Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsupmaxb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsupmaxb 41759
Description: The union of a class of ordinals is an element is an element of that class if and only if there is a maximum element of that class under the epsilon relation, which is to say that the domain of the restricted epsilon relation is not the whole class. (Contributed by RP, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
onsupmaxb (𝐴 ⊆ On → (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐴))

Proof of Theorem onsupmaxb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 9573 . . . . . . . 8 ¬ 𝑥𝑥
2 pm5.501 366 . . . . . . . 8 𝑥𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
31, 2mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4 elequ1 2113 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑥𝑥𝑥))
54notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑥))
6 elequ1 2113 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑦𝑥𝑦))
76rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
85, 7bibi12d 345 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ (¬ 𝑥𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
93, 8bitr4d 281 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
109biimpd 228 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
1110spimevw 1998 . . . 4 (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
12 ssel 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ On → (𝑦𝐴𝑦 ∈ On))
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ On))
1413imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
15 ssel2 3973 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ On)
17 ontri1 6387 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1814, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1918ralbidva 3174 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦))
20 ralnex 3071 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2119, 20bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
22 unissb 4936 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
24 elssuni 4934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 𝐴)
2623, 25eqssd 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
2722, 26sylan2br 595 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
28 dfuni2 4903 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦}
2928eqeq1i 2736 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴 = 𝑥 ↔ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦} = 𝑥)
30 eqabcb 2874 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦} = 𝑥 ↔ ∀𝑧(∃𝑦𝐴 𝑧𝑦𝑧𝑥))
31 bicom 221 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑦𝐴 𝑧𝑦𝑧𝑥) ↔ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3231albii 1821 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧(∃𝑦𝐴 𝑧𝑦𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3329, 30, 323bitri 296 . . . . . . . . 9 ( 𝐴 = 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3427, 33sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
35 notnotb 314 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑧𝑥)
3635bibi1i 338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ (¬ ¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
37 nbbn 384 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3836, 37bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3938albii 1821 . . . . . . . . 9 (∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧 ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
40 alnex 1783 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
4139, 40bitri 274 . . . . . . . 8 (∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
4234, 41sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
4342ex 413 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
4421, 43sylbird 259 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (¬ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
4544con4d 115 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4611, 45impbid2 225 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
4746ralbidva 3174 . 2 (𝐴 ⊆ On → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
48 dminxp 6168 . . 3 (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥 E 𝑦)
49 epel 5576 . . . . 5 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
5049rexbii 3093 . . . 4 (∃𝑦𝐴 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5150ralbii 3092 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5248, 51bitri 274 . 2 (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
53 ralnex 3071 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
54 exnal 1829 . . . . . 6 (∃𝑧 ¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
55 nbbn 384 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5655bicomi 223 . . . . . . 7 (¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5756exbii 1850 . . . . . 6 (∃𝑧 ¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5854, 57bitr3i 276 . . . . 5 (¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5958ralbii 3092 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
6053, 59bitr3i 276 . . 3 (¬ ∃𝑥𝐴𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
61 uniel 41737 . . 3 ( 𝐴𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
6260, 61xchnxbir 332 . 2 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
6347, 52, 623bitr4g 313 1 (𝐴 ⊆ On → (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cab 2708  wral 3060  wrex 3069  cin 3943  wss 3944   cuni 4901   class class class wbr 5141   E cep 5572   × cxp 5667  dom cdm 5669  Oncon0 6353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-reg 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator