Theorem znrrg 21544

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only ±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znrrg.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znrrg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		znchr.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
4		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	2, 3, 4	znzrhfo 21526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑌)
8	7, 3	rrgss 20678	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑌)
9	8	sseli 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑌))
10		foelrn 7052	. . . . . 6 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
11	6, 9, 10	syl2an 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛))
12	11	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)))
13		nncn 12177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℂ)
15		simplr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ ℤ)
16		nnz 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		nnne0 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
19	18	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ≠ 0)
20		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
21	20	necon3ai 2961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23		gcdn0cl 16466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
26	24	nnne0d 12222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ≠ 0)
27	14, 25, 26	divcan2d 11928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28		gcddvds 16467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
29	15, 17, 28	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
30	29	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛)
31	24	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
32	29	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
33		simpll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		nndivdvds 16225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
35	33, 24, 34	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
36	32, 35	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
37	36	nnzd 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
38		dvdsmulc 16247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 𝑛 → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
40	30, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
41	27, 40	eqbrtrrd 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸)
43	1	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	43, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
45		fof 6743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
47	46, 37	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌))
48		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
49		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 20675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌)))
51	42, 47, 50	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌)))
52	2	zncrng 21523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
53	1, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
54		crngring 20221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
56	55	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑌 ∈ Ring)
57	4	zrhrhm 21490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
59		zringbas 21432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
60		zringmulr 21436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘ℤring)
61	59, 60, 48	rhmmul 20461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
62	58, 15, 37, 61	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
63	62	eqeq1d 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌)))
64	15, 37	zmulcld 12634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
65	2, 4, 49	zndvds0 21529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
66	43, 64, 65	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
67	63, 66	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
68	2, 4, 49	zndvds0 21529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
69	43, 37, 68	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
70	51, 67, 69	3imtr3d 295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 ∥ (𝑛 · (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
71	41, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 𝑁 ∥ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
72	14, 25, 26	divcan1d 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
73	36	nncnd 12185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℂ)
74	73	mulridd 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
75	71, 72, 74	3brtr4d 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1))
76		1zzd 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
77	36	nnne0d 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)
78		dvdscmulr 16248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ≠ 0)) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
79	31, 76, 37, 77, 78	syl112anc 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · (𝑛 gcd 𝑁)) ∥ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) · 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1))
80	75, 79	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1)
81	15, 17	gcdcld 16472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
82		dvds1 16283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((𝑛 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
84	80, 83	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
86	2, 85, 4	znunit 21542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
87	43, 15, 86	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
88	84, 87	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)
89	88	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
90		eleq1 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸))
91		eleq1 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈))
92	90, 91	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → ((𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝐸 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) ∈ 𝑈)))
93	89, 92	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
94	93	rexlimdva 3142	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
95	94	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑛) → 𝑥 ∈ 𝑈)))
96	12, 95	mpdd 43	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ 𝐸 → 𝑥 ∈ 𝑈))
97	96	ssrdv 3923	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 ⊆ 𝑈)
98	7, 85	unitrrg 20679	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ 𝐸)
99	55, 98	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑈 ⊆ 𝐸)
100	97, 99	eqssd 3934	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐸 = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ⟶wf 6485  –onto→wfo 6487  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038   / cdiv 11802  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519   ∥ cdvds 16216   gcd cgcd 16458  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  Unitcui 20330   RingHom crh 20444  RLRegcrlreg 20667  ℤ_ringczring 21425  ℤRHomczrh 21478  ℤ/nℤczn 21481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096  df-ghm 19183  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-rhm 20447  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-rlreg 20670  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-lidl 21205  df-rsp 21206  df-2idl 21247  df-cnfld 21352  df-zring 21426  df-zrh 21482  df-zn 21485

This theorem is referenced by: (None)