Theorem rrgsupp 20616

Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rrgval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rrgsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rrgsupp	⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsupp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		rrgsupp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4		fvexd 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ V)
5		fconstmpt 5702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
7		rrgsupp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
8	7	feqmptd 6931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
9	1, 3, 4, 6, 8	offval2 7675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
11	10	fveq1d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥))
12		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13		ovex 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ V
14		fveq2 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑌‘𝑦) = (𝑌‘𝑥))
15	14	oveq2d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
16		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))
17	15, 16	fvmptg 6968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
18	12, 13, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
19	11, 18	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
20	19	neeq1d 2985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ))
21	20	rabbidva 3415	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 })
22		rrgsupp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
25	7	ffvelcdmda 7058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵)
26		rrgval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27		rrgval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
28		rrgval.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29		rrgval.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	26, 27, 28, 29	rrgeq0 20615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
31	23, 24, 25, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
32	31	necon3bid 2970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 ))
33	32	rabbidva 3415	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
34	21, 33	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
35		ovex 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ V
36	35, 16	fnmpti 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼
37		fneq1 6611	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼))
38	36, 37	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
39	9, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
40	29	fvexi 6874	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		suppvalfn 8149	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
43	39, 1, 41, 42	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
44	7	ffnd 6691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
45		suppvalfn 8149	. . 3 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
46	44, 1, 41, 45	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
47	34, 43, 46	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450  {csn 4591   ↦ cmpt 5190   × cxp 5638   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∘_f cof 7653   supp csupp 8141  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17408  Ringcrg 20148  RLRegcrlreg 20606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-rlreg 20609

This theorem is referenced by:  mdegvsca  25987  deg1mul3  26027