Theorem mdegvsca 25241

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvsca.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
mdegvsca.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvsca	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvsca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvsca.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		mdegvsca.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvsca.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
8	7, 3	rrgss 20563	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
9		mdegvsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	8, 9	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
11		mdegvsca.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mplvsca 21219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺))
13	12	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)))
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5256	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		mdegaddle.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	1, 3, 4, 6, 11	mplelf 21204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
20	7, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19	rrgsupp 20562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r‘𝑅)𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
21	13, 20	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅)) = (𝐺 supp (0g‘𝑅)))
22	21	imaeq2d 5969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))))
23	22	supeq1d 9205	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
24		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	1	mpllmod 21223	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
26	24, 18, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
27	1, 24, 18	mplsca 21217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
28	27	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
29	10, 28	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
30		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
31		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
32	4, 30, 2, 31	lmodvscl 20140	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	26, 29, 11, 32	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
34		mdegaddle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
36	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 25228	. . 3 ⊢ ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
37	33, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
38	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 25228	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
39	11, 38	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
40	23, 37, 39	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  supcsup 9199  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  RLRegcrlreg 20550  ℂ_fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mDeg cmdg 25215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-rlreg 20554  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-mdeg 25217

This theorem is referenced by:  deg1vsca  25270