Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintunirab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onintunirab 43239
Description: The intersection of a non-empty class of ordinals is the union of every ordinal less-than-or-equal to every element of that class. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
onintunirab ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 = {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem onintunirab
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2 ssint 4964 . . . . . . 7 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
31, 2sylibr 234 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 𝐴)
4 simp2 1138 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ On)
5 oninton 7815 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
653ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
7 onsssuc 6474 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑥 𝐴𝑥 ∈ suc 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 𝐴𝑥 ∈ suc 𝐴))
93, 8mpbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ suc 𝐴)
109rabssdv 4075 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ suc 𝐴)
11 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ On
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ On)
13 eloni 6394 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
145, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Ord 𝐴)
15 ordunisssuc 6490 . . . . 5 (({𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ On ∧ Ord 𝐴) → ( {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ suc 𝐴))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ suc 𝐴))
1710, 16mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴)
18 sseq1 4009 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑦 𝐴𝑦))
1918ralbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦))
20 intss1 4963 . . . . . 6 (𝑦𝐴 𝐴𝑦)
2120rgen 3063 . . . . 5 𝑦𝐴 𝐴𝑦
2221a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦𝐴 𝐴𝑦)
2319, 5, 22elrabd 3694 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦})
24 unissel 4938 . . 3 (( {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} ⊆ 𝐴 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦}) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} = 𝐴)
2517, 23, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦} = 𝐴)
2625eqcomd 2743 1 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 = {𝑥 ∈ On ∣ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   cint 4946  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390
This theorem is referenced by:  oninfunirab  43249  oninfcl2  43250  oninfex2  43257
  Copyright terms: Public domain W3C validator