Theorem nnlim 7901

Description: A natural number is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnlim	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Proof of Theorem nnlim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		ordirr 6402	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4		elom 7890	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))
6		limeq 6396	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Lim 𝑥 ↔ Lim 𝐴))
7		eleq2 2830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
9	8	spcgv 3596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴))
11	3, 10	mtod 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  ωcom 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-om 7888

This theorem is referenced by:  omssnlim  7902  nnsuc  7905  cantnfp1lem2  9719  cantnflem1  9729  cnfcom2lem  9741  1oequni2o  37369  finxp1o  37393  finxpreclem4  37395  dflim5  43342