MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsssuc 6476
Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
onsssuc ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc
StepHypRef Expression
1 eloni 6396 . 2 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2 ordsssuc 6475 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
31, 2sylan2 593 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wss 3963  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392
This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6477  onmindif  6478  tfindsg  7882  dfom2  7889  findsg  7920  ondif2  8539  oeeui  8639  cantnflem1  9727  rankr1bg  9841  rankr1c  9859  cofsmo  10307  cfsmolem  10308  cfcof  10312  fin1a2lem9  10446  alephreg  10620  winainflem  10731  n0sbday  28369  pw2bday  28433  zs12bday  28439  onsuct0  36424  onint1  36432  onintunirab  43216  cantnfresb  43314  oaun3lem4  43367
  Copyright terms: Public domain W3C validator