Theorem onsssuc 6450

Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsssuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6367	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2		ordsssuc 6449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3	1, 2	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ suc 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363

This theorem is used by:  ordsssuc2  6451  onmindif  6452  tfindsg  7858  dfom2  7865  findsg  7895  ondif2  8492  oeeui  8593  cantnflem1  9671  rankr1bg  9788  rankr1c  9806  cofsmo  10274  cfsmolem  10275  cfcof  10279  fin1a2lem9  10413  alephreg  10594  winainflem  10705  n0bday  28620  bdaypw2n0bndlem  28731  bdayfinbndlem1  28735  fineqvnttrclselem2  35651  nmulprop  36773  onsuct0  37063  onint1  37071  onintunirab  44071  cantnfresb  44168  oaun3lem4  44221