MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegvsca 25956
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegvsca.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
mdegvsca.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
mdegvsca.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
mdegvsca.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegvsca (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvsca.p . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 mdegvsca.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2724 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2724 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}
7 mdegvsca.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
87, 3rrgss 21198 . . . . . . . 8 𝐸 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
9 mdegvsca.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐸)
108, 9sselid 3973 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 mdegvsca.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 21905 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) = (({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺))
1312oveq1d 7417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)))
14 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
15 ovex 7435 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1615rabex 5323 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
18 mdegaddle.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
191, 3, 4, 6, 11mplelf 21888 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
207, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19rrgsupp 21197 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((({π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {𝐹}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2113, 20eqtrd 2764 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…)) = (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…)))
2221imaeq2d 6050 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))) = ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))))
2322supeq1d 9438 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
24 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
251mpllmod 21908 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2624, 18, 25syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
271, 24, 18mplsca 21903 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2827fveq2d 6886 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
2910, 28eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
30 eqid 2724 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
31 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
324, 30, 2, 31lmodvscl 20720 . . . 4 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
3326, 29, 11, 32syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
34 mdegaddle.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
35 eqid 2724 . . . 4 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦))
3634, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25943 . . 3 ((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3733, 36syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ ((𝐹 Β· 𝐺) supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3834, 1, 4, 14, 6, 35mdegval 25943 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
3911, 38syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐺 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
4023, 37, 393eqtr4d 2774 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) = (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  {csn 4621   ↦ cmpt 5222   Γ— cxp 5665  β—‘ccnv 5666   β€œ cima 5670  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662   supp csupp 8141   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  supcsup 9432  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  RLRegcrlreg 21185  β„‚fldccnfld 21234   mPoly cmpl 21789   mDeg cmdg 25930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-rlreg 21189  df-psr 21792  df-mpl 21794  df-mdeg 25932
This theorem is referenced by:  deg1vsca  25985
  Copyright terms: Public domain W3C validator