Theorem deg1mul3 26091

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	rrgss 20670	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	sseli 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5		deg1mul3.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1mul3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		deg1mul3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		deg1mul3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	5, 6, 2, 7, 8, 9	coe1sclmul 22257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
11	4, 10	syl3an2 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)))
12	11	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		nn0ex 12434	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐸)
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
19	18, 6, 5, 2	coe1f 22185	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
21	1, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20	rrgsupp 20669	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)(coe1‘𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
22	12, 21	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) = ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
23	22	supeq1d 9352	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
24	5	ply1ring 22221	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	24	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
26	5, 7, 2, 6	ply1sclf 22260	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
28	4	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
29	27, 28	ffvelcdmd 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
30		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
31	6, 8	ringcl 20222	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33		deg1mul3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
35	33, 5, 6, 13, 34	deg1val 26071	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
36	32, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
37	33, 5, 6, 13, 18	deg1val 26071	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
38	37	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   supp csupp 8103  supcsup 9346  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  RLRegcrlreg 20659  algSccascl 21842  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151  deg₁cdg1 26029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-cnfld 21345  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mdeg 26030  df-deg1 26031

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  26127  ig1peu  26150