Theorem ocin 31382

Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocin	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Proof of Theorem ocin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocel 31368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
3	2	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
4	3	rspccv 3562	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5		his6 31185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
7	4, 6	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ))
8	1, 7	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ)))
9	8	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0ℎ)))
10	9	impd 410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0ℎ))
11		sh0 31302	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
12		oc0 31376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
14		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 0ℎ ∈ 𝐴))
15		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
16	14, 15	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))))
17	13, 16	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
18	10, 17	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0ℎ))
19		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20		elch0 31340	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
21	18, 19, 20	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0ℋ))
22	21	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3889  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029   ℋchba 31005   ·_ih csp 31008  0_ℎc0v 31010   S_ℋ csh 31014  ⊥cort 31016  0_ℋc0h 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hv0cl 31089  ax-hfvmul 31091  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sh 31293  df-oc 31338  df-ch0 31339

This theorem is referenced by:  ocnel  31384  chocunii  31387  pjhtheu  31480  pjpreeq  31484  omlsi  31490  ococi  31491  pjoc1i  31517  orthin  31532  ssjo  31533  chocini  31540  chscllem3  31725