HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocin 30067
Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocin (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)

Proof of Theorem ocin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shocel 30053 . . . . . . 7 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2 oveq2 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
32eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
43rspccv 3577 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5 his6 29870 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
65biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
74, 6sylan9r 510 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥𝐴𝑥 = 0))
81, 7syl6bi 253 . . . . . 6 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴𝑥 = 0)))
98com23 86 . . . . 5 (𝐴S → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0)))
109impd 412 . . . 4 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0))
11 sh0 29987 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
12 oc0 30061 . . . . . 6 (𝐴S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
1311, 12jca 513 . . . . 5 (𝐴S → (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
14 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴 ↔ 0𝐴))
15 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
1614, 15anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴))))
1713, 16syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝐴S → (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
1810, 17impbid 211 . . 3 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0))
19 elin 3925 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20 elch0 30025 . . 3 (𝑥 ∈ 0𝑥 = 0)
2118, 19, 203bitr4g 314 . 2 (𝐴S → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0))
2221eqrdv 2736 1 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  cin 3908  cfv 6494  (class class class)co 7352  0cc0 11010  chba 29690   ·ih csp 29693  0c0v 29695   S csh 29699  cort 29701  0c0h 29706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-hilex 29770  ax-hfvadd 29771  ax-hv0cl 29774  ax-hfvmul 29776  ax-hvmul0 29781  ax-hfi 29850  ax-his2 29854  ax-his3 29855  ax-his4 29856
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-ltxr 11153  df-sh 29978  df-oc 30023  df-ch0 30024
This theorem is referenced by:  ocnel  30069  chocunii  30072  pjhtheu  30165  pjpreeq  30169  omlsi  30175  ococi  30176  pjoc1i  30202  orthin  30217  ssjo  30218  chocini  30225  chscllem3  30410
  Copyright terms: Public domain W3C validator