MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustsym 23453
Description: Elements of the filter base generated by the metric 𝐷 are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustsym ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustsym
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustss 23449 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3 cnvss 5741 . . . 4 (𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴(𝑋 × 𝑋))
4 cnvxp 6020 . . . 4 (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × 𝑋)
53, 4sseqtrdi 3951 . . 3 (𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
7 simp-4l 783 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
8 simpr1r 1233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ((𝑝𝑋𝑞𝑋) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))) → 𝑞𝑋)
983anassrs 1362 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑞𝑋)
10 simpr1l 1232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ((𝑝𝑋𝑞𝑋) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))) → 𝑝𝑋)
11103anassrs 1362 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑝𝑋)
12 psmetsym 23208 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑞𝑋𝑝𝑋) → (𝑞𝐷𝑝) = (𝑝𝐷𝑞))
137, 9, 11, 12syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑞𝐷𝑝) = (𝑝𝐷𝑞))
14 df-ov 7216 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐷𝑝) = (𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩)
15 df-ov 7216 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐷𝑞) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩)
1613, 14, 153eqtr3g 2801 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
1716eleq1d 2822 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎)))
18 psmetf 23204 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
19 ffun 6548 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → Fun 𝐷)
207, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → Fun 𝐷)
21 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑝𝑋𝑞𝑋))
2221ancomd 465 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝑞𝑋𝑝𝑋))
23 opelxpi 5588 . . . . . . . . . 10 ((𝑞𝑋𝑝𝑋) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
25 fdm 6554 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
267, 18, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
2724, 26eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ dom 𝐷)
28 fvimacnv 6873 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
2920, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑞, 𝑝⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
30 opelxpi 5588 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3121, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3231, 26eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷)
33 fvimacnv 6873 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3420, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3517, 29, 343bitr3d 312 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
36 simpr 488 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
3736eleq2d 2823 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3836eleq2d 2823 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3935, 37, 383bitr4d 314 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
40 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4140elrnmpt 5825 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
4241ibi 270 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4342, 1eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4443ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4539, 44r19.29a 3208 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → (⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
46 df-br 5054 . . . . 5 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
47 vex 3412 . . . . . 6 𝑝 ∈ V
48 vex 3412 . . . . . 6 𝑞 ∈ V
4947, 48opelcnv 5750 . . . . 5 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴)
5046, 49bitri 278 . . . 4 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑞, 𝑝⟩ ∈ 𝐴)
51 df-br 5054 . . . 4 (𝑝𝐴𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
5245, 50, 513bitr4g 317 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ (𝑝𝑋𝑞𝑋)) → (𝑝𝐴𝑞𝑝𝐴𝑞))
53523impb 1117 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ 𝑝𝑋𝑞𝑋) → (𝑝𝐴𝑞𝑝𝐴𝑞))
546, 2, 53eqbrrdva 5738 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  wss 3866  cop 4547   class class class wbr 5053  cmpt 5135   × cxp 5549  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cima 5554  Fun wfun 6374  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  *cxr 10866  +crp 12586  [,)cico 12937  PsMetcpsmet 20347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-xadd 12705  df-psmet 20355
This theorem is referenced by:  metust  23456
  Copyright terms: Public domain W3C validator