MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegvsca 26011
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegvsca.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
mdegvsca.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
mdegvsca.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegvsca (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvsca.p . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 mdegvsca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}
7 mdegvsca.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
87, 3rrgss 21238 . . . . . . . 8 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
9 mdegvsca.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
108, 9sselid 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 mdegvsca.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 21956 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺))
1312oveq1d 7435 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
15 ovex 7453 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1615rabex 5334 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
18 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
191, 3, 4, 6, 11mplelf 21939 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
207, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19rrgsupp 21237 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2113, 20eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2221imaeq2d 6063 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))) = ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))))
2322supeq1d 9469 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
24 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
251mpllmod 21959 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2624, 18, 25syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
271, 24, 18mplsca 21954 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2827fveq2d 6901 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
2910, 28eleqtrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
30 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
31 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
324, 30, 2, 31lmodvscl 20760 . . . 4 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
3326, 29, 11, 32syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
34 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35 eqid 2728 . . . 4 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦))
3634, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25998 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3733, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3834, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25998 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3911, 38syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
4023, 37, 393eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683   supp csupp 8165   ↑m cmap 8844  Fincfn 8963  supcsup 9463  β„*cxr 11277   < clt 11278  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  RLRegcrlreg 21225  β„‚fldccnfld 21278   mPoly cmpl 21838   mDeg cmdg 25985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-rlreg 21229  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-mdeg 25987
This theorem is referenced by:  deg1vsca  26040
  Copyright terms: Public domain W3C validator