Theorem onsssuc 6271

Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6194	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2		ordsssuc 6270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  Ord word 6183  Oncon0 6184  suc csuc 6186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190

This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6272  onmindif  6273  tfindsg  7567  dfom2  7574  findsg  7601  ondif2  8119  oeeui  8220  cantnflem1  9144  rankr1bg  9224  rankr1c  9242  cofsmo  9683  cfsmolem  9684  cfcof  9688  fin1a2lem9  9822  alephreg  9996  winainflem  10107  onsuct0  33782  onint1  33790