Theorem shsel1 31377

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel1	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 31267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 31060	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
4	3	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
5		sh0 31272	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℎ ∈ 𝐵)
7		shsva 31376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpan2d 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
9	8	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10	4, 9	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
11	10	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   ℋchba 30975   +_ℎ cva 30976  0_ℎc0v 30980   S_ℋ csh 30984   +_ℋ cph 30987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-hilex 31055  ax-hfvadd 31056  ax-hvcom 31057  ax-hvass 31058  ax-hv0cl 31059  ax-hvaddid 31060  ax-hfvmul 31061  ax-hvmulid 31062  ax-hvdistr2 31065  ax-hvmul0 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-grpo 30549  df-ablo 30601  df-hvsub 31027  df-sh 31263  df-shs 31364

This theorem is referenced by:  shsel2  31378  shsvs  31379  shsub1  31380  shsel1i  31421