Theorem eldm2 5889

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cop 4838  dom cdm 5655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-dm 5665

This theorem is used by:  dmss  5890  opeldm  5895  dmin  5899  dmiun  5901  dmuni  5902  dm0  5908  reldm0  5916  dmrnssfld  5962  dmcoss  5963  dmcossOLD  5964  dmcosseq  5966  dmcosseqOLD  5967  dmres  6014  iss  6038  dmsnopg  6226  funssres  6601  dmfco  7001  fiun  7976  f1iun  7977  frrlem8  8336  frrlem10  8338  axdc3lem2  10553  fnpr2ob  17756  gsum2d2  20215  cnlnssadj  32709  prsdm  34613  eldm3  36703  dfdm5  36714  iss2  39467