MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znrrg 20995
Description: The regular elements of β„€/nβ„€ are exactly the units. (This theorem fails for 𝑁 = 0, where all nonzero integers are regular, but only Β±1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
znrrg.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znrrg (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 = π‘ˆ)

Proof of Theorem znrrg
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12428 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 znchr.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 (β„€RHomβ€˜π‘Œ) = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
52, 3, 4znzrhfo 20977 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
7 znrrg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘Œ)
87, 3rrgss 20785 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)
98sseli 3944 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
10 foelrn 7060 . . . . . 6 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›))
116, 9, 10syl2an 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›))
1211ex 414 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)))
13 nncn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
16 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
18 nnne0 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 β‰  0)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0) β†’ 𝑁 = 0)
2120necon3ai 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 β‰  0 β†’ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
23 gcdn0cl 16390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑛 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•)
2415, 17, 22, 23syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•)
2524nncnd 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„‚)
2624nnne0d 12211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) β‰  0)
2714, 25, 26divcan2d 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = 𝑁)
28 gcddvds 16391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
2915, 17, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 ∧ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
3029simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛)
3124nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€)
3229simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁)
33 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
34 nndivdvds 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•))
3533, 24, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•))
3632, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„•)
3736nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€)
38 dvdsmulc 16174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
3931, 15, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑛 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
4127, 40eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸)
431ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4443, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
45 fof 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„€RHomβ€˜π‘Œ):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
4746, 37ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
507, 3, 48, 49rrgeq0i 20782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
5142, 47, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
522zncrng 20974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
531, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ CRing)
54 crngring 19984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘Œ ∈ Ring)
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
574zrhrhm 20935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
59 zringbas 20898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
60 zringmulr 20901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
6159, 60, 48rhmmul 20169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β„€RHomβ€˜π‘Œ) ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6258, 15, 37, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6362eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ)))
6415, 37zmulcld 12621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ β„€)
652, 4, 49zndvds0 20980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6643, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
6763, 66bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))))
682, 4, 49zndvds0 20980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
6943, 37, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜(𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7051, 67, 693imtr3d 293 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑛 Β· (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁))))
7141, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7214, 25, 26divcan1d 11940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) = 𝑁)
7336nncnd 12177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„‚)
7473mulid1d 11180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) = (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)))
7571, 72, 743brtr4d 5141 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1))
76 1zzd 12542 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ 1 ∈ β„€)
7736nnne0d 12211 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) β‰  0)
78 dvdscmulr 16175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) β‰  0)) β†’ (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7931, 76, 37, 77, 78syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· (𝑛 gcd 𝑁)) βˆ₯ ((𝑁 / (𝑛 gcd 𝑁)) Β· 1) ↔ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
8075, 79mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1)
8115, 17gcdcld 16396 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•0)
82 dvds1 16209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 gcd 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑛 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8480, 83mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (𝑛 gcd 𝑁) = 1)
85 znunit.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
862, 85, 4znunit 20993 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8743, 15, 86syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑛 gcd 𝑁) = 1))
8884, 87mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ)
8988ex 414 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ))
90 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸))
91 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ))
9290, 91imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ 𝐸 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) ∈ π‘ˆ)))
9389, 92syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9493rexlimdva 3149 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9594com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ π‘₯ = ((β„€RHomβ€˜π‘Œ)β€˜π‘›) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)))
9612, 95mpdd 43 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝐸 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
9796ssrdv 3954 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 βŠ† π‘ˆ)
987, 85unitrrg 20786 . . 3 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
9955, 98syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐸)
10097, 99eqssd 3965 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐸 = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507   βˆ₯ cdvds 16144   gcd cgcd 16382  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  Unitcui 20076   RingHom crh 20153  RLRegcrlreg 20772  β„€ringczring 20892  β„€RHomczrh 20923  β„€/nβ„€czn 20926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-nsg 18934  df-eqg 18935  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-rsp 20681  df-2idl 20747  df-rlreg 20776  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-zn 20930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator