MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znrrg 21120
Description: The regular elements of β„€/nβ„€ are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only Β±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
znrrg.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znrrg (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 = π‘ˆ)

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12478 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 znchr.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
52, 3, 4znzrhfo 21102 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
7 znrrg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘Œ)
87, 3rrgss 20907 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)
98sseli 3978 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
10 foelrn 7107 . . . . . 6 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›))
116, 9, 10syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›))
1211ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)))
13 nncn 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
16 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
18 nnne0 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 β‰  0)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 = 0)
2120necon3ai 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 β‰  0 β†’ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23 gcdn0cl 16442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•)
2415, 17, 22, 23syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•)
2524nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„‚)
2624nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) β‰  0)
2714, 25, 26divcan2d 11991 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28 gcddvds 16443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
2915, 17, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
3029simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛)
3124nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€)
3229simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁)
33 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
34 nndivdvds 16205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•))
3533, 24, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•)
3736nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€)
38 dvdsmulc 16226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
3931, 15, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
4127, 40eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸)
431ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4443, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
45 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
4746, 37ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
507, 3, 48, 49rrgeq0i 20904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
5142, 47, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
522zncrng 21099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
531, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ CRing)
54 crngring 20067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
574zrhrhm 21060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
59 zringbas 21022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
60 zringmulr 21026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
6159, 60, 48rhmmul 20263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6258, 15, 37, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6362eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
6415, 37zmulcld 12671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ β„€)
652, 4, 49zndvds0 21105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6643, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6763, 66bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
682, 4, 49zndvds0 21105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
6943, 37, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7051, 67, 693imtr3d 292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7141, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7214, 25, 26divcan1d 11990 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
7336nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„‚)
7473mulridd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7571, 72, 743brtr4d 5180 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1))
76 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 1 ∈ β„€)
7736nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) β‰  0)
78 dvdscmulr 16227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) β‰  0)) β†’ (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7931, 76, 37, 77, 78syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
8075, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1)
8115, 17gcdcld 16448 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•0)
82 dvds1 16261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8480, 83mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85 znunit.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
862, 85, 4znunit 21118 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8743, 15, 86syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8884, 87mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ)
8988ex 413 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ))
90 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸))
91 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ))
9290, 91imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ)))
9389, 92syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9493rexlimdva 3155 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9594com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9612, 95mpdd 43 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
9796ssrdv 3988 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 βŠ† π‘ˆ)
987, 85unitrrg 20908 . . 3 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
9955, 98syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
10097, 99eqssd 3999 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557   βˆ₯ cdvds 16196   gcd cgcd 16434  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  Unitcui 20168   RingHom crh 20247  RLRegcrlreg 20894  β„€ringczring 21016  β„€RHomczrh 21048  β„€/nβ„€czn 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-rlreg 20898  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator