Theorem eldm2 5895

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209  ∃wex 1807   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462  ⟨cop 4600  dom cdm 5665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-ext 2742

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2099  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-dm 5675

This theorem is referenced by:  dmss  5896  opeldm  5901  dmin  5905  dmiun  5907  dmuni  5908  dm0  5914  reldm0  5922  dmrnssfld  5968  dmcoss  5969  dmcossOLD  5970  dmcosseq  5972  dmcosseqOLD  5973  dmres  6015  iss  6041  dmsnopg  6218  funssres  6584  dmfco  6981  fiun  7943  f1iun  7944  frrlem8  8293  frrlem10  8295  axdc3lem2  10438  fnpr2ob  17615  gsum2d2  20047  cnlnssadj  32402  prsdm  34274  eldm3  36211  dfdm5  36223  iss2  38943