| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elirrv 9637 | . . . . . . . 8
⊢  ¬
𝑥 ∈ 𝑥 | 
| 2 |  | pm5.501 366 | . . . . . . . 8
⊢ (¬
𝑥 ∈ 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))) | 
| 3 | 1, 2 | mp1i 13 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))) | 
| 4 |  | elequ1 2114 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥)) | 
| 5 | 4 | notbid 318 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑥)) | 
| 6 |  | elequ1 2114 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 7 | 6 | rexbidv 3178 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 8 | 5, 7 | bibi12d 345 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))) | 
| 9 | 3, 8 | bitr4d 282 | . . . . . 6
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))) | 
| 10 | 9 | biimpd 229 | . . . . 5
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))) | 
| 11 | 10 | spimevw 1993 | . . . 4
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 12 |  | ssel 3976 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)) | 
| 13 | 12 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)) | 
| 14 | 13 | imp 406 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On) | 
| 15 |  | ssel2 3977 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On) | 
| 16 | 15 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On) | 
| 17 |  | ontri1 6417 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 18 | 14, 16, 17 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 19 | 18 | ralbidva 3175 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 20 |  | ralnex 3071 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦) | 
| 21 | 19, 20 | bitrdi 287 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 22 |  | unissb 4938 | . . . . . . . . . 10
⊢ (∪ 𝐴
⊆ 𝑥 ↔
∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥) | 
| 23 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑥) → ∪ 𝐴 ⊆ 𝑥) | 
| 24 |  | elssuni 4936 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) | 
| 25 | 24 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) | 
| 26 | 23, 25 | eqssd 4000 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∪ 𝐴 ⊆ 𝑥) → ∪ 𝐴 = 𝑥) | 
| 27 | 22, 26 | sylan2br 595 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥) → ∪ 𝐴 = 𝑥) | 
| 28 |  | dfuni2 4908 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ∪ 𝐴 =
{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦} | 
| 29 | 28 | eqeq1i 2741 | . . . . . . . . . 10
⊢ (∪ 𝐴 =
𝑥 ↔ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦} = 𝑥) | 
| 30 |  | eqabcb 2882 | . . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦} = 𝑥 ↔ ∀𝑧(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)) | 
| 31 |  | bicom 222 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((∃𝑦 ∈
𝐴 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 32 | 31 | albii 1818 | . . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑧(∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 33 | 29, 30, 32 | 3bitri 297 | . . . . . . . . 9
⊢ (∪ 𝐴 =
𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 34 | 27, 33 | sylib 218 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥) → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 35 |  | notnotb 315 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) | 
| 36 | 35 | bibi1i 338 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (¬ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 37 |  | nbbn 383 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 38 | 36, 37 | bitri 275 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 39 | 38 | albii 1818 | . . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑧 ¬ (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 40 |  | alnex 1780 | . . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑧 ¬
(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 41 | 39, 40 | bitri 275 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 42 | 34, 41 | sylib 218 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥) → ¬ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 43 | 42 | ex 412 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ⊆ 𝑥 → ¬ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))) | 
| 44 | 21, 43 | sylbird 260 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 → ¬ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))) | 
| 45 | 44 | con4d 115 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)) | 
| 46 | 11, 45 | impbid2 226 | . . 3
⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))) | 
| 47 | 46 | ralbidva 3175 | . 2
⊢ (𝐴 ⊆ On →
(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦))) | 
| 48 |  | dminxp 6199 | . . 3
⊢ (dom ( E
∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 E 𝑦) | 
| 49 |  | epel 5586 | . . . . 5
⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦) | 
| 50 | 49 | rexbii 3093 | . . . 4
⊢
(∃𝑦 ∈
𝐴 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦) | 
| 51 | 50 | ralbii 3092 | . . 3
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦) | 
| 52 | 48, 51 | bitri 275 | . 2
⊢ (dom ( E
∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦) | 
| 53 |  | ralnex 3071 | . . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ¬ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 54 |  | exnal 1826 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑧 ¬
(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 55 |  | nbbn 383 | . . . . . . . 8
⊢ ((¬
𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ¬ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 56 | 55 | bicomi 224 | . . . . . . 7
⊢ (¬
(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 57 | 56 | exbii 1847 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑧 ¬
(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 58 | 54, 57 | bitr3i 277 | . . . . 5
⊢ (¬
∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 59 | 58 | ralbii 3092 | . . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ¬ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 60 | 53, 59 | bitr3i 277 | . . 3
⊢ (¬
∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 61 |  | uniel 43234 | . . 3
⊢ (∪ 𝐴
∈ 𝐴 ↔
∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 62 | 60, 61 | xchnxbir 333 | . 2
⊢ (¬
∪ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧(¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑦)) | 
| 63 | 47, 52, 62 | 3bitr4g 314 | 1
⊢ (𝐴 ⊆ On → (dom ( E
∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ¬ ∪
𝐴 ∈ 𝐴)) |