Theorem onsssuc 6412

Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6330	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2		ordsssuc 6411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  Ord word 6319  Oncon0 6320  suc csuc 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326

This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6413  onmindif  6414  tfindsg  7817  dfom2  7824  findsg  7853  ondif2  8443  oeeui  8543  cantnflem1  9618  rankr1bg  9732  rankr1c  9750  cofsmo  10198  cfsmolem  10199  cfcof  10203  fin1a2lem9  10337  alephreg  10511  winainflem  10622  n0sbday  28220  zs12bday  28319  onsuct0  36402  onint1  36410  onintunirab  43189  cantnfresb  43286  oaun3lem4  43339