MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumcom2 18640
Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while 𝐴 and 𝐷 are constants w.r.t. 𝑗, 𝑘, 𝐶(𝑗) and 𝐸(𝑘) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d2.r ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
gsum2d2.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsum2d2.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
gsumcom2.d (𝜑𝐷𝑌)
gsumcom2.c (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ↔ (𝑘𝐷𝑗𝐸)))
Assertion
Ref Expression
gsumcom2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)   𝑌(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 snex 5064 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
6 gsum2d2.r . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
7 xpexg 7158 . . . . . 6 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
85, 6, 7sylancr 581 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
98ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10 iunexg 7341 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 579 . . 3 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12 gsum2d2.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
1312ralrimivva 3118 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵)
14 eqid 2765 . . . . 5 (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
1514fmpt2x 7437 . . . 4 (∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵 ↔ (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
1613, 15sylib 209 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
17 gsum2d2.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
18 gsum2d2.n . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 18638 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) finSupp 0 )
20 relxp 5295 . . . . . . 7 Rel ({𝑘} × 𝐸)
2120rgenw 3071 . . . . . 6 𝑘𝐷 Rel ({𝑘} × 𝐸)
22 reliun 5408 . . . . . 6 (Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ∀𝑘𝐷 Rel ({𝑘} × 𝐸))
2321, 22mpbir 222 . . . . 5 Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
24 cnvf1o 7478 . . . . 5 (Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
26 relxp 5295 . . . . . . . 8 Rel ({𝑗} × 𝐶)
2726rgenw 3071 . . . . . . 7 𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
28 reliun 5408 . . . . . . 7 (Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
2927, 28mpbir 222 . . . . . 6 Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
30 relcnv 5685 . . . . . 6 Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
31 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
32 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑘𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
33 nfiu1 4706 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
3433nfcnv 5469 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
3534nfel2 2924 . . . . . . . . 9 𝑘𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
3632, 35nfbi 2002 . . . . . . . 8 𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
3731, 36nfim 1995 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
38 opeq2 4560 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑘⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3938eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)))
4038eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
4139, 40bibi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → ((⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))))
4241imbi2d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))) ↔ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))))
43 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
44 nfiu1 4706 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
4544nfel2 2924 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
46 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
4745, 46nfbi 2002 . . . . . . . . 9 𝑗(⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
4843, 47nfim 1995 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
49 opeq1 4559 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑥 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑥, 𝑘⟩)
5049eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑥 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)))
5149eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑥 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
5250, 51bibi12d 336 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑥 → ((⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)) ↔ (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))))
5352imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → ((𝜑 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))) ↔ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))))
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ↔ (𝑘𝐷𝑗𝐸)))
55 opeliunxp 5338 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
56 opeliunxp 5338 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑘, 𝑗⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ (𝑘𝐷𝑗𝐸))
5754, 55, 563bitr4g 305 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑘, 𝑗⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
58 vex 3353 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
59 vex 3353 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
6058, 59opelcnv 5472 . . . . . . . . 9 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ⟨𝑘, 𝑗⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
6157, 60syl6bbr 280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6248, 53, 61chvar 2368 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6337, 42, 62chvar 2368 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6429, 30, 63eqrelrdv 5385 . . . . 5 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) = 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
65 f1oeq3 6312 . . . . 5 ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) = 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) → ((𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6664, 65syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6725, 66mpbiri 249 . . 3 (𝜑 → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
681, 2, 3, 11, 16, 19, 67gsumf1o 18583 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}))))
69 sneq 4344 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
7069cnveqd 5466 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
7170unieqd 4604 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
72 opswap 5808 . . . . . . . . 9 {⟨𝑥, 𝑦⟩} = ⟨𝑦, 𝑥
7371, 72syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = ⟨𝑦, 𝑥⟩)
7473fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}) = ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘⟨𝑦, 𝑥⟩))
75 df-ov 6845 . . . . . . 7 (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥) = ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘⟨𝑦, 𝑥⟩)
7674, 75syl6eqr 2817 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}) = (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
7776mpt2mptx 6949 . . . . 5 (𝑧 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑥𝐷, 𝑦𝑥 / 𝑘𝐸 ↦ (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
78 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥({𝑘} × 𝐸)
79 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑘{𝑥}
80 nfcsb1v 3707 . . . . . . . 8 𝑘𝑥 / 𝑘𝐸
8179, 80nfxp 5310 . . . . . . 7 𝑘({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸)
82 sneq 4344 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → {𝑘} = {𝑥})
83 csbeq1a 3700 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥𝐸 = 𝑥 / 𝑘𝐸)
8482, 83xpeq12d 5308 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ({𝑘} × 𝐸) = ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸))
8578, 81, 84cbviun 4713 . . . . . 6 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) = 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸)
86 mpteq1 4896 . . . . . 6 ( 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) = 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸) → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑧 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})))
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑧 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}))
88 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝐸
89 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
90 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑦(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
91 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑘𝑦
92 nfmpt22 6921 . . . . . . 7 𝑘(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
93 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑘𝑥
9491, 92, 93nfov 6872 . . . . . 6 𝑘(𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥)
95 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑗𝑦
96 nfmpt21 6920 . . . . . . 7 𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
97 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑗𝑥
9895, 96, 97nfov 6872 . . . . . 6 𝑗(𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥)
99 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
100 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥) = (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
10199, 100sylan9eq 2819 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
10288, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101cbvmpt2x 6931 . . . . 5 (𝑘𝐷, 𝑗𝐸 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)) = (𝑥𝐷, 𝑦𝑥 / 𝑘𝐸 ↦ (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
10377, 87, 1023eqtr4i 2797 . . . 4 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑘𝐷, 𝑗𝐸 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
104 f1of 6320 . . . . . . 7 ((𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)⟶ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
10567, 104syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)⟶ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
106 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}) = (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧})
107106fmpt 6570 . . . . . 6 (∀𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) {𝑧} ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)⟶ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
108105, 107sylibr 225 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) {𝑧} ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
109 eqidd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}) = (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}))
11016feqmptd 6438 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑥 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘𝑥)))
111 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑥 = {𝑧} → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘𝑥) = ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}))
112108, 109, 110, 111fmptcof 6588 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧})) = (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})))
11312ex 401 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → 𝑋𝐵))
11414ovmpt4g 6981 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝐴𝑘𝐶𝑋𝐵) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
1151143expia 1150 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋))
116113, 115sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋))
11754, 116sylbird 251 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐷𝑗𝐸) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋))
1181173impib 1144 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷𝑗𝐸) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
119118eqcomd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷𝑗𝐸) → 𝑋 = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
120119mpt2eq3dva 6917 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋) = (𝑘𝐷, 𝑗𝐸 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
121103, 112, 1203eqtr4a 2825 . . 3 (𝜑 → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧})) = (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋))
122121oveq2d 6858 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋)))
12368, 122eqtrd 2799 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3691  {csn 4334  cop 4340   cuni 4594   ciun 4676   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  ccnv 5276  ccom 5281  Rel wrel 5282  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  Fincfn 8160  Basecbs 16130  0gc0g 16366   Σg cgsu 16367  CMndccmn 18459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-cntz 18013  df-cmn 18461
This theorem is referenced by:  gsumcom  18642  gsumbagdiag  19650
  Copyright terms: Public domain W3C validator