HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocin 31325
Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocin (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)

Proof of Theorem ocin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shocel 31311 . . . . . . 7 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
32eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
43rspccv 3619 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5 his6 31128 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
65biimpd 229 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
74, 6sylan9r 508 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥𝐴𝑥 = 0))
81, 7biimtrdi 253 . . . . . 6 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴𝑥 = 0)))
98com23 86 . . . . 5 (𝐴S → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0)))
109impd 410 . . . 4 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0))
11 sh0 31245 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
12 oc0 31319 . . . . . 6 (𝐴S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
1311, 12jca 511 . . . . 5 (𝐴S → (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
14 eleq1 2827 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴 ↔ 0𝐴))
15 eleq1 2827 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
1614, 15anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴))))
1713, 16syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝐴S → (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
1810, 17impbid 212 . . 3 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0))
19 elin 3979 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20 elch0 31283 . . 3 (𝑥 ∈ 0𝑥 = 0)
2118, 19, 203bitr4g 314 . 2 (𝐴S → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0))
2221eqrdv 2733 1 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cin 3962  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  chba 30948   ·ih csp 30951  0c0v 30953   S csh 30957  cort 30959  0c0h 30964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sh 31236  df-oc 31281  df-ch0 31282
This theorem is referenced by:  ocnel  31327  chocunii  31330  pjhtheu  31423  pjpreeq  31427  omlsi  31433  ococi  31434  pjoc1i  31460  orthin  31475  ssjo  31476  chocini  31483  chscllem3  31668
  Copyright terms: Public domain W3C validator