Theorem deg1mul3 24392

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rrgss 19754	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	sseli 3885	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5		deg1mul3.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1mul3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		deg1mul3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		deg1mul3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 2, 7, 8, 9	coe1sclmul 20133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
11	4, 10	syl3an2 1157	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
12	11	oveq1d 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)))
13		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		nn0ex 11751	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16		simp1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐸)
18		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
19	18, 6, 5, 2	coe1f 20062	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
21	1, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20	rrgsupp 19753	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
22	12, 21	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
23	22	supeq1d 8756	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
24	5	ply1ring 20099	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	3ad2ant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
26	5, 7, 2, 6	ply1sclf 20136	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27	26	3ad2ant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
28	4	3ad2ant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
29	27, 28	ffvelrnd 6717	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
30		simp3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
31	6, 8	ringcl 19001	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33		deg1mul3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
34		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
35	33, 5, 6, 13, 34	deg1val 24373	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
36	32, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
37	33, 5, 6, 13, 18	deg1val 24373	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
38	37	3ad2ant3 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2841	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  {csn 4472   × cxp 5441  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∘_𝑓 cof 7265   supp csupp 7681  supcsup 8750  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521  ℕ₀cn0 11745  Basecbs 16312  ._rcmulr 16395  0_gc0g 16542  Ringcrg 18987  RLRegcrlreg 19741  algSccascl 19773  Poly₁cpl1 20028  coe₁cco1 20029   deg₁ cdg1 24331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-rlreg 19745  df-ascl 19776  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-psr1 20031  df-vr1 20032  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-cnfld 20228  df-mdeg 24332  df-deg1 24333

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  24428  ig1peu  24448