Theorem hhssabloilem 31336

Description: Lemma for hhssabloi 31337. Formerly part of proof for hhssabloi 31337 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloilem	⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Proof of Theorem hhssabloilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31235	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30622	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	4	elexi 3463	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ran +ℎ = ran +ℎ
7	6	grpofo 30574	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ )
8		fof 6746	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ )
9	3, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ
10	4	shssii 31288	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
11		df-hba 31044	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
13	12	hhva 31241	. . . . . . . . 9 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	11, 13	bafval 30679	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = ran +ℎ
15	10, 14	sseqtri 3982	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ⊆ ran +ℎ
16		xpss12 5639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ⊆ ran +ℎ ∧ 𝐻 ⊆ ran +ℎ ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ ))
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )
18		fssres 6700	. . . . . 6 ⊢ (( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ )
19	9, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ
20		ffn 6662	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22		ovres 7524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23		shaddcl 31292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
24	4, 23	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
25	22, 24	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
26	25	rgen2 3176	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27		ffnov 7484	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
28	21, 26, 27	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
29	22	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
31		ovres 7524	. . . . 5 ⊢ (((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
32	25, 31	stoic3 1777	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
33		ovres 7524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 +ℎ 𝑧))
34	33	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
35	34	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
36	28	fovcl 7486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37		ovres 7524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
38	36, 37	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39	38	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
40	15	sseli 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ran +ℎ )
41	15	sseli 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ran +ℎ )
42	15	sseli 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ran +ℎ )
43	6	grpoass 30578	. . . . . . 7 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ )) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
44	3, 43	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
45	40, 41, 42, 44	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
46	35, 39, 45	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
47	30, 32, 46	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48		hilid 31236	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
49		sh0 31291	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)
50	4, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
51	48, 50	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻
52		ovres 7524	. . . . 5 ⊢ (((GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
53	51, 52	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
54		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
55	6, 54	grpolid 30591	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
56	3, 40, 55	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
57	53, 56	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
58	12	hhnv 31240	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
59	12	hhsm 31244	. . . . . . . 8 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
60		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
61	13, 59, 60	nvinvfval 30715	. . . . . . 7 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ ))
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ )
63	62	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
64	63	fveq1i 6835	. . . 4 ⊢ ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) = (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65		ax-hfvmul 31080	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66		ffn 6662	. . . . . . 7 ⊢ ( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → ·ℎ Fn (ℂ × ℋ))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ Fn (ℂ × ℋ)
68		neg1cn 12130	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
69	60	curry1val 8047	. . . . . 6 ⊢ (( ·ℎ Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥))
70	67, 68, 69	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥)
71		shmulcl 31293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
72	4, 68, 71	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
73	70, 72	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
74	64, 73	eqeltrid 2840	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75		ovres 7524	. . . . 5 ⊢ ((((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
76	74, 75	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
77		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = (inv‘ +ℎ )
78	6, 54, 77	grpolinv 30601	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
79	3, 40, 78	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
80	76, 79	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
81	5, 28, 47, 51, 57, 74, 80	isgrpoi 30573	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82		resss 5960	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
83	3, 81, 82	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ⟨cop 4586   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  2^nd c2nd 7932  ℂcc 11024  1c1 11027  -cneg 11365  GrpOpcgr 30564  GIdcgi 30565  invcgn 30566  AbelOpcablo 30619  NrmCVeccnv 30659   ℋchba 30994   +_ℎ cva 30995   ·_ℎ csm 30996  norm_ℎcno 30998  0_ℎc0v 30999   S_ℋ csh 31003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-nmcv 30675  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-sh 31282

This theorem is referenced by:  hhssabloi  31337