MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fictb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fictb 10246
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ↔ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
Proof of Theorem fictb
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8960 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰)
21adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰)
3 reldom 8951 . . . . . 6 Rel β‰Ό
43brrelex2i 5733 . . . . 5 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ Ο‰ ∈ V)
5 omelon2 7872 . . . . . . . . . . 11 (Ο‰ ∈ V β†’ Ο‰ ∈ On)
65ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ Ο‰ ∈ On)
7 pwexg 5376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ V)
9 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝐴 ∈ V β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
11 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
12 ssdomg 9002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V β†’ (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) βŠ† (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1310, 11, 12mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
14 f1f1orn 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝑓:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝑓)
16 f1opwfi 9362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴–1-1-ontoβ†’ran 𝑓 β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
18 f1oeng 8973 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin)) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰ˆ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
1910, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰ˆ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin))
20 pwexg 5376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο‰ ∈ V β†’ 𝒫 Ο‰ ∈ V)
2120ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝒫 Ο‰ ∈ V)
22 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝒫 Ο‰ ∈ V β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V)
24 f1f 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ 𝑓:π΄βŸΆΟ‰)
2524frnd 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ ran 𝑓 βŠ† Ο‰)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ran 𝑓 βŠ† Ο‰)
2726sspwd 4615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ 𝒫 ran 𝑓 βŠ† 𝒫 Ο‰)
2827ssrind 4235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) βŠ† (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
29 ssdomg 9002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V β†’ ((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) βŠ† (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)))
3023, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
31 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 β†’ {𝑓} = {𝑧})
32 pweq 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑧 β†’ 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑧)
3331, 32xpeq12d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑧 β†’ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧))
3433cbviunv 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑧 ∈ π‘₯ ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧)
35 iuneq1 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ π‘₯ ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧))
3634, 35eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧))
3736fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧)))
3837cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))) = (𝑦 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 ({𝑧} Γ— 𝒫 𝑧)))
3938ackbij1 10239 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
40 f1oeng 8973 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑓 ∈ π‘₯ ({𝑓} Γ— 𝒫 𝑓))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰) β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β‰ˆ Ο‰)
4123, 39, 40sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β‰ˆ Ο‰)
42 domentr 9015 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β‰ˆ Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
4330, 41, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
44 endomtr 9014 . . . . . . . . . . . 12 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰ˆ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) ∧ (𝒫 ran 𝑓 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
4519, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰)
46 domtr 9009 . . . . . . . . . . 11 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) β‰Ό Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
4713, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
48 ondomen 10038 . . . . . . . . . 10 ((Ο‰ ∈ On ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
496, 47, 48syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
50 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦) = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦)
5150fifo 9433 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’(fiβ€˜π΄))
5251ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’(fiβ€˜π΄))
53 fodomnum 10058 . . . . . . . . 9 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card β†’ ((𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ↦ ∩ 𝑦):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’(fiβ€˜π΄) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…})))
5449, 52, 53sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}))
55 domtr 9009 . . . . . . . 8 (((fiβ€˜π΄) β‰Ό ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰)
5654, 47, 55syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) ∧ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰)
5756ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) β†’ (𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
5857exlimdv 1935 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ Ο‰ ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
594, 58sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
602, 59mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 β‰Ό Ο‰) β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰)
6160ex 412 . 2 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
62 fvex 6904 . . . 4 (fiβ€˜π΄) ∈ V
63 ssfii 9420 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 βŠ† (fiβ€˜π΄))
64 ssdomg 9002 . . . 4 ((fiβ€˜π΄) ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† (fiβ€˜π΄) β†’ 𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄)))
6562, 63, 64mpsyl 68 . . 3 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄))
66 domtr 9009 . . . 4 ((𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄) ∧ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
6766ex 412 . . 3 (𝐴 β‰Ό (fiβ€˜π΄) β†’ ((fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
6865, 67syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ ((fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰))
6961, 68impbid 211 1 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ↔ (fiβ€˜π΄) β‰Ό Ο‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆ© cint 4950  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Oncon0 6364  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7859   β‰ˆ cen 8942   β‰Ό cdom 8943  Fincfn 8945  ficfi 9411  cardccrd 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943
This theorem is referenced by:  2ndcsb  23273
  Copyright terms: Public domain W3C validator