Theorem ocin 31785

Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ocin	⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

Proof of Theorem ocin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocel 31771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2		oveq2 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
3	2	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
4	3	rspccv 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5		his6 31588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0ℎ))
6	5	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0ℎ))
7	4, 6	sylan9r 518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ))
8	1, 7	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 0ℎ)))
9	8	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0ℎ)))
10	9	impd 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0ℎ))
11		sh0 31705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
12		oc0 31779	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))
13	11, 12	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
14		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 0ℎ ∈ 𝐴))
15		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴)))
16	14, 15	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0ℎ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ (⊥‘𝐴))))
17	13, 16	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 = 0ℎ → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
18	10, 17	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0ℎ))
19		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20		elch0 31743	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 0ℋ ↔ 𝑥 = 0ℎ)
21	18, 19, 20	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0ℋ))
22	21	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128   ℋchba 31408   ·_ih csp 31411  0_ℎc0v 31413   S_ℋ csh 31417  ⊥cort 31419  0_ℋc0h 31424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hv0cl 31492  ax-hfvmul 31494  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sh 31696  df-oc 31741  df-ch0 31742

This theorem is used by:  ocnel  31787  chocunii  31790  pjhtheu  31883  pjpreeq  31887  omlsi  31893  ococi  31894  pjoc1i  31920  orthin  31935  ssjo  31936  chocini  31943  chscllem3  32128