Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgsupp 20067
 Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
rrgsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
rrgsupp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x (𝜑𝑋𝐸)
rrgsupp.y (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
rrgsupp (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgsupp.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
2 rrgsupp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐸)
32adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑋𝐸)
4 fvexd 6688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ V)
5 fconstmpt 5617 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋)
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋))
7 rrgsupp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
87feqmptd 6736 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
91, 3, 4, 6, 8offval2 7429 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
109adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
1110fveq1d 6675 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥))
12 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
13 ovex 7192 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V
14 fveq2 6673 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑌𝑦) = (𝑌𝑥))
1514oveq2d 7175 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌𝑦)) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
16 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))
1715, 16fvmptg 6769 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1812, 13, 17sylancl 588 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1911, 18eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
2019neeq1d 3078 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ))
2120rabbidva 3481 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 })
22 rrgsupp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
242adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐸)
257ffvelrnda 6854 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐵)
26 rrgval.e . . . . . . 7 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27 rrgval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
28 rrgval.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
29 rrgval.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
3026, 27, 28, 29rrgeq0 20066 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3123, 24, 25, 30syl3anc 1367 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3231necon3bid 3063 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌𝑥) ≠ 0 ))
3332rabbidva 3481 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
3421, 33eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
35 ovex 7192 . . . . . 6 (𝑋 · (𝑌𝑦)) ∈ V
3635, 16fnmpti 6494 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼
37 fneq1 6447 . . . . 5 (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼))
3836, 37mpbiri 260 . . . 4 (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
399, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
4029fvexi 6687 . . . 4 0 ∈ V
4140a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
42 suppvalfn 7840 . . 3 ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
4339, 1, 41, 42syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
447ffnd 6518 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝐼)
45 suppvalfn 7840 . . 3 ((𝑌 Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4644, 1, 41, 45syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4734, 43, 463eqtr4d 2869 1 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  {crab 3145  Vcvv 3497  {csn 4570   ↦ cmpt 5149   × cxp 5556   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘f cof 7410   supp csupp 7833  Basecbs 16486  .rcmulr 16569  0gc0g 16716  Ringcrg 19300  RLRegcrlreg 20055 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-mgp 19243  df-ring 19302  df-rlreg 20059 This theorem is referenced by:  mdegvsca  24673  deg1mul3  24712
 Copyright terms: Public domain W3C validator