HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloilem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssabloilem 30781
Description: Lemma for hhssabloi 30782. Formerly part of proof for hhssabloi 30782 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssabloilem ( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž )
Proof of Theorem hhssabloilem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 30680 . . 3 +β„Ž ∈ AbelOp
2 ablogrpo 30067 . . 3 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . 2 +β„Ž ∈ GrpOp
4 hhssabl.1 . . . 4 𝐻 ∈ Sβ„‹
54elexi 3492 . . 3 𝐻 ∈ V
6 eqid 2730 . . . . . . . 8 ran +β„Ž = ran +β„Ž
76grpofo 30019 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ GrpOp β†’ +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )–ontoβ†’ran +β„Ž )
8 fof 6804 . . . . . . 7 ( +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )–ontoβ†’ran +β„Ž β†’ +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž )
93, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž
104shssii 30733 . . . . . . . 8 𝐻 βŠ† β„‹
11 df-hba 30489 . . . . . . . . 9 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
12 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
1312hhva 30686 . . . . . . . . 9 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
1411, 13bafval 30124 . . . . . . . 8 β„‹ = ran +β„Ž
1510, 14sseqtri 4017 . . . . . . 7 𝐻 βŠ† ran +β„Ž
16 xpss12 5690 . . . . . . 7 ((𝐻 βŠ† ran +β„Ž ∧ 𝐻 βŠ† ran +β„Ž ) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž ))
1715, 15, 16mp2an 688 . . . . . 6 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )
18 fssres 6756 . . . . . 6 (( +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž ∧ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )) β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž )
199, 17, 18mp2an 688 . . . . 5 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž
20 ffn 6716 . . . . 5 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻))
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻)
22 ovres 7575 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
23 shaddcl 30737 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
244, 23mp3an1 1446 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
2522, 24eqeltrd 2831 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
2625rgen2 3195 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27 ffnov 7537 . . . 4 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢𝐻 ↔ (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
2821, 26, 27mpbir2an 707 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢𝐻
2922oveq1d 7426 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
30293adant3 1130 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
31 ovres 7575 . . . . 5 (((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧))
3225, 31stoic3 1776 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧))
33 ovres 7575 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
3433oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
35343adant1 1128 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
3628fovcl 7539 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37 ovres 7575 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
3836, 37sylan2 591 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
39383impb 1113 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
4015sseli 3977 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ ran +β„Ž )
4115sseli 3977 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ 𝑦 ∈ ran +β„Ž )
4215sseli 3977 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ 𝑧 ∈ ran +β„Ž )
436grpoass 30023 . . . . . . 7 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ (π‘₯ ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑦 ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑧 ∈ ran +β„Ž )) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
443, 43mpan 686 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑦 ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑧 ∈ ran +β„Ž ) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
4540, 41, 42, 44syl3an 1158 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
4635, 39, 453eqtr4d 2780 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
4730, 32, 463eqtr4d 2780 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
48 hilid 30681 . . . 4 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = 0β„Ž
49 sh0 30736 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ 𝐻)
504, 49ax-mp 5 . . . 4 0β„Ž ∈ 𝐻
5148, 50eqeltri 2827 . . 3 (GIdβ€˜ +β„Ž ) ∈ 𝐻
52 ovres 7575 . . . . 5 (((GIdβ€˜ +β„Ž ) ∈ 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯))
5351, 52mpan 686 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯))
54 eqid 2730 . . . . . 6 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = (GIdβ€˜ +β„Ž )
556, 54grpolid 30036 . . . . 5 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ π‘₯ ∈ ran +β„Ž ) β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯) = π‘₯)
563, 40, 55sylancr 585 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5753, 56eqtrd 2770 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = π‘₯)
5812hhnv 30685 . . . . . . 7 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
5912hhsm 30689 . . . . . . . 8 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
60 eqid 2730 . . . . . . . 8 ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
6113, 59, 60nvinvfval 30160 . . . . . . 7 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = (invβ€˜ +β„Ž ))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = (invβ€˜ +β„Ž )
6362eqcomi 2739 . . . . 5 (invβ€˜ +β„Ž ) = ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
6463fveq1i 6891 . . . 4 ((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) = (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯)
65 ax-hfvmul 30525 . . . . . . 7 Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹
66 ffn 6716 . . . . . . 7 ( Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹ β†’ Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹)
68 neg1cn 12330 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
6960curry1val 8093 . . . . . 6 (( Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) = (-1 Β·β„Ž π‘₯))
7067, 68, 69mp2an 688 . . . . 5 (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) = (-1 Β·β„Ž π‘₯)
71 shmulcl 30738 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (-1 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
724, 68, 71mp3an12 1449 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (-1 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
7370, 72eqeltrid 2835 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
7464, 73eqeltrid 2835 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
75 ovres 7575 . . . . 5 ((((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯))
7674, 75mpancom 684 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯))
77 eqid 2730 . . . . . 6 (invβ€˜ +β„Ž ) = (invβ€˜ +β„Ž )
786, 54, 77grpolinv 30046 . . . . 5 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ π‘₯ ∈ ran +β„Ž ) β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
793, 40, 78sylancr 585 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
8076, 79eqtrd 2770 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
815, 28, 47, 51, 57, 74, 80isgrpoi 30018 . 2 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp
82 resss 6005 . 2 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž
833, 81, 823pm3.2i 1337 1 ( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  2nd c2nd 7976  β„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449  GrpOpcgr 30009  GIdcgi 30010  invcgn 30011  AbelOpcablo 30064  NrmCVeccnv 30104   β„‹chba 30439   +β„Ž cva 30440   Β·β„Ž csm 30441  normβ„Žcno 30443  0β„Žc0v 30444   Sβ„‹ csh 30448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-sh 30727
This theorem is referenced by:  hhssabloi  30782
  Copyright terms: Public domain W3C validator