Theorem oninfcl2 43595

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is an ordinal. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfcl2	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦} ∈ On)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem oninfcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onintunirab 43584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦})
2		oninton 7750	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦} ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ∩ cint 4904  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331

This theorem is referenced by: (None)