MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsssuc 6272
Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
onsssuc ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc
StepHypRef Expression
1 eloni 6195 . 2 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2 ordsssuc 6271 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
31, 2sylan2 592 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wss 3935  Ord word 6184  Oncon0 6185  suc csuc 6187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-ord 6188  df-on 6189  df-suc 6191
This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6273  onmindif  6274  tfindsg  7563  dfom2  7570  findsg  7597  ondif2  8118  oeeui  8218  cantnflem1  9141  rankr1bg  9221  rankr1c  9239  cofsmo  9680  cfsmolem  9681  cfcof  9685  fin1a2lem9  9819  alephreg  9993  winainflem  10104  onsuct0  33687  onint1  33695
  Copyright terms: Public domain W3C validator