Theorem onsssuc 6338

Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6261	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2		ordsssuc 6337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  Ord word 6250  Oncon0 6251  suc csuc 6253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257

This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6339  onmindif  6340  tfindsg  7682  dfom2  7689  findsg  7720  ondif2  8294  oeeui  8395  cantnflem1  9377  rankr1bg  9492  rankr1c  9510  cofsmo  9956  cfsmolem  9957  cfcof  9961  fin1a2lem9  10095  alephreg  10269  winainflem  10380  onsuct0  34557  onint1  34565