MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegvsca 25593
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegvsca.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
mdegvsca.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
mdegvsca.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegvsca (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvsca.p . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 mdegvsca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}
7 mdegvsca.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
87, 3rrgss 20907 . . . . . . . 8 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
9 mdegvsca.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
108, 9sselid 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 mdegvsca.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 21573 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺))
1312oveq1d 7423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)))
14 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
15 ovex 7441 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1615rabex 5332 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
18 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
191, 3, 4, 6, 11mplelf 21556 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
207, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19rrgsupp 20906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2113, 20eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2221imaeq2d 6059 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))) = ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))))
2322supeq1d 9440 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
24 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
251mpllmod 21576 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2624, 18, 25syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
271, 24, 18mplsca 21571 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2827fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
2910, 28eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
30 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
31 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
324, 30, 2, 31lmodvscl 20488 . . . 4 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
3326, 29, 11, 32syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
34 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35 eqid 2732 . . . 4 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦))
3634, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25580 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3733, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3834, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25580 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3911, 38syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
4023, 37, 393eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   supp csupp 8145   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  RLRegcrlreg 20894  β„‚fldccnfld 20943   mPoly cmpl 21458   mDeg cmdg 25567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-rlreg 20898  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-mdeg 25569
This theorem is referenced by:  deg1vsca  25622
  Copyright terms: Public domain W3C validator