Theorem rrgsupp 20067

Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rrgval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rrgsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rrgsupp	⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsupp.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		rrgsupp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
3	2	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
4		fvexd 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑦) ∈ V)
5		fconstmpt 5617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
7		rrgsupp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
8	7	feqmptd 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑌‘𝑦)))
9	1, 3, 4, 6, 8	offval2 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
10	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))))
11	10	fveq1d 6675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥))
12		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13		ovex 7192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ V
14		fveq2 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑌‘𝑦) = (𝑌‘𝑥))
15	14	oveq2d 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
16		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))
17	15, 16	fvmptg 6769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
18	12, 13, 17	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
19	11, 18	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌‘𝑥)))
20	19	neeq1d 3078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ))
21	20	rabbidva 3481	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 })
22		rrgsupp.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	22	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐸)
25	7	ffvelrnda 6854	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵)
26		rrgval.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27		rrgval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
28		rrgval.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29		rrgval.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	26, 27, 28, 29	rrgeq0 20066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (𝑌‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
31	23, 24, 25, 30	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) = 0 ↔ (𝑌‘𝑥) = 0 ))
32	31	necon3bid 3063	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 ))
33	32	rabbidva 3481	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌‘𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
34	21, 33	eqtrd 2859	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
35		ovex 7192	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · (𝑌‘𝑦)) ∈ V
36	35, 16	fnmpti 6494	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼
37		fneq1 6447	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) Fn 𝐼))
38	36, 37	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌‘𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
39	9, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼)
40	29	fvexi 6687	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		suppvalfn 7840	. . 3 ⊢ ((((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
43	39, 1, 41, 42	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
44	7	ffnd 6518	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝐼)
45		suppvalfn 7840	. . 3 ⊢ ((𝑌 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
46	44, 1, 41, 45	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑌‘𝑥) ≠ 0 })
47	34, 43, 46	3eqtr4d 2869	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘f · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  {crab 3145  Vcvv 3497  {csn 4570   ↦ cmpt 5149   × cxp 5556   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘_f cof 7410   supp csupp 7833  Basecbs 16486  ._rcmulr 16569  0_gc0g 16716  Ringcrg 19300  RLRegcrlreg 20055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-mgp 19243  df-ring 19302  df-rlreg 20059

This theorem is referenced by:  mdegvsca  24673  deg1mul3  24712