Theorem oninfunirab 41986

Description: The infimum of a non-empty class of ordinals is the union of every ordinal less-than-or-equal to every element of that class. (Contributed by RP, 23-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oninfunirab	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem oninfunirab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oninfint 41985	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∩ 𝐴)
2		onintunirab 41976	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 = ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦})
3	1, 2	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, On, E ) = ∪ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ∪ cuni 4909  ∩ cint 4951   E cep 5580  Oncon0 6365  infcinf 9436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-cnv 5685  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-riota 7365  df-sup 9437  df-inf 9438

This theorem is referenced by: (None)