MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgsupp 20701
Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
rrgsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
rrgsupp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x (𝜑𝑋𝐸)
rrgsupp.y (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
rrgsupp (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgsupp.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
2 rrgsupp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐸)
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑋𝐸)
4 fvexd 6921 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ V)
5 fconstmpt 5747 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋)
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋))
7 rrgsupp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
87feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
91, 3, 4, 6, 8offval2 7717 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
1110fveq1d 6908 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
13 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V
14 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑌𝑦) = (𝑌𝑥))
1514oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌𝑦)) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))
1715, 16fvmptg 7014 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1812, 13, 17sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1911, 18eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
2019neeq1d 3000 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ))
2120rabbidva 3443 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 })
22 rrgsupp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
242adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐸)
257ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐵)
26 rrgval.e . . . . . . 7 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27 rrgval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
28 rrgval.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
29 rrgval.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
3026, 27, 28, 29rrgeq0 20700 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3123, 24, 25, 30syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3231necon3bid 2985 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌𝑥) ≠ 0 ))
3332rabbidva 3443 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
3421, 33eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
35 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑋 · (𝑌𝑦)) ∈ V
3635, 16fnmpti 6711 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼
37 fneq1 6659 . . . . 5 (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼))
3836, 37mpbiri 258 . . . 4 (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
399, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
4029fvexi 6920 . . . 4 0 ∈ V
4140a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
42 suppvalfn 8193 . . 3 ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
4339, 1, 41, 42syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
447ffnd 6737 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝐼)
45 suppvalfn 8193 . . 3 ((𝑌 Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4644, 1, 41, 45syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4734, 43, 463eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  RLRegcrlreg 20691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-rlreg 20694
This theorem is referenced by:  mdegvsca  26115  deg1mul3  26155
  Copyright terms: Public domain W3C validator