Theorem znrrg 21726

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only ±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znrrg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		znchr.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	2, 3, 4	znzrhfo 21708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
6	1, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
8	7, 3	rrgss 20812	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑌)
9	8	sseli 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
10		foelrn 7102	. . . . . 6 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
11	6, 9, 10	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
12	11	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)))
13		nncn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℂ)
15		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ ℤ)
16		nnz 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nnne0 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 0)
20		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	necon3ai 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23		gcdn0cl 16566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
26	24	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ≠ 0)
27	14, 25, 26	divcan2d 11999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28		gcddvds 16567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
29	15, 17, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
30	29	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛)
31	24	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
32	29	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
33		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		nndivdvds 16325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
35	33, 24, 34	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
36	32, 35	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
38		dvdsmulc 16347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
40	30, 39	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
41	27, 40	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸)
43	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	43, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
45		fof 6792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
47	46, 37	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌))
48		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
49		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 20809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌)))
51	42, 47, 50	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌)))
52	2	zncrng 21705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
53	1, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
54		crngring 20333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
56	55	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ Ring)
57	4	zrhrhm 21672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
59		zringbas 21614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
60		zringmulr 21618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘ℤring)
61	59, 60, 48	rhmmul 20579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
62	58, 15, 37, 61	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
63	62	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌)))
64	15, 37	zmulcld 12712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
65	2, 4, 49	zndvds0 21711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
66	43, 64, 65	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
67	63, 66	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
68	2, 4, 49	zndvds0 21711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
69	43, 37, 68	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
70	51, 67, 69	3imtr3d 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
71	41, 70	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
72	14, 25, 26	divcan1d 11998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
73	36	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℂ)
74	73	mulridd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
75	71, 72, 74	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1))
76		1zzd 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
77	36	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)
78		dvdscmulr 16348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
79	31, 76, 37, 77, 78	syl112anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
80	75, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1)
81	15, 17	gcdcld 16572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
82		dvds1 16383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
83	81, 82	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
84	80, 83	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
86	2, 85, 4	znunit 21724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
87	43, 15, 86	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
88	84, 87	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)
89	88	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
90		eleq1 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸))
91		eleq1 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
92	90, 91	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → ((𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)))
93	89, 92	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
94	93	rexlimdva 3165	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
95	94	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → 𝑥 ∈ 𝑈)))
96	12, 95	mpdd 44	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈))
97	96	ssrdv 3942	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 ⊆ 𝑈)
98	7, 85	unitrrg 20813	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)
99	55, 98	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ 𝐸)
100	97, 99	eqssd 3953	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11877  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597   ∥ cdvds 16316   gcd cgcd 16558  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  Unitcui 20444   RingHom crh 20558  RLRegcrlreg 20801  ℤ_ringczring 21607  ℤRHomczrh 21660  ℤ/nℤczn 21663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-rlreg 20804  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664  df-zn 21667

This theorem is used by: (None)