MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znrrg 21121
Description: The regular elements of β„€/nβ„€ are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only Β±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
znrrg.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znrrg (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 = π‘ˆ)

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12479 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 znchr.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
52, 3, 4znzrhfo 21103 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
7 znrrg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘Œ)
87, 3rrgss 20908 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)
98sseli 3979 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
10 foelrn 7108 . . . . . 6 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›))
116, 9, 10syl2an 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›))
1211ex 414 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)))
13 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
16 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
18 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 β‰  0)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 = 0)
2120necon3ai 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 β‰  0 β†’ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23 gcdn0cl 16443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•)
2415, 17, 22, 23syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•)
2524nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„‚)
2624nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) β‰  0)
2714, 25, 26divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28 gcddvds 16444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
2915, 17, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
3029simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛)
3124nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€)
3229simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁)
33 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
34 nndivdvds 16206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•))
3533, 24, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•)
3736nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€)
38 dvdsmulc 16227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
3931, 15, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
4127, 40eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸)
431ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4443, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
45 fof 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
4746, 37ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
507, 3, 48, 49rrgeq0i 20905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
5142, 47, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
522zncrng 21100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
531, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ CRing)
54 crngring 20068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
574zrhrhm 21061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
59 zringbas 21023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
60 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
6159, 60, 48rhmmul 20264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6258, 15, 37, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6362eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
6415, 37zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ β„€)
652, 4, 49zndvds0 21106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6643, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6763, 66bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
682, 4, 49zndvds0 21106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
6943, 37, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7051, 67, 693imtr3d 293 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7141, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7214, 25, 26divcan1d 11991 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
7336nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„‚)
7473mulridd 11231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7571, 72, 743brtr4d 5181 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1))
76 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 1 ∈ β„€)
7736nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) β‰  0)
78 dvdscmulr 16228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) β‰  0)) β†’ (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7931, 76, 37, 77, 78syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
8075, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1)
8115, 17gcdcld 16449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•0)
82 dvds1 16262 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8480, 83mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85 znunit.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
862, 85, 4znunit 21119 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8743, 15, 86syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8884, 87mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ)
8988ex 414 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ))
90 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸))
91 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ))
9290, 91imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ)))
9389, 92syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9493rexlimdva 3156 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9594com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9612, 95mpdd 43 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
9796ssrdv 3989 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 βŠ† π‘ˆ)
987, 85unitrrg 20909 . . 3 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
9955, 98syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
10097, 99eqssd 4000 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558   βˆ₯ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169   RingHom crh 20248  RLRegcrlreg 20895  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-rlreg 20899  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator