Theorem eldm2 5868

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⟨cop 4598  dom cdm 5641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-dm 5651

This theorem is referenced by:  dmss  5869  opeldm  5874  dmin  5878  dmiun  5880  dmuni  5881  dm0  5887  reldm0  5894  dmrnssfld  5940  dmcoss  5941  dmcosseq  5943  dmcosseqOLD  5944  dmres  5986  iss  6009  dmsnopg  6189  relssdmrnOLD  6245  funssres  6563  dmfco  6960  fiun  7924  f1iun  7925  frrlem8  8275  frrlem10  8277  axdc3lem2  10411  fnpr2ob  17528  gsum2d2  19911  cnlnssadj  32016  prsdm  33911  eldm3  35755  dfdm5  35767  iss2  38333