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Theorem inar1 10815
Description: (𝑅1𝐴) for 𝐴 a strongly inaccessible cardinal is equipotent to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inar1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inar1
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 10730 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
2 winaon 10728 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ On)
4 winalim 10735 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → Lim 𝐴)
6 r1lim 9812 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
8 onelon 6409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
93, 8sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
11 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
1211breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
1310, 12imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴)))
14 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
15 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
1615breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1714, 16imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)))
18 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
19 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
2019breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
2118, 20imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
22 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
23 0sdomg 9144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ On → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2422, 23imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ≺ 𝐴))
25 r10 9808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅1‘∅) = ∅
2625breq1i 5150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅1‘∅) ≺ 𝐴 ↔ ∅ ≺ 𝐴)
2724, 26imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
281, 2, 273syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Inacc → (∅ ∈ 𝐴 → (𝑅1‘∅) ≺ 𝐴))
29 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
30 ordtr 6398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On → Tr 𝐴)
32 trsuc 6471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Tr 𝐴 ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (Tr 𝐴 → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
343, 31, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Inacc → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
36 r1suc 9810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
37 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅1𝑦) ∈ V
3837cardid 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘(𝑅1𝑦)) ≈ (𝑅1𝑦)
3938ensymi 9044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦))
40 pwen 9190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝒫 (𝑅1𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦))
4236, 41eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
43 winacard 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
4443eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
45 cardsdom 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅1𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4637, 2, 45sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
4744, 46bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inaccw → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
49 elina 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴))
5049simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴)
51 pweq 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝒫 𝑧 = 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)))
5251breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝒫 𝑧𝐴 ↔ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5352rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝐴 𝒫 𝑧𝐴 → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Inacc → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5548, 54sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴))
5655imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴)
57 ensdomtr 9153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅1‘suc 𝑦) ≈ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝒫 (card‘(𝑅1𝑦)) ≺ 𝐴) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5842, 56, 57syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)
5958expr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))
6035, 59imim12d 81 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴)))
6160ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ≺ 𝐴))))
62 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ V
63 r1lim 9812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
6462, 63mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧))
65 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑧
66 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦(𝑅1𝑧)
67 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦
68 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
6966, 67, 68nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦(𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
70 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑅1𝑦) = (𝑅1𝑧))
7170breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
72 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
7362, 72iunex 7993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V
74 ssiun2 5047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
75 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ V → ((card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
7673, 74, 75mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
77 endomtr 9052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅1𝑦) ≈ (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7839, 76, 77sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑥 → (𝑅1𝑦) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
7965, 69, 71, 78vtoclgaf 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑥 → (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8079rgen 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))
81 iundom 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
8262, 80, 81mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8362, 73unex 7764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V
84 ssun2 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
85 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8683, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
8762xpdom2 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
89 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
90 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9183, 89, 90mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
9283xpdom1 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
94 domtr 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ (𝑥 × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9588, 93, 94mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
96 limomss 7892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → ω ⊆ 𝑥)
9796, 89sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim 𝑥 → ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
98 ssdomg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ V → (ω ⊆ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
9983, 97, 98mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Lim 𝑥 → ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
100 infxpidm 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ω ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
102 domentr 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ∧ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) × (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) ≈ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10395, 101, 102sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
104 domtr 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 × 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))) → 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10582, 103, 104sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 𝑧𝑥 (𝑅1𝑧) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
10664, 105eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
107106ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
108 eleq1a 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐴))
109 ordirr 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
1103, 29, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴𝐴)
111108, 110nsyli 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ Inacc → ¬ 𝐴 = 𝑥))
112111imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐴 ∈ Inacc) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
113112ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
114 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
115 limord 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
11662elon 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
117115, 116sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Lim 𝑥𝑥 ∈ On)
118117ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥 ∈ On)
119 cardf 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 card:V⟶On
120 r1fnon 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑅1 Fn On
121 dffn2 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅1 Fn On ↔ 𝑅1:On⟶V)
122120, 121mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑅1:On⟶V
123 fco 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((card:V⟶On ∧ 𝑅1:On⟶V) → (card ∘ 𝑅1):On⟶On)
124119, 122, 123mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (card ∘ 𝑅1):On⟶On
125 onss 7805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ On → 𝑥 ⊆ On)
126 fssres 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((card ∘ 𝑅1):On⟶On ∧ 𝑥 ⊆ On) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
127124, 125, 126sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On)
128 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥⟶On → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
129118, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
1303ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐴 ∈ On)
131 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
132 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)
133 ontr1 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
134133imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦𝑥𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
135130, 131, 132, 134syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
13637, 130, 45sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))
1371, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐴 ∈ Inacc → (card‘𝐴) = 𝐴)
138137ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (card‘𝐴) = 𝐴)
139138eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ (card‘𝐴) ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
140136, 139bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
141140biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑅1𝑦) ≺ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
142135, 141embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
143117ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → 𝑥 ∈ On)
144 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦𝑥 → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
145144adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦))
146 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
147 fvco3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅1:On⟶V ∧ 𝑦 ∈ On) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
148122, 146, 147sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → ((card ∘ 𝑅1)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
149145, 148eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
150143, 149sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) = (card‘(𝑅1𝑦)))
151150eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴))
152142, 151sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
153152ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
154153impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴)
155 ffnfv 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐴))
156129, 154, 155sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴)
157 eleq2 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (𝑧𝐴𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
158157biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
159 eliun 4995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)))
160 cardon 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
161160onelssi 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦)))
162149sseq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (card‘(𝑅1𝑦))))
163161, 162imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
164163reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ On → (∃𝑦𝑥 𝑧 ∈ (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
165159, 164biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ On → (𝑧 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
166158, 165syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∧ 𝑧𝐴) → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
167166expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 → ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
168167ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
169168ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ On → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
170118, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
171 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((card ∘ 𝑅1):On⟶On → Fun (card ∘ 𝑅1))
172124, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fun (card ∘ 𝑅1)
173 resfunexg 7235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun (card ∘ 𝑅1) ∧ 𝑥 ∈ V) → ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V)
174172, 62, 173mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) ∈ V
175 feq1 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤:𝑥𝐴 ↔ ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴))
176 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑤𝑦) = (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))
177176sseq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
178177rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∃𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
179178ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → (∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)))
180175, 179anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = ((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥) → ((𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) ↔ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦))))
181174, 180spcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥):𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (((card ∘ 𝑅1) ↾ 𝑥)‘𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)))
182156, 170, 181syl6an 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦))))
1833ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝐴 ∈ On)
184 cfflb 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
185183, 118, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (∃𝑤(𝑤:𝑥𝐴 ∧ ∀𝑧𝐴𝑦𝑥 𝑧 ⊆ (𝑤𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
186182, 185syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → (cf‘𝐴) ⊆ 𝑥))
18749simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ Inacc → (cf‘𝐴) = 𝐴)
188187sseq1d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Inacc → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
189188ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((cf‘𝐴) ⊆ 𝑥𝐴𝑥))
190186, 189sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → 𝐴𝑥))
191 ontri1 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
192183, 118, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
193190, 192sylibd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) → ¬ 𝑥𝐴))
194114, 193mt2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ 𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
195 iunon 8379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
19662, 195mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
197160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑥 → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
198196, 197mprg 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
199 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))))
200 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
201 eloni 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))
202 ordequn 6487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
203200, 201, 202syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → (𝐴 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
204199, 203biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
205118, 198, 204sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝐴 = 𝑥𝐴 = 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)))))
206113, 194, 205mtord 880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)
207 onelss 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
208183, 114, 207sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑥𝐴)
209 onelss 6426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ On → ((card‘(𝑅1𝑦)) ∈ 𝐴 → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
210130, 142, 209sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
211210ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Inacc) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴))
212211impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
213 iunss 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
214212, 213sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) ⊆ 𝐴)
215208, 214unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴)
216 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅))
217 iuneq1 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦)) = 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)))
218216, 217uneq12d 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))))
219218eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ↔ (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On))
220 0elon 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ∅ ∈ On
221220elimel 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ On
222221elexi 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V
223 iunon 8379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On) → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
224222, 223mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On → 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
225160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) → (card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On)
226224, 225mprg 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦)) ∈ On
227221, 226onun2i 6506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (if(𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅) ∪ 𝑦 ∈ if (𝑥 ∈ On, 𝑥, ∅)(card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On
228219, 227dedth 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ On → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
229117, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Lim 𝑥 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
230229adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On)
2313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴)) → 𝐴 ∈ On)
232 onsseleq 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
233230, 231, 232syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴)))
234215, 233mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴))
235234orcomd 872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 ∨ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
236235ord 865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (¬ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) = 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴))
237206, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴)
238137ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (card‘𝐴) = 𝐴)
239 iscard 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴))
240239simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ∀𝑧𝐴 𝑧𝐴)
241 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) → (𝑧𝐴 ↔ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
242241rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 𝑧𝐴 → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
243238, 240, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → ((𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∈ 𝐴 → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴))
244237, 243mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴)
245 domsdomtr 9152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅1𝑥) ≼ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ∧ (𝑥 𝑦𝑥 (card‘(𝑅1𝑦))) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
246107, 244, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝐴 ∧ Lim 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ Inacc ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴))) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
247246exp43 436 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
248247com4l 92 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝑥 → (𝐴 ∈ Inacc → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ≺ 𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))))
24913, 17, 21, 28, 61, 248tfinds2 7885 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → (𝐴 ∈ Inacc → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)))
250249impd 410 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴))
2519, 250mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≺ 𝐴)
252 sdomdom 9020 . . . . . . 7 ((𝑅1𝑥) ≺ 𝐴 → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
253251, 252syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Inacc ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
254253ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴)
255 iundom 10582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ 𝐴) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2563, 254, 255syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ≼ (𝐴 × 𝐴))
2577, 256eqbrtrd 5165 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
258 winainf 10734 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2591, 258syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Inacc → ω ⊆ 𝐴)
260 infxpen 10054 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ω ⊆ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
2613, 259, 260syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
262 domentr 9053 . . 3 (((𝑅1𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
263257, 261, 262syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≼ 𝐴)
264 fvex 6919 . . 3 (𝑅1𝐴) ∈ V
265122fdmi 6747 . . . . 5 dom 𝑅1 = On
2662, 265eleqtrrdi 2852 . . . 4 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ dom 𝑅1)
267 onssr1 9871 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
2681, 266, 2673syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴))
269 ssdomg 9040 . . 3 ((𝑅1𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐴) → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)))
270264, 268, 269mpsyl 68 . 2 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ≼ (𝑅1𝐴))
271 sbth 9133 . 2 (((𝑅1𝐴) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝑅1𝐴)) → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
272263, 270, 271syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ Inacc → (𝑅1𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   ciun 4991   class class class wbr 5143  Tr wtr 5259   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  ccom 5689  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  𝑅1cr1 9802  cardccrd 9975  cfccf 9977  Inaccwcwina 10722  Inacccina 10723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725
This theorem is referenced by:  r1omALT  10816  inatsk  10818
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