Theorem psssdm 18300

Description: Field of a subposet. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psssdm.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
psssdm	⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem psssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psssdm.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2	1	psssdm2 18299	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑋 ∩ 𝐴))
3		sseqin2 4149	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	3	biimpi 215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
5	2, 4	sylan9eq 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   × cxp 5587  dom cdm 5589  PosetRelcps 18282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ps 18284

This theorem is referenced by:  ordtrest2lem  22354  ordtrest2  22355  icopnfhmeo  24106  iccpnfhmeo  24108  xrhmeo  24109  xrge0iifhmeo  31886