MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustsym 24063
Description: Elements of the filter base generated by the metric 𝐷 are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustsym ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝐴 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustsym
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustss 24059 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
3 cnvss 5872 . . . 4 (𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝐴 βŠ† β—‘(𝑋 Γ— 𝑋))
4 cnvxp 6156 . . . 4 β—‘(𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— 𝑋)
53, 4sseqtrdi 4032 . . 3 (𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ◑𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
62, 5syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
7 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
8 simpr1r 1231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
983anassrs 1360 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
10 simpr1l 1230 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
11103anassrs 1360 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
12 psmetsym 23815 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ π‘ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (π‘žπ·π‘) = (π‘π·π‘ž))
137, 9, 11, 12syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (π‘žπ·π‘) = (π‘π·π‘ž))
14 df-ov 7411 . . . . . . . . 9 (π‘žπ·π‘) = (π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©)
15 df-ov 7411 . . . . . . . . 9 (π‘π·π‘ž) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©)
1613, 14, 153eqtr3g 2795 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1716eleq1d 2818 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž)))
18 psmetf 23811 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
19 ffun 6720 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ Fun 𝐷)
207, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ Fun 𝐷)
21 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋))
2221ancomd 462 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (π‘ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋))
23 opelxpi 5713 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
25 fdm 6726 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
267, 18, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2724, 26eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ dom 𝐷)
28 fvimacnv 7054 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
2920, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘ž, π‘βŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
30 opelxpi 5713 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3121, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3231, 26eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷)
33 fvimacnv 7054 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3420, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3517, 29, 343bitr3d 308 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
36 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3736eleq2d 2819 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3836eleq2d 2819 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3935, 37, 383bitr4d 310 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
40 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4140elrnmpt 5955 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4241ibi 266 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4342, 1eleq2s 2851 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4443ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4539, 44r19.29a 3162 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ (βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
46 df-br 5149 . . . . 5 (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ◑𝐴)
47 vex 3478 . . . . . 6 𝑝 ∈ V
48 vex 3478 . . . . . 6 π‘ž ∈ V
4947, 48opelcnv 5881 . . . . 5 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ◑𝐴 ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴)
5046, 49bitri 274 . . . 4 (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ βŸ¨π‘ž, π‘βŸ© ∈ 𝐴)
51 df-br 5149 . . . 4 (π‘π΄π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
5245, 50, 513bitr4g 313 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ π‘π΄π‘ž))
53523impb 1115 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋 ∧ π‘ž ∈ 𝑋) β†’ (π‘β—‘π΄π‘ž ↔ π‘π΄π‘ž))
546, 2, 53eqbrrdva 5869 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ◑𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  β„*cxr 11246  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-xadd 13092  df-psmet 20935
This theorem is referenced by:  metust  24066
  Copyright terms: Public domain W3C validator