MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsssuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsssuc 6474
Description: A subset of an ordinal number belongs to its successor. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
onsssuc ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem onsssuc
StepHypRef Expression
1 eloni 6394 . 2 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
2 ordsssuc 6473 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
31, 2sylan2 593 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴 ∈ suc 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wss 3951  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390
This theorem is referenced by:  ordsssuc2  6475  onmindif  6476  tfindsg  7882  dfom2  7889  findsg  7919  ondif2  8540  oeeui  8640  cantnflem1  9729  rankr1bg  9843  rankr1c  9861  cofsmo  10309  cfsmolem  10310  cfcof  10314  fin1a2lem9  10448  alephreg  10622  winainflem  10733  n0sbday  28354  pw2bday  28418  zs12bday  28424  onsuct0  36442  onint1  36450  onintunirab  43239  cantnfresb  43337  oaun3lem4  43390
  Copyright terms: Public domain W3C validator