Theorem hhssabloilem 31205

Description: Lemma for hhssabloi 31206. Formerly part of proof for hhssabloi 31206 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloilem	⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Proof of Theorem hhssabloilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31104	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30491	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	4	elexi 3459	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
6		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ran +ℎ = ran +ℎ
7	6	grpofo 30443	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ )
8		fof 6736	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ )
9	3, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ
10	4	shssii 31157	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
11		df-hba 30913	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
13	12	hhva 31110	. . . . . . . . 9 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	11, 13	bafval 30548	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = ran +ℎ
15	10, 14	sseqtri 3984	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ⊆ ran +ℎ
16		xpss12 5634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ⊆ ran +ℎ ∧ 𝐻 ⊆ ran +ℎ ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ ))
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )
18		fssres 6690	. . . . . 6 ⊢ (( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ )
19	9, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ
20		ffn 6652	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22		ovres 7515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23		shaddcl 31161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
24	4, 23	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
25	22, 24	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
26	25	rgen2 3169	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27		ffnov 7475	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
28	21, 26, 27	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
29	22	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
31		ovres 7515	. . . . 5 ⊢ (((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
32	25, 31	stoic3 1776	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
33		ovres 7515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 +ℎ 𝑧))
34	33	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
35	34	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
36	28	fovcl 7477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37		ovres 7515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
38	36, 37	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39	38	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
40	15	sseli 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ran +ℎ )
41	15	sseli 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ran +ℎ )
42	15	sseli 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ran +ℎ )
43	6	grpoass 30447	. . . . . . 7 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ )) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
44	3, 43	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
45	40, 41, 42, 44	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
46	35, 39, 45	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
47	30, 32, 46	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48		hilid 31105	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
49		sh0 31160	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)
50	4, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
51	48, 50	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻
52		ovres 7515	. . . . 5 ⊢ (((GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
53	51, 52	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
54		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
55	6, 54	grpolid 30460	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
56	3, 40, 55	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
57	53, 56	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
58	12	hhnv 31109	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
59	12	hhsm 31113	. . . . . . . 8 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
60		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
61	13, 59, 60	nvinvfval 30584	. . . . . . 7 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ ))
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ )
63	62	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
64	63	fveq1i 6823	. . . 4 ⊢ ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) = (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65		ax-hfvmul 30949	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66		ffn 6652	. . . . . . 7 ⊢ ( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → ·ℎ Fn (ℂ × ℋ))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ Fn (ℂ × ℋ)
68		neg1cn 12113	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
69	60	curry1val 8038	. . . . . 6 ⊢ (( ·ℎ Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥))
70	67, 68, 69	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥)
71		shmulcl 31162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
72	4, 68, 71	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
73	70, 72	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
74	64, 73	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75		ovres 7515	. . . . 5 ⊢ ((((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
76	74, 75	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
77		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = (inv‘ +ℎ )
78	6, 54, 77	grpolinv 30470	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
79	3, 40, 78	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
80	76, 79	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
81	5, 28, 47, 51, 57, 74, 80	isgrpoi 30442	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82		resss 5952	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
83	3, 81, 82	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ⟨cop 4583   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  –onto→wfo 6480  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  2^nd c2nd 7923  ℂcc 11007  1c1 11010  -cneg 11348  GrpOpcgr 30433  GIdcgi 30434  invcgn 30435  AbelOpcablo 30488  NrmCVeccnv 30528   ℋchba 30863   +_ℎ cva 30864   ·_ℎ csm 30865  norm_ℎcno 30867  0_ℎc0v 30868   S_ℋ csh 30872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-hilex 30943  ax-hfvadd 30944  ax-hvcom 30945  ax-hvass 30946  ax-hv0cl 30947  ax-hvaddid 30948  ax-hfvmul 30949  ax-hvmulid 30950  ax-hvmulass 30951  ax-hvdistr1 30952  ax-hvdistr2 30953  ax-hvmul0 30954  ax-hfi 31023  ax-his1 31026  ax-his2 31027  ax-his3 31028  ax-his4 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-nmcv 30544  df-hnorm 30912  df-hba 30913  df-hvsub 30915  df-sh 31151

This theorem is referenced by:  hhssabloi  31206