Theorem rrgsupp 20586

Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rrgval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rrgsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rrgsupp	⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsupp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		rrgsupp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4		fvexd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ V)
5		fconstmpt 5681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
7		rrgsupp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
8	7	feqmptd 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
9	1, 3, 4, 6, 8	offval2 7633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
11	10	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13		ovex 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ V
14		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑌‘𝑦) = (𝑌‘𝑥))
15	14	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))
17	15, 16	fvmptg 6928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
18	12, 13, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
19	11, 18	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
20	19	neeq1d 2984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ))
21	20	rabbidva 3401	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 })
22		rrgsupp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
25	7	ffvelcdmda 7018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵)
26		rrgval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27		rrgval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
28		rrgval.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29		rrgval.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	26, 27, 28, 29	rrgeq0 20585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
31	23, 24, 25, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
32	31	necon3bid 2969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 ))
33	32	rabbidva 3401	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
34	21, 33	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
35		ovex 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ V
36	35, 16	fnmpti 6625	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼
37		fneq1 6573	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼))
38	36, 37	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
39	9, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
40	29	fvexi 6836	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		suppvalfn 8101	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
43	39, 1, 41, 42	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
44	7	ffnd 6653	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
45		suppvalfn 8101	. . 3 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
46	44, 1, 41, 45	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
47	34, 43, 46	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394  Vcvv 3436  {csn 4577   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   supp csupp 8093  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Ringcrg 20118  RLRegcrlreg 20576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-rlreg 20579

This theorem is referenced by:  mdegvsca  25979  deg1mul3  26019