Theorem eldm2 5852

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574  dom cdm 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-dm 5636

This theorem is referenced by:  dmss  5853  opeldm  5858  dmin  5862  dmiun  5864  dmuni  5865  dm0  5871  reldm0  5879  dmrnssfld  5925  dmcoss  5926  dmcossOLD  5927  dmcosseq  5929  dmcosseqOLD  5930  dmcosseqOLDOLD  5931  dmres  5973  iss  5996  dmsnopg  6173  funssres  6538  dmfco  6932  fiun  7891  f1iun  7892  frrlem8  8238  frrlem10  8240  axdc3lem2  10368  fnpr2ob  17517  gsum2d2  19944  cnlnssadj  32170  prsdm  34078  eldm3  35963  dfdm5  35975  iss2  38685