HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloilem 31191
Description: Lemma for hhssabloi 31192. Formerly part of proof for hhssabloi 31192 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssabloilem ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )

Proof of Theorem hhssabloilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 31090 . . 3 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 30477 . . 3 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . 2 + ∈ GrpOp
4 hhssabl.1 . . . 4 𝐻S
54elexi 3484 . . 3 𝐻 ∈ V
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 ran + = ran +
76grpofo 30429 . . . . . . 7 ( + ∈ GrpOp → + :(ran + × ran + )–onto→ran + )
8 fof 6807 . . . . . . 7 ( + :(ran + × ran + )–onto→ran + → + :(ran + × ran + )⟶ran + )
93, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 + :(ran + × ran + )⟶ran +
104shssii 31143 . . . . . . . 8 𝐻 ⊆ ℋ
11 df-hba 30899 . . . . . . . . 9 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1312hhva 31096 . . . . . . . . 9 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1411, 13bafval 30534 . . . . . . . 8 ℋ = ran +
1510, 14sseqtri 4015 . . . . . . 7 𝐻 ⊆ ran +
16 xpss12 5689 . . . . . . 7 ((𝐻 ⊆ ran +𝐻 ⊆ ran + ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + ))
1715, 15, 16mp2an 690 . . . . . 6 (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + )
18 fssres 6760 . . . . . 6 (( + :(ran + × ran + )⟶ran + ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran + × ran + )) → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran + )
199, 17, 18mp2an 690 . . . . 5 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +
20 ffn 6720 . . . . 5 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran + → ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22 ovres 7584 . . . . . 6 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
23 shaddcl 31147 . . . . . . 7 ((𝐻S𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
244, 23mp3an1 1445 . . . . . 6 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
2522, 24eqeltrd 2826 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
2625rgen2 3188 . . . 4 𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27 ffnov 7544 . . . 4 (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
2821, 26, 27mpbir2an 709 . . 3 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
2922oveq1d 7431 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
30293adant3 1129 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
31 ovres 7584 . . . . 5 (((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧))
3225, 31stoic3 1771 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) + 𝑧))
33 ovres 7584 . . . . . . 7 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 + 𝑧))
3433oveq2d 7432 . . . . . 6 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
35343adant1 1127 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3628fovcl 7546 . . . . . . 7 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37 ovres 7584 . . . . . . 7 ((𝑥𝐻 ∧ (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
3836, 37sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑥𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39383impb 1112 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 + (𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
4015sseli 3974 . . . . . 6 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ran + )
4115sseli 3974 . . . . . 6 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ran + )
4215sseli 3974 . . . . . 6 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ran + )
436grpoass 30433 . . . . . . 7 (( + ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +𝑦 ∈ ran +𝑧 ∈ ran + )) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
443, 43mpan 688 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ran +𝑦 ∈ ran +𝑧 ∈ ran + ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4540, 41, 42, 44syl3an 1157 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
4635, 39, 453eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧))
4730, 32, 463eqtr4d 2776 . . 3 ((𝑥𝐻𝑦𝐻𝑧𝐻) → ((𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( + ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48 hilid 31091 . . . 4 (GId‘ + ) = 0
49 sh0 31146 . . . . 5 (𝐻S → 0𝐻)
504, 49ax-mp 5 . . . 4 0𝐻
5148, 50eqeltri 2822 . . 3 (GId‘ + ) ∈ 𝐻
52 ovres 7584 . . . . 5 (((GId‘ + ) ∈ 𝐻𝑥𝐻) → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ + ) + 𝑥))
5351, 52mpan 688 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ + ) + 𝑥))
54 eqid 2726 . . . . . 6 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
556, 54grpolid 30446 . . . . 5 (( + ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran + ) → ((GId‘ + ) + 𝑥) = 𝑥)
563, 40, 55sylancr 585 . . . 4 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + ) + 𝑥) = 𝑥)
5753, 56eqtrd 2766 . . 3 (𝑥𝐻 → ((GId‘ + )( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
5812hhnv 31095 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
5912hhsm 31099 . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
60 eqid 2726 . . . . . . . 8 ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))
6113, 59, 60nvinvfval 30570 . . . . . . 7 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ + ))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( ·(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ + )
6362eqcomi 2735 . . . . 5 (inv‘ + ) = ( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))
6463fveq1i 6894 . . . 4 ((inv‘ + )‘𝑥) = (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65 ax-hfvmul 30935 . . . . . . 7 · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66 ffn 6720 . . . . . . 7 ( · :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → · Fn (ℂ × ℋ))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 · Fn (ℂ × ℋ)
68 neg1cn 12372 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6960curry1val 8111 . . . . . 6 (( · Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 · 𝑥))
7067, 68, 69mp2an 690 . . . . 5 (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 · 𝑥)
71 shmulcl 31148 . . . . . 6 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐻) → (-1 · 𝑥) ∈ 𝐻)
724, 68, 71mp3an12 1448 . . . . 5 (𝑥𝐻 → (-1 · 𝑥) ∈ 𝐻)
7370, 72eqeltrid 2830 . . . 4 (𝑥𝐻 → (( ·(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
7464, 73eqeltrid 2830 . . 3 (𝑥𝐻 → ((inv‘ + )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75 ovres 7584 . . . . 5 ((((inv‘ + )‘𝑥) ∈ 𝐻𝑥𝐻) → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥))
7674, 75mpancom 686 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥))
77 eqid 2726 . . . . . 6 (inv‘ + ) = (inv‘ + )
786, 54, 77grpolinv 30456 . . . . 5 (( + ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran + ) → (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥) = (GId‘ + ))
793, 40, 78sylancr 585 . . . 4 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥) + 𝑥) = (GId‘ + ))
8076, 79eqtrd 2766 . . 3 (𝑥𝐻 → (((inv‘ + )‘𝑥)( + ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ + ))
815, 28, 47, 51, 57, 74, 80isgrpoi 30428 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82 resss 6003 . 2 ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +
833, 81, 823pm3.2i 1336 1 ( + ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( + ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ + )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  wss 3946  {csn 4623  cop 4629   × cxp 5672  ccnv 5673  ran crn 5675  cres 5676  ccom 5678   Fn wfn 6541  wf 6542  ontowfo 6544  cfv 6546  (class class class)co 7416  2nd c2nd 7994  cc 11147  1c1 11150  -cneg 11486  GrpOpcgr 30419  GIdcgi 30420  invcgn 30421  AbelOpcablo 30474  NrmCVeccnv 30514  chba 30849   + cva 30850   · csm 30851  normcno 30853  0c0v 30854   S csh 30858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-hilex 30929  ax-hfvadd 30930  ax-hvcom 30931  ax-hvass 30932  ax-hv0cl 30933  ax-hvaddid 30934  ax-hfvmul 30935  ax-hvmulid 30936  ax-hvmulass 30937  ax-hvdistr1 30938  ax-hvdistr2 30939  ax-hvmul0 30940  ax-hfi 31009  ax-his1 31012  ax-his2 31013  ax-his3 31014  ax-his4 31015
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-grpo 30423  df-gid 30424  df-ginv 30425  df-ablo 30475  df-vc 30489  df-nv 30522  df-va 30525  df-ba 30526  df-sm 30527  df-0v 30528  df-nmcv 30530  df-hnorm 30898  df-hba 30899  df-hvsub 30901  df-sh 31137
This theorem is referenced by:  hhssabloi  31192
  Copyright terms: Public domain W3C validator