MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsssuc 6250
Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
onsssuc ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc
StepHypRef Expression
1 eloni 6173 . 2 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2 ordsssuc 6249 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
31, 2sylan2 595 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2112  wss 3884  Ord word 6162  Oncon0 6163  suc csuc 6165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-ord 6166  df-on 6167  df-suc 6169
This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6251  onmindif  6252  tfindsg  7559  dfom2  7566  findsg  7594  ondif2  8114  oeeui  8215  cantnflem1  9140  rankr1bg  9220  rankr1c  9238  cofsmo  9684  cfsmolem  9685  cfcof  9689  fin1a2lem9  9823  alephreg  9997  winainflem  10108  onsuct0  33897  onint1  33905
  Copyright terms: Public domain W3C validator