Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintunirab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onintunirab 43216
Description: The intersection of a non-empty class of ordinals is the union of every ordinal less-than-or-equal to every element of that class. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
onintunirab ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 = {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem onintunirab
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2 ssint 4969 . . . . . . 7 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
31, 2sylibr 234 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 𝐴)
4 simp2 1136 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ On)
5 oninton 7815 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
653ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
7 onsssuc 6476 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑥 𝐴𝑥 ∈ suc 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 𝐴𝑥 ∈ suc 𝐴))
93, 8mpbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ suc 𝐴)
109rabssdv 4085 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ suc 𝐴)
11 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ On
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ On)
13 eloni 6396 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
145, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Ord 𝐴)
15 ordunisssuc 6492 . . . . 5 (({𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ On ∧ Ord 𝐴) → ( {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ suc 𝐴))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ suc 𝐴))
1710, 16mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴)
18 sseq1 4021 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑦 𝐴𝑦))
1918ralbidv 3176 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦))
20 intss1 4968 . . . . . 6 (𝑦𝐴 𝐴𝑦)
2120rgen 3061 . . . . 5 𝑦𝐴 𝐴𝑦
2221a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦)
2319, 5, 22elrabd 3697 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦})
24 unissel 4943 . . 3 (( {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦}) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} = 𝐴)
2517, 23, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} = 𝐴)
2625eqcomd 2741 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 = {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   cint 4951  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392
This theorem is referenced by:  oninfunirab  43226  oninfcl2  43227  oninfex2  43234
  Copyright terms: Public domain W3C validator