MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustsym 24555
Description: Elements of the filter base generated by the metric 𝐷 are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustsym ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustsym
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustss 24551 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3 cnvss 5879 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴(𝑋 × 𝑋))
4 cnvxp 6168 . . . 4 (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × 𝑋)
53, 4sseqtrdi 4030 . . 3 (𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8 simpr1r 1228 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ((𝑝𝑋𝑞𝑋) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))) → 𝑞𝑋)
983anassrs 1357 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑞𝑋)
10 simpr1l 1227 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ((𝑝𝑋𝑞𝑋) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))) → 𝑝𝑋)
11103anassrs 1357 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑝𝑋)
12 psmetsym 24307 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑞𝑋𝑝𝑋) → (𝑞𝐷𝑝) = (𝑝𝐷𝑞))
137, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑞𝐷𝑝) = (𝑝𝐷𝑞))
14 df-ov 7427 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐷𝑝) = (𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩)
15 df-ov 7427 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐷𝑞) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
1613, 14, 153eqtr3g 2789 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
1716eleq1d 2811 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎)))
18 psmetf 24303 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
19 ffun 6731 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → Fun 𝐷)
207, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → Fun 𝐷)
21 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑝𝑋𝑞𝑋))
2221ancomd 460 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑞𝑋𝑝𝑋))
23 opelxpi 5719 . . . . . . . . . 10 ((𝑞𝑋𝑝𝑋) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
25 fdm 6737 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
267, 18, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
2724, 26eleqtrrd 2829 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ dom 𝐷)
28 fvimacnv 7066 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
2920, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
30 opelxpi 5719 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3121, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3231, 26eleqtrrd 2829 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷)
33 fvimacnv 7066 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3420, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3517, 29, 343bitr3d 308 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
36 simpr 483 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
3736eleq2d 2812 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3836eleq2d 2812 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3935, 37, 383bitr4d 310 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
40 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4140elrnmpt 5962 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
4241ibi 266 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4342, 1eleq2s 2844 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4443ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4539, 44r19.29a 3152 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
46 df-br 5154 . . . . 5 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
47 vex 3466 . . . . . 6 𝑝 ∈ V
48 vex 3466 . . . . . 6 𝑞 ∈ V
4947, 48opelcnv 5888 . . . . 5 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴)
5046, 49bitri 274 . . . 4 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴)
51 df-br 5154 . . . 4 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
5245, 50, 513bitr4g 313 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → (𝑝𝐴𝑞𝑝𝐴𝑞))
53523impb 1112 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ 𝑝𝑋𝑞𝑋) → (𝑝𝐴𝑞𝑝𝐴𝑞))
546, 2, 53eqbrrdva 5876 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  wss 3947  cop 4639   class class class wbr 5153  cmpt 5236   × cxp 5680  ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683  cima 5685  Fun wfun 6548  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  *cxr 11297  +crp 13028  [,)cico 13380  PsMetcpsmet 21327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-xadd 13147  df-psmet 21335
This theorem is referenced by:  metust  24558
  Copyright terms: Public domain W3C validator