MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3 25013
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul3.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1mul3.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3.t · = (.r𝑃)
deg1mul3.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . 8 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2rrgss 20330 . . . . . . 7 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
43sseli 3896 . . . . . 6 (𝐹𝐸𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
5 deg1mul3.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 deg1mul3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
7 deg1mul3.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8 deg1mul3.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
9 eqid 2737 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 21203 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)))
114, 10syl3an2 1166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = ((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)))
1211oveq1d 7228 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) = (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)) supp (0g𝑅)))
13 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
14 nn0ex 12096 . . . . . 6 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
16 simp1 1138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
17 simp2 1139 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐹𝐸)
18 eqid 2737 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
1918, 6, 5, 2coe1f 21132 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
20193ad2ant3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
211, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20rrgsupp 20329 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (((ℕ0 × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)(coe1𝐺)) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
2212, 21eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) = ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
2322supeq1d 9062 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
245ply1ring 21169 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25243ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
265, 7, 2, 6ply1sclf 21206 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
27263ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
2843ad2ant2 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
2927, 28ffvelrnd 6905 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
30 simp3 1140 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
316, 8ringcl 19579 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
3225, 29, 30, 31syl3anc 1373 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
33 deg1mul3.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
34 eqid 2737 . . . 4 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
3533, 5, 6, 13, 34deg1val 24994 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3632, 35syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3733, 5, 6, 13, 18deg1val 24994 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
38373ad2ant3 1137 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
3923, 36, 383eqtr4d 2787 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐸𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  {csn 4541   × cxp 5549  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467   supp csupp 7903  supcsup 9056  *cxr 10866   < clt 10867  0cn0 12090  Basecbs 16760  .rcmulr 16803  0gc0g 16944  Ringcrg 19562  RLRegcrlreg 20317  algSccascl 20814  Poly1cpl1 21098  coe1cco1 21099   deg1 cdg1 24949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-rlreg 20321  df-cnfld 20364  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103  df-coe1 21104  df-mdeg 24950  df-deg1 24951
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  25049  ig1peu  25069
  Copyright terms: Public domain W3C validator