Theorem ordsssuc2 6410

Description: An ordinal subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc2	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsssuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 6325	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2	1	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 → 𝐴 ∈ On))
3	2	anim1d 611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)))
4		onsssuc 6409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
5	3, 4	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
6		annim 403	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) ↔ ¬ (𝐵 ∈ On → 𝐴 ∈ V))
7		ssexg 5268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ V)
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ On → 𝐴 ∈ V))
9		elex 3461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	9	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 → (𝐵 ∈ On → 𝐴 ∈ V))
11	8, 10	pm5.21ni 377	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ On → 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
12	6, 11	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
13	12	expcom 413	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
14	13	adantld 490	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
15	5, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  Ord word 6316  Oncon0 6317  suc csuc 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  ordunisuc2  7786