Theorem shsel1 31950

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel1	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 31840	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 31633	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
4	3	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
5		sh0 31845	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℎ ∈ 𝐵)
7		shsva 31949	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpan2d 707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
9	8	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10	4, 9	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
11	10	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440   ℋchba 31548   +_ℎ cva 31549  0_ℎc0v 31553   S_ℋ csh 31557   +_ℋ cph 31560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-hilex 31628  ax-hfvadd 31629  ax-hvcom 31630  ax-hvass 31631  ax-hv0cl 31632  ax-hvaddid 31633  ax-hfvmul 31634  ax-hvmulid 31635  ax-hvdistr2 31638  ax-hvmul0 31639

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-grpo 31122  df-ablo 31174  df-hvsub 31600  df-sh 31836  df-shs 31937

This theorem is used by:  shsel2  31951  shsvs  31952  shsub1  31953  shsel1i  31994