MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustsym 23934
Description: Elements of the filter base generated by the metric 𝐷 are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustsym ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝐴 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustsym
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustss 23930 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
3 cnvss 5832 . . . 4 (𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝐴 βŠ† β—‘(𝑋 Γ— 𝑋))
4 cnvxp 6113 . . . 4 β—‘(𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
53, 4sseqtrdi 3998 . . 3 (𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7 simp-4l 782 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
8 simpr1r 1232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
983anassrs 1361 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
10 simpr1l 1231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
11103anassrs 1361 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
12 psmetsym 23686 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (π‘žπ·π‘) = (π‘π·π‘ž))
137, 9, 11, 12syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (π‘žπ·π‘) = (π‘π·π‘ž))
14 df-ov 7364 . . . . . . . . 9 (π‘žπ·π‘) = (π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©)
15 df-ov 7364 . . . . . . . . 9 (π‘π·π‘ž) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©)
1613, 14, 153eqtr3g 2796 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1716eleq1d 2819 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž)))
18 psmetf 23682 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
19 ffun 6675 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ Fun 𝐷)
207, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ Fun 𝐷)
21 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋))
2221ancomd 463 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋))
23 opelxpi 5674 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
25 fdm 6681 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
267, 18, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2724, 26eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ dom 𝐷)
28 fvimacnv 7007 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
2920, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
30 opelxpi 5674 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3121, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3231, 26eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷)
33 fvimacnv 7007 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3420, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3517, 29, 343bitr3d 309 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
36 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3736eleq2d 2820 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3836eleq2d 2820 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3935, 37, 383bitr4d 311 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
40 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4140elrnmpt 5915 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4241ibi 267 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4342, 1eleq2s 2852 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4443ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4539, 44r19.29a 3156 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
46 df-br 5110 . . . . 5 (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ◑𝐴)
47 vex 3451 . . . . . 6 𝑝 ∈ V
48 vex 3451 . . . . . 6 π‘ž ∈ V
4947, 48opelcnv 5841 . . . . 5 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ◑𝐴 ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴)
5046, 49bitri 275 . . . 4 (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴)
51 df-br 5110 . . . 4 (π‘π΄π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
5245, 50, 513bitr4g 314 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ π‘π΄π‘ž))
53523impb 1116 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ π‘π΄π‘ž))
546, 2, 53eqbrrdva 5829 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„*cxr 11196  β„+crp 12923  [,)cico 13275  PsMetcpsmet 20803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-xadd 13042  df-psmet 20811
This theorem is referenced by:  metust  23937
  Copyright terms: Public domain W3C validator