Theorem rrgss 20633

Description: Left-regular elements are a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgss.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrgss	⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rrgss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		rrgss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	rrgval 20628	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))}
6	5	ssrab3 4032	1 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  0_gc0g 17357  RLRegcrlreg 20622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-rlreg 20625

This theorem is referenced by:  isdomn6  20645  znrrg  21518  mdegvsca  26035  deg1mul3  26075  rrgsubm  33315  fracbas  33336  fracerl  33337  fracfld  33339  assalactf1o  33741  assarrginv  33742