Theorem deg1mul3 26089

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rrgss 20647	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	sseli 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5		deg1mul3.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1mul3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		deg1mul3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		deg1mul3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 2, 7, 8, 9	coe1sclmul 22236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
11	4, 10	syl3an2 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
12	11	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		nn0ex 12419	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐸)
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
19	18, 6, 5, 2	coe1f 22164	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
21	1, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20	rrgsupp 20646	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
22	12, 21	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
23	22	supeq1d 9361	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
24	5	ply1ring 22200	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
26	5, 7, 2, 6	ply1sclf 22239	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
28	4	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
29	27, 28	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
30		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
31	6, 8	ringcl 20197	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33		deg1mul3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
35	33, 5, 6, 13, 34	deg1val 26069	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
36	32, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
37	33, 5, 6, 13, 18	deg1val 26069	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
38	37	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   supp csupp 8112  supcsup 9355  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  Ringcrg 20180  RLRegcrlreg 20636  algSccascl 21819  Poly₁cpl1 22129  coe₁cco1 22130  deg₁cdg1 26027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-rlreg 20639  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-cnfld 21322  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-mdeg 26028  df-deg1 26029

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  26125  ig1peu  26148