Theorem ocin 31271

Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocin	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Proof of Theorem ocin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocel 31257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
3	2	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
4	3	rspccv 3574	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5		his6 31074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
7	4, 6	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ))
8	1, 7	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ)))
9	8	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0ℎ)))
10	9	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0ℎ))
11		sh0 31191	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
12		oc0 31265	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
14		eleq1 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 0ℎ ∈ 𝐴))
15		eleq1 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
16	14, 15	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))))
17	13, 16	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
18	10, 17	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0ℎ))
19		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20		elch0 31229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
21	18, 19, 20	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0ℋ))
22	21	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3901  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003   ℋchba 30894   ·_ih csp 30897  0_ℎc0v 30899   S_ℋ csh 30903  ⊥cort 30905  0_ℋc0h 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975  ax-hv0cl 30978  ax-hfvmul 30980  ax-hvmul0 30985  ax-hfi 31054  ax-his2 31058  ax-his3 31059  ax-his4 31060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-sh 31182  df-oc 31227  df-ch0 31228

This theorem is referenced by:  ocnel  31273  chocunii  31276  pjhtheu  31369  pjpreeq  31373  omlsi  31379  ococi  31380  pjoc1i  31406  orthin  31421  ssjo  31422  chocini  31429  chscllem3  31614