Theorem nnlim 7822

Description: A natural number is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnlim	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Proof of Theorem nnlim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		ordirr 6335	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4		elom 7811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))
6		limeq 6329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (Lim 𝑥 ↔ Lim 𝐴))
7		eleq2 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
9	8	spcgv 3550	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴)))
10	5, 9	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (Lim 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝐴))
11	3, 10	mtod 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ord word 6316  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-om 7809

This theorem is referenced by:  omssnlim  7823  nnsuc  7826  cantnfp1lem2  9588  cantnflem1  9598  cnfcom2lem  9610  1oequni2o  37573  finxp1o  37597  finxpreclem4  37599  dflim5  43571