HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssabloilem 30002
Description: Lemma for hhssabloi 30003. Formerly part of proof for hhssabloi 30003 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssabloilem ( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž )

Proof of Theorem hhssabloilem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 29901 . . 3 +β„Ž ∈ AbelOp
2 ablogrpo 29288 . . 3 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . 2 +β„Ž ∈ GrpOp
4 hhssabl.1 . . . 4 𝐻 ∈ Sβ„‹
54elexi 3463 . . 3 𝐻 ∈ V
6 eqid 2738 . . . . . . . 8 ran +β„Ž = ran +β„Ž
76grpofo 29240 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ GrpOp β†’ +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )–ontoβ†’ran +β„Ž )
8 fof 6752 . . . . . . 7 ( +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )–ontoβ†’ran +β„Ž β†’ +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž )
93, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž
104shssii 29954 . . . . . . . 8 𝐻 βŠ† β„‹
11 df-hba 29710 . . . . . . . . 9 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
12 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
1312hhva 29907 . . . . . . . . 9 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
1411, 13bafval 29345 . . . . . . . 8 β„‹ = ran +β„Ž
1510, 14sseqtri 3979 . . . . . . 7 𝐻 βŠ† ran +β„Ž
16 xpss12 5646 . . . . . . 7 ((𝐻 βŠ† ran +β„Ž ∧ 𝐻 βŠ† ran +β„Ž ) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž ))
1715, 15, 16mp2an 691 . . . . . 6 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )
18 fssres 6704 . . . . . 6 (( +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž ∧ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )) β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž )
199, 17, 18mp2an 691 . . . . 5 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž
20 ffn 6664 . . . . 5 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻))
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻)
22 ovres 7513 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
23 shaddcl 29958 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
244, 23mp3an1 1449 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
2522, 24eqeltrd 2839 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
2625rgen2 3193 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27 ffnov 7476 . . . 4 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢𝐻 ↔ (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
2821, 26, 27mpbir2an 710 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢𝐻
2922oveq1d 7365 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
30293adant3 1133 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
31 ovres 7513 . . . . 5 (((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧))
3225, 31stoic3 1779 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧))
33 ovres 7513 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
3433oveq2d 7366 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
35343adant1 1131 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
3628fovcl 7477 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37 ovres 7513 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
3836, 37sylan2 594 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
39383impb 1116 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
4015sseli 3939 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ ran +β„Ž )
4115sseli 3939 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ 𝑦 ∈ ran +β„Ž )
4215sseli 3939 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ 𝑧 ∈ ran +β„Ž )
436grpoass 29244 . . . . . . 7 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ (π‘₯ ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑦 ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑧 ∈ ran +β„Ž )) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
443, 43mpan 689 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑦 ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑧 ∈ ran +β„Ž ) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
4540, 41, 42, 44syl3an 1161 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
4635, 39, 453eqtr4d 2788 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
4730, 32, 463eqtr4d 2788 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
48 hilid 29902 . . . 4 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = 0β„Ž
49 sh0 29957 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ 𝐻)
504, 49ax-mp 5 . . . 4 0β„Ž ∈ 𝐻
5148, 50eqeltri 2835 . . 3 (GIdβ€˜ +β„Ž ) ∈ 𝐻
52 ovres 7513 . . . . 5 (((GIdβ€˜ +β„Ž ) ∈ 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯))
5351, 52mpan 689 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯))
54 eqid 2738 . . . . . 6 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = (GIdβ€˜ +β„Ž )
556, 54grpolid 29257 . . . . 5 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ π‘₯ ∈ ran +β„Ž ) β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯) = π‘₯)
563, 40, 55sylancr 588 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5753, 56eqtrd 2778 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = π‘₯)
5812hhnv 29906 . . . . . . 7 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
5912hhsm 29910 . . . . . . . 8 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
60 eqid 2738 . . . . . . . 8 ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
6113, 59, 60nvinvfval 29381 . . . . . . 7 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = (invβ€˜ +β„Ž ))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = (invβ€˜ +β„Ž )
6362eqcomi 2747 . . . . 5 (invβ€˜ +β„Ž ) = ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
6463fveq1i 6839 . . . 4 ((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) = (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯)
65 ax-hfvmul 29746 . . . . . . 7 Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹
66 ffn 6664 . . . . . . 7 ( Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹ β†’ Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹)
68 neg1cn 12201 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
6960curry1val 8026 . . . . . 6 (( Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) = (-1 Β·β„Ž π‘₯))
7067, 68, 69mp2an 691 . . . . 5 (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) = (-1 Β·β„Ž π‘₯)
71 shmulcl 29959 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (-1 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
724, 68, 71mp3an12 1452 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (-1 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
7370, 72eqeltrid 2843 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
7464, 73eqeltrid 2843 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
75 ovres 7513 . . . . 5 ((((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯))
7674, 75mpancom 687 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯))
77 eqid 2738 . . . . . 6 (invβ€˜ +β„Ž ) = (invβ€˜ +β„Ž )
786, 54, 77grpolinv 29267 . . . . 5 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ π‘₯ ∈ ran +β„Ž ) β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
793, 40, 78sylancr 588 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
8076, 79eqtrd 2778 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
815, 28, 47, 51, 57, 74, 80isgrpoi 29239 . 2 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp
82 resss 5959 . 2 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž
833, 81, 823pm3.2i 1340 1 ( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   βŠ† wss 3909  {csn 4585  βŸ¨cop 4591   Γ— cxp 5629  β—‘ccnv 5630  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6487  βŸΆwf 6488  β€“ontoβ†’wfo 6490  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  2nd c2nd 7911  β„‚cc 10983  1c1 10986  -cneg 11320  GrpOpcgr 29230  GIdcgi 29231  invcgn 29232  AbelOpcablo 29285  NrmCVeccnv 29325   β„‹chba 29660   +β„Ž cva 29661   Β·β„Ž csm 29662  normβ„Žcno 29664  0β„Žc0v 29665   Sβ„‹ csh 29669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-hilex 29740  ax-hfvadd 29741  ax-hvcom 29742  ax-hvass 29743  ax-hv0cl 29744  ax-hvaddid 29745  ax-hfvmul 29746  ax-hvmulid 29747  ax-hvmulass 29748  ax-hvdistr1 29749  ax-hvdistr2 29750  ax-hvmul0 29751  ax-hfi 29820  ax-his1 29823  ax-his2 29824  ax-his3 29825  ax-his4 29826
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-grpo 29234  df-gid 29235  df-ginv 29236  df-ablo 29286  df-vc 29300  df-nv 29333  df-va 29336  df-ba 29337  df-sm 29338  df-0v 29339  df-nmcv 29341  df-hnorm 29709  df-hba 29710  df-hvsub 29712  df-sh 29948
This theorem is referenced by:  hhssabloi  30003
  Copyright terms: Public domain W3C validator