Theorem nnlim 7856

Description: A natural number is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnlim	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Proof of Theorem nnlim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7850	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		ordirr 6350	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4		elom 7845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))
6		limeq 6344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Lim 𝑥 ↔ Lim 𝐴))
7		eleq2 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
9	8	spcgv 3562	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴))
11	3, 10	mtod 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ord word 6331  Oncon0 6332  Lim wlim 6333  ωcom 7842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-om 7843

This theorem is referenced by:  omssnlim  7857  nnsuc  7860  cantnfp1lem2  9632  cantnflem1  9642  cnfcom2lem  9654  1oequni2o  37356  finxp1o  37380  finxpreclem4  37382  dflim5  43318