Theorem shsel1 31614

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel1	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 31504	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 31297	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
4	3	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
5		sh0 31509	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℎ ∈ 𝐵)
7		shsva 31613	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpan2d 706	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
9	8	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10	4, 9	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
11	10	ex 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   ℋchba 31212   +_ℎ cva 31213  0_ℎc0v 31217   S_ℋ csh 31221   +_ℋ cph 31224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-grpo 30786  df-ablo 30838  df-hvsub 31264  df-sh 31500  df-shs 31601

This theorem is referenced by:  shsel2  31615  shsvs  31616  shsub1  31617  shsel1i  31658