Theorem mdegvsca 26008

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvsca.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
mdegvsca.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvsca.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		mdegvsca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvsca.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
8	7, 3	rrgss 20617	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
9		mdegvsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	8, 9	sselid 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
11		mdegvsca.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mplvsca 21952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺))
13	12	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)))
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		ovex 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5275	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 3, 4, 6, 11	mplelf 21935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	7, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19	rrgsupp 20616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
21	13, 20	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
22	21	imaeq2d 6008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))))
23	22	supeq1d 9330	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
24		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	1, 24, 18	mpllmodd 21961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
26	1, 24, 18	mplsca 21950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
27	26	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
28	10, 27	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
29		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
30		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
31	4, 29, 2, 30	lmodvscl 20811	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
32	25, 28, 11, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
34		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
35	33, 1, 4, 14, 6, 34	mdegval 25995	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
36	32, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
37	33, 1, 4, 14, 6, 34	mdegval 25995	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
38	11, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  {csn 4573   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   supp csupp 8090   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  supcsup 9324  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Ringcrg 20151  RLRegcrlreg 20606  LModclmod 20793  ℂ_fldccnfld 21291   mPoly cmpl 21843   mDeg cmdg 25985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-rlreg 20609  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-mdeg 25987

This theorem is referenced by:  deg1vsca  26037