| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | relco 6126 |
. 2
⊢ Rel
(𝐴 ∘ 𝐵) |
| 2 | | reliun 5826 |
. . 3
⊢ (Rel
∪ 𝑥 ∈ V ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ V Rel ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 3 | | relxp 5703 |
. . . 4
⊢ Rel
((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ V → Rel ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 5 | 2, 4 | mprgbir 3068 |
. 2
⊢ Rel
∪ 𝑥 ∈ V ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) |
| 6 | | opelco2g 5878 |
. . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 ∘ 𝐵) ↔ ∃𝑥(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵 ∧ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴))) |
| 7 | 6 | el2v 3487 |
. . 3
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 ∘ 𝐵) ↔ ∃𝑥(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵 ∧ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴)) |
| 8 | | eliun 4995 |
. . . 4
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ∪ 𝑥 ∈ V ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) ↔ ∃𝑥 ∈ V 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 9 | | rexv 3509 |
. . . 4
⊢
(∃𝑥 ∈ V
〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) ↔ ∃𝑥〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 10 | | opelxp 5721 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) ↔ (𝑦 ∈ (◡𝐵 “ {𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 11 | | vex 3484 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑥 ∈ V |
| 12 | | vex 3484 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑦 ∈ V |
| 13 | 11, 12 | elimasn 6108 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐵 “ {𝑥}) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ◡𝐵) |
| 14 | 11, 12 | opelcnv 5892 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ◡𝐵 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵) |
| 15 | 13, 14 | bitri 275 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐵 “ {𝑥}) ↔ 〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵) |
| 16 | | vex 3484 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑧 ∈ V |
| 17 | 11, 16 | elimasn 6108 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 “ {𝑥}) ↔ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴) |
| 18 | 15, 17 | anbi12i 628 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ (◡𝐵 “ {𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 “ {𝑥})) ↔ (〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵 ∧ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴)) |
| 19 | 10, 18 | bitri 275 |
. . . . 5
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) ↔ (〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵 ∧ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴)) |
| 20 | 19 | exbii 1848 |
. . . 4
⊢
(∃𝑥〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) ↔ ∃𝑥(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵 ∧ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴)) |
| 21 | 8, 9, 20 | 3bitrri 298 |
. . 3
⊢
(∃𝑥(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ 𝐵 ∧ 〈𝑥, 𝑧〉 ∈ 𝐴) ↔ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ∪ 𝑥 ∈ V ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 22 | 7, 21 | bitri 275 |
. 2
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 ∘ 𝐵) ↔ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ∪ 𝑥 ∈ V ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥}))) |
| 23 | 1, 5, 22 | eqrelriiv 5800 |
1
⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) = ∪
𝑥 ∈ V ((◡𝐵 “ {𝑥}) × (𝐴 “ {𝑥})) |