Theorem onun2i 6512

Description: The union of two ordinal numbers is an ordinal number. (Contributed by NM, 13-Jun-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
on.1	⊢ 𝐴 ∈ On
on.2	⊢ 𝐵 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onun2i	⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ On

Proof of Theorem onun2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ On
2		on.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ On
3		onun2 6499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ On)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  Oncon0 6388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392

This theorem is used by:  rankunb  9901  rankelun  9926  rankelpr  9927  inar1  10899  addsprop  28419  negsprop  28478  mulsproplem5  28563  mulsproplem6  28564  mulsproplem7  28565  mulsproplem8  28566  mulsprop  28573  k3n0k1lt  36064  k3n0k2lt  36065