Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3 24726
 Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul3.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t · = (.r𝑃)
deg1mul3.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2rrgss 20062 . . . . . . 7 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
43sseli 3911 . . . . . 6 (𝐹𝐸𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5 deg1mul3.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 deg1mul3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 deg1mul3.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8 deg1mul3.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
9 eqid 2798 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 20921 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)))
114, 10syl3an2 1161 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)))
1211oveq1d 7151 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)) supp (0g𝑅)))
13 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
14 nn0ex 11894 . . . . . 6 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐹𝐸)
18 eqid 2798 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
1918, 6, 5, 2coe1f 20850 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20193ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
211, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20rrgsupp 20061 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
2212, 21eqtrd 2833 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
2322supeq1d 8897 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
245ply1ring 20887 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25243ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
265, 7, 2, 6ply1sclf 20924 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27263ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
2843ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
2927, 28ffvelrnd 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
30 simp3 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
316, 8ringcl 19311 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
3225, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33 deg1mul3.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
34 eqid 2798 . . . 4 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
3533, 5, 6, 13, 34deg1val 24707 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3632, 35syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3733, 5, 6, 13, 18deg1val 24707 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
38373ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3923, 36, 383eqtr4d 2843 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525   × cxp 5518  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∘f cof 7389   supp csupp 7816  supcsup 8891  ℝ*cxr 10666   < clt 10667  ℕ0cn0 11888  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Ringcrg 19294  RLRegcrlreg 20049  algSccascl 20546  Poly1cpl1 20816  coe1cco1 20817   deg1 cdg1 24665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-rlreg 20053  df-cnfld 20096  df-ascl 20549  df-psr 20600  df-mvr 20601  df-mpl 20602  df-opsr 20604  df-psr1 20819  df-vr1 20820  df-ply1 20821  df-coe1 20822  df-mdeg 24666  df-deg1 24667 This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  24762  ig1peu  24782
 Copyright terms: Public domain W3C validator