Theorem ocin 29658

Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocin	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Proof of Theorem ocin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocel 29644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
3	2	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
4	3	rspccv 3558	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5		his6 29461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
6	5	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
7	4, 6	sylan9r 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ))
8	1, 7	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ)))
9	8	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0ℎ)))
10	9	impd 411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0ℎ))
11		sh0 29578	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
12		oc0 29652	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
14		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 0ℎ ∈ 𝐴))
15		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
16	14, 15	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))))
17	13, 16	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
18	10, 17	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0ℎ))
19		elin 3903	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20		elch0 29616	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
21	18, 19, 20	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0ℋ))
22	21	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  0_ℎc0v 29286   S_ℋ csh 29290  ⊥cort 29292  0_ℋc0h 29297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hv0cl 29365  ax-hfvmul 29367  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sh 29569  df-oc 29614  df-ch0 29615

This theorem is referenced by:  ocnel  29660  chocunii  29663  pjhtheu  29756  pjpreeq  29760  omlsi  29766  ococi  29767  pjoc1i  29793  orthin  29808  ssjo  29809  chocini  29816  chscllem3  30001