Theorem shsel1 31786

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsel1	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shsel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 31676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 31469	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
4	3	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) = 𝐶)
5		sh0 31681	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → 0ℎ ∈ 𝐵)
7		shsva 31785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
8	6, 7	mpan2d 707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
9	8	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 +ℎ 0ℎ) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
10	4, 9	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
11	10	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   ℋchba 31384   +_ℎ cva 31385  0_ℎc0v 31389   S_ℋ csh 31393   +_ℋ cph 31396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-hilex 31464  ax-hfvadd 31465  ax-hvcom 31466  ax-hvass 31467  ax-hv0cl 31468  ax-hvaddid 31469  ax-hfvmul 31470  ax-hvmulid 31471  ax-hvdistr2 31474  ax-hvmul0 31475

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469  df-grpo 30958  df-ablo 31010  df-hvsub 31436  df-sh 31672  df-shs 31773

This theorem is used by:  shsel2  31787  shsvs  31788  shsub1  31789  shsel1i  31830