HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocin 29000
Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocin (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)

Proof of Theorem ocin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shocel 28986 . . . . . . 7 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
32eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
43rspccv 3617 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5 his6 28803 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
65biimpd 230 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
74, 6sylan9r 509 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥𝐴𝑥 = 0))
81, 7syl6bi 254 . . . . . 6 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴𝑥 = 0)))
98com23 86 . . . . 5 (𝐴S → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0)))
109impd 411 . . . 4 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0))
11 sh0 28920 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
12 oc0 28994 . . . . . 6 (𝐴S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
1311, 12jca 512 . . . . 5 (𝐴S → (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
14 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴 ↔ 0𝐴))
15 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
1614, 15anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴))))
1713, 16syl5ibrcom 248 . . . 4 (𝐴S → (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
1810, 17impbid 213 . . 3 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0))
19 elin 4166 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20 elch0 28958 . . 3 (𝑥 ∈ 0𝑥 = 0)
2118, 19, 203bitr4g 315 . 2 (𝐴S → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0))
2221eqrdv 2816 1 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cin 3932  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  chba 28623   ·ih csp 28626  0c0v 28628   S csh 28632  cort 28634  0c0h 28639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hv0cl 28707  ax-hfvmul 28709  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sh 28911  df-oc 28956  df-ch0 28957
This theorem is referenced by:  ocnel  29002  chocunii  29005  pjhtheu  29098  pjpreeq  29102  omlsi  29108  ococi  29109  pjoc1i  29135  orthin  29150  ssjo  29151  chocini  29158  chscllem3  29343
  Copyright terms: Public domain W3C validator