Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsssdm Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Domain of a subproset relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ordtNEW.l = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
Assertion
Ref Expression
prsssdm ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)

StepHypRef Expression
1 ordtNEW.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ordtNEW.l . . . 4 = ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))
31, 2prsss 30732 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
43dmeqd 5652 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
51ressprs 30286 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )
6 eqid 2793 . . . . 5 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
7 eqid 2793 . . . . 5 ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
86, 7prsdm 30730 . . . 4 ((𝐾s 𝐴) ∈ Proset → dom ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
10 eqid 2793 . . . . . . . . 9 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
1110, 1ressbas2 16372 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
12 fvex 6543 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐾s 𝐴)) ∈ V
1311, 12syl6eqel 2889 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
14 eqid 2793 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1510, 14ressle 16489 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
1811adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
1918sqxpeqd 5467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐴) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2017, 19ineq12d 4105 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2120dmeqd 5652 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom ((le‘(𝐾s 𝐴)) ∩ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
229, 21, 183eqtr4d 2839 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
234, 22eqtrd 2829 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → dom ( ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  Vcvv 3432   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854   × cxp 5433  dom cdm 5435  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300   ↾s cress 16301  lecple 16389   Proset cproset 17353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-dec 11937  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-ple 16402  df-proset 17355 This theorem is referenced by:  ordtrest2NEWlem  30738  ordtrest2NEW  30739
 Copyright terms: Public domain W3C validator