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Theorem fictb 10284
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω ↔ (fi‘𝐴) ≼ ω))

Proof of Theorem fictb
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8999 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
3 reldom 8991 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5742 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → ω ∈ V)
5 omelon2 7900 . . . . . . . . . . 11 (ω ∈ V → ω ∈ On)
65ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ω ∈ On)
7 pwexg 5378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
87ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
9 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
11 difss 4136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
12 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1310, 11, 12mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14 f1f1orn 6859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓)
16 f1opwfi 9396 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto→ran 𝑓 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
18 f1oeng 9011 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓𝑥)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1910, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
20 pwexg 5378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ω ∈ V → 𝒫 ω ∈ V)
2120ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 ω ∈ V)
22 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 ω ∈ V → (𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V)
24 f1f 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝑓:𝐴⟶ω)
2524frnd 6744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1→ω → ran 𝑓 ⊆ ω)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ran 𝑓 ⊆ ω)
2726sspwd 4613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → 𝒫 ran 𝑓 ⊆ 𝒫 ω)
2827ssrind 4244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
29 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V → ((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin)))
3023, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin))
31 sneq 4636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 → {𝑓} = {𝑧})
32 pweq 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑧)
3331, 32xpeq12d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑧 → ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3433cbviunv 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = 𝑧𝑥 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)
35 iuneq1 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 𝑧𝑥 ({𝑧} × 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3634, 35eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓) = 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧))
3736fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓)) = (card‘ 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)))
3837cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))) = (𝑦 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑧𝑦 ({𝑧} × 𝒫 𝑧)))
3938ackbij1 10277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))):(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1-onto→ω
40 f1oeng 9011 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝒫 ω ∩ Fin) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑓𝑥 ({𝑓} × 𝒫 𝑓))):(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1-onto→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω)
4123, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω)
42 domentr 9053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝒫 ω ∩ Fin) ≈ ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω)
4330, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω)
44 endomtr 9052 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ∧ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ≼ ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω)
4519, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω)
46 domtr 9047 . . . . . . . . . . 11 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≼ ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω)
4713, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω)
48 ondomen 10077 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
496, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
50 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦)
5150fifo 9472 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
5251ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
53 fodomnum 10097 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
5449, 52, 53sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
55 domtr 9047 . . . . . . . 8 (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
5654, 47, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴1-1→ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
5756ex 412 . . . . . 6 ((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) → (𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
5857exlimdv 1933 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ ω ∈ V) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
594, 58sylan2 593 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
602, 59mpd 15 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≼ ω) → (fi‘𝐴) ≼ ω)
6160ex 412 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω → (fi‘𝐴) ≼ ω))
62 fvex 6919 . . . 4 (fi‘𝐴) ∈ V
63 ssfii 9459 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
64 ssdomg 9040 . . . 4 ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
6562, 63, 64mpsyl 68 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
66 domtr 9047 . . . 4 ((𝐴 ≼ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6766ex 412 . . 3 (𝐴 ≼ (fi‘𝐴) → ((fi‘𝐴) ≼ ω → 𝐴 ≼ ω))
6865, 67syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → ((fi‘𝐴) ≼ ω → 𝐴 ≼ ω))
6961, 68impbid 212 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ≼ ω ↔ (fi‘𝐴) ≼ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cint 4946   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Oncon0 6384  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  Fincfn 8985  ficfi 9450  cardccrd 9975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982
This theorem is referenced by:  2ndcsb  23457
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