Theorem rrgss 20679

Description: Left-regular elements are a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgss.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrgss	⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rrgss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		rrgss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	rrgval 20674	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))}
6	5	ssrab3 4022	1 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  RLRegcrlreg 20668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-rlreg 20671

This theorem is referenced by:  isdomn6  20691  znrrg  21545  mdegvsca  26041  deg1mul3  26081  rrgsubm  33345  fracbas  33366  fracerl  33367  fracfld  33369  assalactf1o  33779  assarrginv  33780