Theorem ocin 31328

Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocin	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Proof of Theorem ocin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocel 31314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
3	2	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
4	3	rspccv 3632	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5		his6 31131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
7	4, 6	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ))
8	1, 7	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ)))
9	8	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0ℎ)))
10	9	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0ℎ))
11		sh0 31248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
12		oc0 31322	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
14		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 0ℎ ∈ 𝐴))
15		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
16	14, 15	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))))
17	13, 16	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
18	10, 17	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0ℎ))
19		elin 3992	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20		elch0 31286	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
21	18, 19, 20	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0ℋ))
22	21	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∩ cin 3975  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   ℋchba 30951   ·_ih csp 30954  0_ℎc0v 30956   S_ℋ csh 30960  ⊥cort 30962  0_ℋc0h 30967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hv0cl 31035  ax-hfvmul 31037  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sh 31239  df-oc 31284  df-ch0 31285

This theorem is referenced by:  ocnel  31330  chocunii  31333  pjhtheu  31426  pjpreeq  31430  omlsi  31436  ococi  31437  pjoc1i  31463  orthin  31478  ssjo  31479  chocini  31486  chscllem3  31671