MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znrrg 20384
Description: The regular elements of ℤ/n are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only ±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znrrg.e 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znrrg (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11983 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 znchr.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4 eqid 2738 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
52, 3, 4znzrhfo 20366 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
7 znrrg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
87, 3rrgss 20184 . . . . . . 7 𝐸 ⊆ (Base‘𝑌)
98sseli 3873 . . . . . 6 (𝑥𝐸𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
10 foelrn 6882 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
116, 9, 10syl2an 599 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
1211ex 416 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)))
13 nncn 11724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℂ)
15 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ ℤ)
16 nnz 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1716ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 nnne0 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 0)
20 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2120necon3ai 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23 gcdn0cl 15945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2415, 17, 22, 23syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
2524nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
2624nnne0d 11766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ≠ 0)
2714, 25, 26divcan2d 11496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28 gcddvds 15946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2915, 17, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3029simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛)
3124nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
3229simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
33 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
34 nndivdvds 15708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
3533, 24, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
3632, 35mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
3736nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
38 dvdsmulc 15729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
3931, 15, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
4127, 40eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸)
431ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4443, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
45 fof 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
4746, 37ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑌) = (.r𝑌)
49 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑌) = (0g𝑌)
507, 3, 48, 49rrgeq0i 20181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌)))
5142, 47, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌)))
522zncrng 20363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
531, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
54 crngring 19428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
5655ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ Ring)
574zrhrhm 20332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
59 zringbas 20295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ = (Base‘ℤring)
60 zringmulr 20298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℤring)
6159, 60, 48rhmmul 19601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6258, 15, 37, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6362eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌)))
6415, 37zmulcld 12174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
652, 4, 49zndvds0 20369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6643, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6763, 66bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
682, 4, 49zndvds0 20369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
6943, 37, 68syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7051, 67, 693imtr3d 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7141, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7214, 25, 26divcan1d 11495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
7336nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℂ)
7473mulid1d 10736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7571, 72, 743brtr4d 5062 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1))
76 1zzd 12094 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
7736nnne0d 11766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)
78 dvdscmulr 15730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
7931, 76, 37, 77, 78syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
8075, 79mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1)
8115, 17gcdcld 15951 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
82 dvds1 15764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8480, 83mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85 znunit.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = (Unit‘𝑌)
862, 85, 4znunit 20382 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8743, 15, 86syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8884, 87mpbird 260 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)
8988ex 416 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
90 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝐸 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸))
91 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
9290, 91imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → ((𝑥𝐸𝑥𝑈) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)))
9389, 92syl5ibrcom 250 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝐸𝑥𝑈)))
9493rexlimdva 3194 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥𝐸𝑥𝑈)))
9594com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥𝐸 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → 𝑥𝑈)))
9612, 95mpdd 43 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥𝐸𝑥𝑈))
9796ssrdv 3883 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸𝑈)
987, 85unitrrg 20185 . . 3 (𝑌 ∈ Ring → 𝑈𝐸)
9955, 98syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈𝐸)
10097, 99eqssd 3894 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wrex 3054  wss 3843   class class class wbr 5030  wf 6335  ontowfo 6337  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620   / cdiv 11375  cn 11716  0cn0 11976  cz 12062  cdvds 15699   gcd cgcd 15937  Basecbs 16586  .rcmulr 16669  0gc0g 16816  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  Unitcui 19511   RingHom crh 19586  RLRegcrlreg 20171  ringzring 20289  ℤRHomczrh 20320  ℤ/nczn 20323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-eqg 18396  df-ghm 18474  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-2idl 20124  df-rlreg 20175  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zn 20327
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator