4 (fi‘𝐴) ∈ V
64 ssfii 8534 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
65 ssdomg 8208 . . . 4 ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
6663, 64, 65mpsyl 68 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
67 domtr 8215 . . . 4 ((𝐴 ≼ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6867ex 401 . . 3 (𝐴 ≼ (fi‘𝐴) → ((fi‘𝐴) ≼ ω → 𝐴 ≼ ω))
6966, 68syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ((fi‘𝐴) ≼ ω → 𝐴 ≼ ω))
7062, 69impbid 203 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω ↔ (fi‘𝐴) ≼ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wex 1874  wcel 2155  Vcvv 3350  cdif 3731  cin 3733  wss 3734  c0 4081  𝒫 cpw 4317  {csn 4336   cint 4635   ciun 4678   class class class wbr 4811  cmpt 4890   × cxp 5277  dom cdm 5279  ran crn 5280  cima 5282  Oncon0 5910  wf 6066  1-1wf1 6067  ontowfo 6068  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  ωcom 7265  cen 8159  cdom 8160  Fincfn 8162  ficfi 8525  cardccrd 9014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fi 8526  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245
This theorem is referenced by:  2ndcsb  21535
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