Theorem shsel1 31411

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel1	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 31301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 31094	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
4	3	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
5		sh0 31306	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℎ ∈ 𝐵)
7		shsva 31410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpan2d 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
9	8	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10	4, 9	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
11	10	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010  0_ℎc0v 31014   S_ℋ csh 31018   +_ℋ cph 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-grpo 30583  df-ablo 30635  df-hvsub 31061  df-sh 31297  df-shs 31398

This theorem is referenced by:  shsel2  31412  shsvs  31413  shsub1  31414  shsel1i  31455