MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumcom2 18803
Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while 𝐴 and 𝐷 are constants w.r.t. 𝑗, 𝑘, 𝐶(𝑗) and 𝐸(𝑘) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d2.r ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
gsum2d2.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsum2d2.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
gsumcom2.d (𝜑𝐷𝑌)
gsumcom2.c (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ↔ (𝑘𝐷𝑗𝐸)))
Assertion
Ref Expression
gsumcom2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝐷,𝑗,𝑘   𝑗,𝐸   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)   𝑌(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 snex 5216 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
6 gsum2d2.r . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
7 xpexg 7321 . . . . . 6 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
85, 6, 7sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
98ralrimiva 3147 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10 iunexg 7511 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12 gsum2d2.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
1312ralrimivva 3156 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵)
14 eqid 2793 . . . . 5 (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
1514fmpox 7612 . . . 4 (∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵 ↔ (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
1613, 15sylib 219 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
17 gsum2d2.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
18 gsum2d2.n . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 18801 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) finSupp 0 )
20 relxp 5453 . . . . . . 7 Rel ({𝑘} × 𝐸)
2120rgenw 3115 . . . . . 6 𝑘𝐷 Rel ({𝑘} × 𝐸)
22 reliun 5567 . . . . . 6 (Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ∀𝑘𝐷 Rel ({𝑘} × 𝐸))
2321, 22mpbir 232 . . . . 5 Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
24 cnvf1o 7653 . . . . 5 (Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
26 relxp 5453 . . . . . . . 8 Rel ({𝑗} × 𝐶)
2726rgenw 3115 . . . . . . 7 𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
28 reliun 5567 . . . . . . 7 (Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
2927, 28mpbir 232 . . . . . 6 Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
30 relcnv 5835 . . . . . 6 Rel 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
31 nfv 1890 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
32 nfv 1890 . . . . . . . . 9 𝑘𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
33 nfiu1 4850 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
3433nfcnv 5627 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
3534nfel2 2963 . . . . . . . . 9 𝑘𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
3632, 35nfbi 1883 . . . . . . . 8 𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
3731, 36nfim 1876 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
38 opeq2 4705 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑘⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
3938eleq1d 2865 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)))
4038eleq1d 2865 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
4139, 40bibi12d 347 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → ((⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))))
4241imbi2d 342 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))) ↔ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))))
43 nfv 1890 . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
44 nfiu1 4850 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
4544nfel2 2963 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
46 nfv 1890 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)
4745, 46nfbi 1883 . . . . . . . . 9 𝑗(⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
4843, 47nfim 1876 . . . . . . . 8 𝑗(𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
49 opeq1 4704 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑥 → ⟨𝑗, 𝑘⟩ = ⟨𝑥, 𝑘⟩)
5049eleq1d 2865 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑥 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)))
5149eleq1d 2865 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑥 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
5250, 51bibi12d 347 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑥 → ((⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)) ↔ (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))))
5352imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → ((𝜑 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))) ↔ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))))
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ↔ (𝑘𝐷𝑗𝐸)))
55 opeliunxp 5497 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
56 opeliunxp 5497 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑘, 𝑗⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ (𝑘𝐷𝑗𝐸))
5754, 55, 563bitr4g 315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑘, 𝑗⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
58 vex 3435 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ V
59 vex 3435 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
6058, 59opelcnv 5630 . . . . . . . . 9 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↔ ⟨𝑘, 𝑗⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
6157, 60syl6bbr 290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6248, 53, 61chvar 2367 . . . . . . 7 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑘⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6337, 42, 62chvar 2367 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6429, 30, 63eqrelrdv 5543 . . . . 5 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) = 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸))
6564f1oeq3d 6472 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)))
6625, 65mpbiri 259 . . 3 (𝜑 → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
671, 2, 3, 11, 16, 19, 66gsumf1o 18745 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}))))
68 sneq 4476 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
6968cnveqd 5624 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
7069unieqd 4749 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = {⟨𝑥, 𝑦⟩})
71 opswap 5953 . . . . . . . . 9 {⟨𝑥, 𝑦⟩} = ⟨𝑦, 𝑥
7270, 71syl6eq 2845 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → {𝑧} = ⟨𝑦, 𝑥⟩)
7372fveq2d 6534 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}) = ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘⟨𝑦, 𝑥⟩))
74 df-ov 7010 . . . . . . 7 (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥) = ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘⟨𝑦, 𝑥⟩)
7573, 74syl6eqr 2847 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}) = (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
7675mpomptx 7112 . . . . 5 (𝑧 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑥𝐷, 𝑦𝑥 / 𝑘𝐸 ↦ (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
77 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑥({𝑘} × 𝐸)
78 nfcv 2947 . . . . . . . 8 𝑘{𝑥}
79 nfcsb1v 3828 . . . . . . . 8 𝑘𝑥 / 𝑘𝐸
8078, 79nfxp 5468 . . . . . . 7 𝑘({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸)
81 sneq 4476 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → {𝑘} = {𝑥})
82 csbeq1a 3819 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥𝐸 = 𝑥 / 𝑘𝐸)
8381, 82xpeq12d 5466 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ({𝑘} × 𝐸) = ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸))
8477, 80, 83cbviun 4858 . . . . . 6 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) = 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸)
8584mpteq1i 5044 . . . . 5 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑧 𝑥𝐷 ({𝑥} × 𝑥 / 𝑘𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}))
86 nfcv 2947 . . . . . 6 𝑥𝐸
87 nfcv 2947 . . . . . 6 𝑥(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
88 nfcv 2947 . . . . . 6 𝑦(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
89 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑘𝑦
90 nfmpo2 7084 . . . . . . 7 𝑘(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
91 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑘𝑥
9289, 90, 91nfov 7037 . . . . . 6 𝑘(𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥)
93 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑗𝑦
94 nfmpo1 7083 . . . . . . 7 𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
95 nfcv 2947 . . . . . . 7 𝑗𝑥
9693, 94, 95nfov 7037 . . . . . 6 𝑗(𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥)
97 oveq2 7015 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
98 oveq1 7014 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥) = (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
9997, 98sylan9eq 2849 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
10086, 79, 87, 88, 92, 96, 82, 99cbvmpox 7094 . . . . 5 (𝑘𝐷, 𝑗𝐸 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)) = (𝑥𝐷, 𝑦𝑥 / 𝑘𝐸 ↦ (𝑦(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑥))
10176, 85, 1003eqtr4i 2827 . . . 4 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})) = (𝑘𝐷, 𝑗𝐸 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
102 f1of 6475 . . . . . . 7 ((𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)–1-1-onto 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)⟶ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
10366, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)⟶ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
104 eqid 2793 . . . . . . 7 (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}) = (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧})
105104fmpt 6728 . . . . . 6 (∀𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) {𝑧} ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}): 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸)⟶ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
106103, 105sylibr 235 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) {𝑧} ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
107 eqidd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}) = (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}))
10816feqmptd 6593 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑥 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘𝑥)))
109 fveq2 6530 . . . . 5 (𝑥 = {𝑧} → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘𝑥) = ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧}))
110106, 107, 108, 109fmptcof 6746 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧})) = (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)‘ {𝑧})))
11112ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → 𝑋𝐵))
11214ovmpt4g 7144 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝐴𝑘𝐶𝑋𝐵) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
1131123expia 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → (𝑋𝐵 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋))
114111, 113sylcom 30 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋))
11554, 114sylbird 261 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘𝐷𝑗𝐸) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋))
1161153impib 1107 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷𝑗𝐸) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
117116eqcomd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷𝑗𝐸) → 𝑋 = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
118117mpoeq3dva 7080 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋) = (𝑘𝐷, 𝑗𝐸 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
119101, 110, 1183eqtr4a 2855 . . 3 (𝜑 → ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧})) = (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋))
120119oveq2d 7023 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) ∘ (𝑧 𝑘𝐷 ({𝑘} × 𝐸) ↦ {𝑧}))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋)))
12167, 120eqtrd 2829 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷, 𝑗𝐸𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  Vcvv 3432  csb 3806  {csn 4466  cop 4472   cuni 4739   ciun 4819   class class class wbr 4956  cmpt 5035   × cxp 5433  ccnv 5434  ccom 5439  Rel wrel 5440  wf 6213  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  (class class class)co 7007  cmpo 7009  Fincfn 8347  Basecbs 16300  0gc0g 16530   Σg cgsu 16531  CMndccmn 18621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-cntz 18176  df-cmn 18623
This theorem is referenced by:  gsumcom  18805  gsumbagdiag  19832
  Copyright terms: Public domain W3C validator