MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustsym 23911
Description: Elements of the filter base generated by the metric 𝐷 are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustsym ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustsym
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustss 23907 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3 cnvss 5828 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴(𝑋 × 𝑋))
4 cnvxp 6109 . . . 4 (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × 𝑋)
53, 4sseqtrdi 3994 . . 3 (𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8 simpr1r 1231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ((𝑝𝑋𝑞𝑋) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))) → 𝑞𝑋)
983anassrs 1360 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑞𝑋)
10 simpr1l 1230 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ((𝑝𝑋𝑞𝑋) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))) → 𝑝𝑋)
11103anassrs 1360 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑝𝑋)
12 psmetsym 23663 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑞𝑋𝑝𝑋) → (𝑞𝐷𝑝) = (𝑝𝐷𝑞))
137, 9, 11, 12syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑞𝐷𝑝) = (𝑝𝐷𝑞))
14 df-ov 7360 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐷𝑝) = (𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩)
15 df-ov 7360 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐷𝑞) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
1613, 14, 153eqtr3g 2799 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
1716eleq1d 2822 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎)))
18 psmetf 23659 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
19 ffun 6671 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → Fun 𝐷)
207, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → Fun 𝐷)
21 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑝𝑋𝑞𝑋))
2221ancomd 462 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑞𝑋𝑝𝑋))
23 opelxpi 5670 . . . . . . . . . 10 ((𝑞𝑋𝑝𝑋) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
25 fdm 6677 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
267, 18, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
2724, 26eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ dom 𝐷)
28 fvimacnv 7003 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
2920, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
30 opelxpi 5670 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3121, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3231, 26eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷)
33 fvimacnv 7003 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3420, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3517, 29, 343bitr3d 308 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
36 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
3736eleq2d 2823 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3836eleq2d 2823 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3935, 37, 383bitr4d 310 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
40 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4140elrnmpt 5911 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
4241ibi 266 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4342, 1eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4443ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4539, 44r19.29a 3159 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
46 df-br 5106 . . . . 5 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
47 vex 3449 . . . . . 6 𝑝 ∈ V
48 vex 3449 . . . . . 6 𝑞 ∈ V
4947, 48opelcnv 5837 . . . . 5 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴)
5046, 49bitri 274 . . . 4 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴)
51 df-br 5106 . . . 4 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
5245, 50, 513bitr4g 313 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → (𝑝𝐴𝑞𝑝𝐴𝑞))
53523impb 1115 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ 𝑝𝑋𝑞𝑋) → (𝑝𝐴𝑞𝑝𝐴𝑞))
546, 2, 53eqbrrdva 5825 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wss 3910  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  *cxr 11188  +crp 12915  [,)cico 13266  PsMetcpsmet 20780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-xadd 13034  df-psmet 20788
This theorem is referenced by:  metust  23914
  Copyright terms: Public domain W3C validator