Theorem deg1mul3 26164

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rrgss 20739	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	sseli 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5		deg1mul3.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1mul3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		deg1mul3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		deg1mul3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 2, 7, 8, 9	coe1sclmul 22333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
11	4, 10	syl3an2 1176	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
12	11	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)))
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		nn0ex 12481	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐸)
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
19	18, 6, 5, 2	coe1f 22261	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant3 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
21	1, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20	rrgsupp 20738	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
22	12, 21	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
23	22	supeq1d 9386	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
24	5	ply1ring 22297	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	3ad2ant1 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
26	5, 7, 2, 6	ply1sclf 22336	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27	26	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
28	4	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
29	27, 28	ffvelcdmd 7061	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
30		simp3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
31	6, 8	ringcl 20287	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33		deg1mul3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
35	33, 5, 6, 13, 34	deg1val 26144	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
36	32, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
37	33, 5, 6, 13, 18	deg1val 26144	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
38	37	3ad2ant3 1147	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4579   × cxp 5641  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_f cof 7653   supp csupp 8134  supcsup 9380  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210  ℕ₀cn0 12475  Basecbs 17236  ._rcmulr 17278  0_gc0g 17459  Ringcrg 20270  RLRegcrlreg 20728  algSccascl 21892  Poly₁cpl1 22227  coe₁cco1 22228  deg₁cdg1 26102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-rlreg 20731  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-cnfld 21413  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-coe1 22233  df-mdeg 26103  df-deg1 26104

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  26200  ig1peu  26223