MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgsupp 20777
Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
rrgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rrgval.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rrgval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
rrgsupp.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
rrgsupp.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
rrgsupp.y (πœ‘ β†’ π‘Œ:𝐼⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
rrgsupp (πœ‘ β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) supp 0 ) = (π‘Œ supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgsupp.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 rrgsupp.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
32adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
4 fvexd 6858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) ∈ V)
5 fconstmpt 5695 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋)
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ 𝑋))
7 rrgsupp.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ:𝐼⟢𝐡)
87feqmptd 6911 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘¦)))
91, 3, 4, 6, 8offval2 7638 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))))
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))))
1110fveq1d 6845 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯))
12 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
13 ovex 7391 . . . . . . 7 (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) ∈ V
14 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘Œβ€˜π‘¦) = (π‘Œβ€˜π‘₯))
1514oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)) = (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))
1715, 16fvmptg 6947 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
1812, 13, 17sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
1911, 18eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) = (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)))
2019neeq1d 3000 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) β‰  0 ))
2120rabbidva 3413 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 } = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) β‰  0 })
22 rrgsupp.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
242adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
257ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
26 rrgval.e . . . . . . 7 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
27 rrgval.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
28 rrgval.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
29 rrgval.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
3026, 27, 28, 29rrgeq0 20776 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ (π‘Œβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜π‘₯) = 0 ))
3123, 24, 25, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (π‘Œβ€˜π‘₯) = 0 ))
3231necon3bid 2985 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) β‰  0 ↔ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 ))
3332rabbidva 3413 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘₯)) β‰  0 } = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 })
3421, 33eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 } = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 })
35 ovex 7391 . . . . . 6 (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦)) ∈ V
3635, 16fnmpti 6645 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))) Fn 𝐼
37 fneq1 6594 . . . . 5 (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))) β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))) Fn 𝐼))
3836, 37mpbiri 258 . . . 4 (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋 Β· (π‘Œβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) Fn 𝐼)
399, 38syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) Fn 𝐼)
4029fvexi 6857 . . . 4 0 ∈ V
4140a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
42 suppvalfn 8101 . . 3 ((((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) supp 0 ) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 })
4339, 1, 41, 42syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) supp 0 ) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ)β€˜π‘₯) β‰  0 })
447ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn 𝐼)
45 suppvalfn 8101 . . 3 ((π‘Œ Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ (π‘Œ supp 0 ) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 })
4644, 1, 41, 45syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ supp 0 ) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘Œβ€˜π‘₯) β‰  0 })
4734, 43, 463eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 Γ— {𝑋}) ∘f Β· π‘Œ) supp 0 ) = (π‘Œ supp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3444  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   supp csupp 8093  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  Ringcrg 19969  RLRegcrlreg 20765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-rlreg 20769
This theorem is referenced by:  mdegvsca  25457  deg1mul3  25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator