Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegvsca 24776
 Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvsca.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
mdegvsca.p · = ( ·𝑠𝑌)
mdegvsca.f (𝜑𝐹𝐸)
mdegvsca.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegvsca (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷𝐺))

Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvsca.p . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑌)
3 eqid 2758 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 mdegvsca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2758 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 eqid 2758 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mdegvsca.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
87, 3rrgss 20133 . . . . . . . 8 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
9 mdegvsca.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐸)
108, 9sseldi 3890 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘𝑅))
11 mdegvsca.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 20778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)𝐺))
1312oveq1d 7165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g𝑅)) = ((({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)𝐺) supp (0g𝑅)))
14 eqid 2758 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
15 ovex 7183 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1615rabex 5202 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18 mdegaddle.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
191, 3, 4, 6, 11mplelf 20763 . . . . . 6 (𝜑𝐺:{𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
207, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19rrgsupp 20132 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝐹}) ∘f (.r𝑅)𝐺) supp (0g𝑅)) = (𝐺 supp (0g𝑅)))
2113, 20eqtrd 2793 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺) supp (0g𝑅)) = (𝐺 supp (0g𝑅)))
2221imaeq2d 5901 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g𝑅))))
2322supeq1d 8943 . 2 (𝜑 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
24 mdegaddle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
251mpllmod 20782 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
2624, 18, 25syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
271, 24, 18mplsca 20776 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
2827fveq2d 6662 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
2910, 28eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
30 eqid 2758 . . . . 5 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
31 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
324, 30, 2, 31lmodvscl 19719 . . . 4 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
3326, 29, 11, 32syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
34 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35 eqid 2758 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
3634, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 24763 . . 3 ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
3733, 36syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ((𝐹 · 𝐺) supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
3834, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 24763 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
3911, 38syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐺) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐺 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
4023, 37, 393eqtr4d 2803 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) = (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409  {csn 4522   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403   supp csupp 7835   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  supcsup 8937  ℝ*cxr 10712   < clt 10713  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  Basecbs 16541  .rcmulr 16624  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627  0gc0g 16771   Σg cgsu 16772  Ringcrg 19365  LModclmod 19702  RLRegcrlreg 20120  ℂfldccnfld 20166   mPoly cmpl 20668   mDeg cmdg 24750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-tset 16642  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-rlreg 20124  df-psr 20671  df-mpl 20673  df-mdeg 24752 This theorem is referenced by:  deg1vsca  24805
 Copyright terms: Public domain W3C validator