Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsupmaxb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsupmaxb 42732
Description: The union of a class of ordinals is an element is an element of that class if and only if there is a maximum element of that class under the epsilon relation, which is to say that the domain of the restricted epsilon relation is not the whole class. (Contributed by RP, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
onsupmaxb (𝐴 ⊆ On → (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐴))

Proof of Theorem onsupmaxb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elirrv 9619 . . . . . . . 8 ¬ 𝑥𝑥
2 pm5.501 365 . . . . . . . 8 𝑥𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
31, 2mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4 elequ1 2105 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑥𝑥𝑥))
54notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑥))
6 elequ1 2105 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑦𝑥𝑦))
76rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
85, 7bibi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ (¬ 𝑥𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
93, 8bitr4d 281 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
109biimpd 228 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
1110spimevw 1990 . . . 4 (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
12 ssel 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ On → (𝑦𝐴𝑦 ∈ On))
1312adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ On))
1413imp 405 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
15 ssel2 3967 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1615adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ On)
17 ontri1 6398 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1814, 16, 17syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1918ralbidva 3166 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦))
20 ralnex 3062 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2119, 20bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
22 unissb 4937 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
23 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
24 elssuni 4935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 𝐴)
2623, 25eqssd 3990 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
2722, 26sylan2br 593 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
28 dfuni2 4905 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦}
2928eqeq1i 2730 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴 = 𝑥 ↔ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦} = 𝑥)
30 eqabcb 2867 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦} = 𝑥 ↔ ∀𝑧(∃𝑦𝐴 𝑧𝑦𝑧𝑥))
31 bicom 221 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑦𝐴 𝑧𝑦𝑧𝑥) ↔ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3231albii 1813 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧(∃𝑦𝐴 𝑧𝑦𝑧𝑥) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3329, 30, 323bitri 296 . . . . . . . . 9 ( 𝐴 = 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3427, 33sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
35 notnotb 314 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑧𝑥)
3635bibi1i 337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ (¬ ¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
37 nbbn 382 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3836, 37bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
3938albii 1813 . . . . . . . . 9 (∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧 ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
40 alnex 1775 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ¬ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
4139, 40bitri 274 . . . . . . . 8 (∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
4234, 41sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
4342ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
4421, 43sylbird 259 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (¬ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ¬ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
4544con4d 115 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4611, 45impbid2 225 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
4746ralbidva 3166 . 2 (𝐴 ⊆ On → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
48 dminxp 6179 . . 3 (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥 E 𝑦)
49 epel 5579 . . . . 5 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
5049rexbii 3084 . . . 4 (∃𝑦𝐴 𝑥 E 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5150ralbii 3083 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥 E 𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5248, 51bitri 274 . 2 (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
53 ralnex 3062 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥𝐴𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
54 exnal 1821 . . . . . 6 (∃𝑧 ¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
55 nbbn 382 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5655bicomi 223 . . . . . . 7 (¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ (¬ 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5756exbii 1842 . . . . . 6 (∃𝑧 ¬ (𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5854, 57bitr3i 276 . . . . 5 (¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∃𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
5958ralbii 3083 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ∀𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
6053, 59bitr3i 276 . . 3 (¬ ∃𝑥𝐴𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
61 uniel 42710 . . 3 ( 𝐴𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴𝑧(𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
6260, 61xchnxbir 332 . 2 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝑧𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
6347, 52, 623bitr4g 313 1 (𝐴 ⊆ On → (dom ( E ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  wral 3051  wrex 3060  cin 3938  wss 3939   cuni 4903   class class class wbr 5143   E cep 5575   × cxp 5670  dom cdm 5672  Oncon0 6364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-reg 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator