Theorem eldm2 5856

Description: Membership in a domain. Theorem 4 of [Suppes] p. 59. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eldm2	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Proof of Theorem eldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eldm2g 5854	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑦⟨𝐴, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ⟨cop 4573  dom cdm 5631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-dm 5641

This theorem is referenced by:  dmss  5857  opeldm  5862  dmin  5866  dmiun  5868  dmuni  5869  dm0  5875  reldm0  5883  dmrnssfld  5929  dmcoss  5930  dmcossOLD  5931  dmcosseq  5933  dmcosseqOLD  5934  dmcosseqOLDOLD  5935  dmres  5977  iss  6000  dmsnopg  6177  funssres  6542  dmfco  6936  fiun  7896  f1iun  7897  frrlem8  8243  frrlem10  8245  axdc3lem2  10373  fnpr2ob  17522  gsum2d2  19949  cnlnssadj  32151  prsdm  34058  eldm3  35943  dfdm5  35955  iss2  38665