Theorem oc0 30520

Description: The zero vector belongs to an orthogonal complement of a Hilbert subspace. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
oc0	⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐻))

Proof of Theorem oc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocsh 30514	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
2		sh0 30446	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐻))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6539  0_ℎc0v 30154   S_ℋ csh 30158  ⊥cort 30160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-hilex 30229  ax-hfvadd 30230  ax-hv0cl 30233  ax-hfvmul 30235  ax-hvmul0 30240  ax-hfi 30309  ax-his2 30313  ax-his3 30314

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sh 30437  df-oc 30482

This theorem is referenced by:  ocin  30526  pj0i  30923