Theorem onsssuc 6113

Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6036	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2		ordsssuc 6112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan2 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3822  Ord word 6025  Oncon0 6026  suc csuc 6028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-tr 5027  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-ord 6029  df-on 6030  df-suc 6032

This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6114  onmindif  6115  tfindsg  7389  dfom2  7396  findsg  7422  ondif2  7927  oeeui  8027  cantnflem1  8944  rankr1bg  9024  rankr1c  9042  cofsmo  9487  cfsmolem  9488  cfcof  9492  fin1a2lem9  9626  alephreg  9800  winainflem  9911  onsuct0  33346  onint1  33354