Theorem eldm2 5880

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⟨cop 4590  dom cdm 5648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-dm 5658

This theorem is used by:  dmss  5881  opeldm  5886  dmin  5890  dmiun  5892  dmuni  5893  dm0  5899  reldm0  5907  dmrnssfld  5953  dmcoss  5954  dmcossOLD  5955  dmcosseq  5957  dmcosseqOLD  5958  dmres  6000  iss  6026  dmsnopg  6204  funssres  6573  dmfco  6970  fiun  7939  f1iun  7940  frrlem8  8290  frrlem10  8292  axdc3lem2  10486  fnpr2ob  17677  gsum2d2  20135  cnlnssadj  32601  prsdm  34465  eldm3  36441  dfdm5  36453  iss2  39190