MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgsupp 20718
Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
rrgsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
rrgsupp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x (𝜑𝑋𝐸)
rrgsupp.y (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
rrgsupp (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgsupp.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
2 rrgsupp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐸)
32adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑋𝐸)
4 fvexd 6922 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ V)
5 fconstmpt 5751 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋)
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋))
7 rrgsupp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
87feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
91, 3, 4, 6, 8offval2 7717 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
1110fveq1d 6909 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
13 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V
14 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑌𝑦) = (𝑌𝑥))
1514oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌𝑦)) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))
1715, 16fvmptg 7014 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1812, 13, 17sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1911, 18eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
2019neeq1d 2998 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ))
2120rabbidva 3440 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 })
22 rrgsupp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
242adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐸)
257ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐵)
26 rrgval.e . . . . . . 7 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27 rrgval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
28 rrgval.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
29 rrgval.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
3026, 27, 28, 29rrgeq0 20717 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3123, 24, 25, 30syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3231necon3bid 2983 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌𝑥) ≠ 0 ))
3332rabbidva 3440 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
3421, 33eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
35 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑋 · (𝑌𝑦)) ∈ V
3635, 16fnmpti 6712 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼
37 fneq1 6660 . . . . 5 (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼))
3836, 37mpbiri 258 . . . 4 (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
399, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
4029fvexi 6921 . . . 4 0 ∈ V
4140a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
42 suppvalfn 8192 . . 3 ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
4339, 1, 41, 42syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
447ffnd 6738 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝐼)
45 suppvalfn 8192 . . 3 ((𝑌 Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4644, 1, 41, 45syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4734, 43, 463eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8184  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  RLRegcrlreg 20708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rlreg 20711
This theorem is referenced by:  mdegvsca  26130  deg1mul3  26170
  Copyright terms: Public domain W3C validator