MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul3 25857
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul3.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul3.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
deg1mul3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2rrgss 21108 . . . . . . 7 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
43sseli 3978 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐸 β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5 deg1mul3.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 deg1mul3.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 deg1mul3.a . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 deg1mul3.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 22024 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = ((β„•0 Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜πΊ)))
114, 10syl3an2 1164 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = ((β„•0 Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜πΊ)))
1211oveq1d 7426 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) = (((β„•0 Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜πΊ)) supp (0gβ€˜π‘…)))
13 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
14 nn0ex 12482 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
16 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
18 eqid 2732 . . . . . . 7 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
1918, 6, 5, 2coe1f 21954 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
20193ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
211, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20rrgsupp 21107 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (((β„•0 Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(coe1β€˜πΊ)) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
2212, 21eqtrd 2772 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
2322supeq1d 9443 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
245ply1ring 21990 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
25243ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
265, 7, 2, 6ply1sclf 22027 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡)
27263ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡)
2843ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2927, 28ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
30 simp3 1138 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
316, 8ringcl 20144 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
3225, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
33 deg1mul3.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
34 eqid 2732 . . . 4 (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))
3533, 5, 6, 13, 34deg1val 25838 . . 3 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
3632, 35syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
3733, 5, 6, 13, 18deg1val 25838 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
38373ad2ant3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
3923, 36, 383eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   supp csupp 8148  supcsup 9437  β„*cxr 11251   < clt 11252  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  RLRegcrlreg 21095  algSccascl 21626  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25794  df-deg1 25795
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  25893  ig1peu  25913
  Copyright terms: Public domain W3C validator