Theorem nnlim 7901

Description: A natural number is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnlim	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Proof of Theorem nnlim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		ordirr 6404	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4		elom 7890	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))
6		limeq 6398	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Lim 𝑥 ↔ Lim 𝐴))
7		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
9	8	spcgv 3596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴))
11	3, 10	mtod 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  ωcom 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-om 7888

This theorem is referenced by:  omssnlim  7902  nnsuc  7905  cantnfp1lem2  9717  cantnflem1  9727  cnfcom2lem  9739  1oequni2o  37351  finxp1o  37375  finxpreclem4  37377  dflim5  43319