Theorem eldm2 5849

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5847	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  ⟨cop 4585  dom cdm 5623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-dm 5633

This theorem is referenced by:  dmss  5850  opeldm  5855  dmin  5859  dmiun  5861  dmuni  5862  dm0  5868  reldm0  5876  dmrnssfld  5922  dmcoss  5923  dmcossOLD  5924  dmcosseq  5926  dmcosseqOLD  5927  dmcosseqOLDOLD  5928  dmres  5970  iss  5993  dmsnopg  6170  funssres  6535  dmfco  6929  fiun  7887  f1iun  7888  frrlem8  8235  frrlem10  8237  axdc3lem2  10363  fnpr2ob  17481  gsum2d2  19905  cnlnssadj  32136  prsdm  34050  eldm3  35934  dfdm5  35946  iss2  38514