Theorem mdegvsca 26403

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvsca.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
mdegvsca.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvsca.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		mdegvsca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvsca.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
8	7, 3	rrgss 20963	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
9		mdegvsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	8, 9	sselid 3907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
11		mdegvsca.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mplvsca 22331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺))
13	12	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)))
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		ovex 7457	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5300	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 3, 4, 6, 11	mplelf 22314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	7, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19	rrgsupp 20962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
21	13, 20	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
22	21	imaeq2d 6054	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))))
23	22	supeq1d 9445	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
24		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	1, 24, 18	mpllmodd 22341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
26	1, 24, 18	mplsca 22329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
27	26	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
28	10, 27	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
29		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
30		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
31	4, 29, 2, 30	lmodvscl 21162	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
32	25, 28, 11, 31	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
34		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
35	33, 1, 4, 14, 6, 34	mdegval 26390	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
36	32, 35	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
37	33, 1, 4, 14, 6, 34	mdegval 26390	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
38	11, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981  supcsup 9439  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  Ringcrg 20468  RLRegcrlreg 20952  LModclmod 21144  ℂ_fldccnfld 21687   mPoly cmpl 22223   mDeg cmdg 26380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-rlreg 20955  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-psr 22226  df-mpl 22228  df-mdeg 26382

This theorem is used by:  deg1vsca  26432