MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegvsca 25464
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegvsca.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
mdegvsca.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
mdegvsca.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegvsca (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))

Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvsca.p . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 mdegvsca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}
7 mdegvsca.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
87, 3rrgss 20785 . . . . . . . 8 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
9 mdegvsca.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
108, 9sselid 3946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 mdegvsca.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 21442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺))
1312oveq1d 7376 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)))
14 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
15 ovex 7394 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1615rabex 5293 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
18 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
191, 3, 4, 6, 11mplelf 21427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
207, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19rrgsupp 20784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2113, 20eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2221imaeq2d 6017 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))) = ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))))
2322supeq1d 9390 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
24 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
251mpllmod 21446 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2624, 18, 25syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
271, 24, 18mplsca 21440 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2827fveq2d 6850 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
2910, 28eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
30 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
31 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
324, 30, 2, 31lmodvscl 20383 . . . 4 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
3326, 29, 11, 32syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
34 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35 eqid 2733 . . . 4 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦))
3634, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25451 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3733, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3834, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25451 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3911, 38syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
4023, 37, 393eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  {csn 4590   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   supp csupp 8096   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  RLRegcrlreg 20772  β„‚fldccnfld 20819   mPoly cmpl 21331   mDeg cmdg 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-rlreg 20776  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-mdeg 25440
This theorem is referenced by:  deg1vsca  25493
  Copyright terms: Public domain W3C validator