Theorem hhssabloilem 31293

Description: Lemma for hhssabloi 31294. Formerly part of proof for hhssabloi 31294 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloilem	⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Proof of Theorem hhssabloilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31192	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30579	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	4	elexi 3511	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
6		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ran +ℎ = ran +ℎ
7	6	grpofo 30531	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ )
8		fof 6834	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ )
9	3, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ
10	4	shssii 31245	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
11		df-hba 31001	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
13	12	hhva 31198	. . . . . . . . 9 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	11, 13	bafval 30636	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = ran +ℎ
15	10, 14	sseqtri 4045	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ⊆ ran +ℎ
16		xpss12 5715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ⊆ ran +ℎ ∧ 𝐻 ⊆ ran +ℎ ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ ))
17	15, 15, 16	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )
18		fssres 6787	. . . . . 6 ⊢ (( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ )
19	9, 17, 18	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ
20		ffn 6747	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22		ovres 7616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23		shaddcl 31249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
24	4, 23	mp3an1 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
25	22, 24	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
26	25	rgen2 3205	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27		ffnov 7576	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
28	21, 26, 27	mpbir2an 710	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
29	22	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
31		ovres 7616	. . . . 5 ⊢ (((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
32	25, 31	stoic3 1774	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
33		ovres 7616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 +ℎ 𝑧))
34	33	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
35	34	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
36	28	fovcl 7578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37		ovres 7616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
38	36, 37	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39	38	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
40	15	sseli 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ran +ℎ )
41	15	sseli 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ran +ℎ )
42	15	sseli 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ran +ℎ )
43	6	grpoass 30535	. . . . . . 7 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ )) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
44	3, 43	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
45	40, 41, 42, 44	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
46	35, 39, 45	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
47	30, 32, 46	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48		hilid 31193	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
49		sh0 31248	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)
50	4, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
51	48, 50	eqeltri 2840	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻
52		ovres 7616	. . . . 5 ⊢ (((GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
53	51, 52	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
54		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
55	6, 54	grpolid 30548	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
56	3, 40, 55	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
57	53, 56	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
58	12	hhnv 31197	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
59	12	hhsm 31201	. . . . . . . 8 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
60		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
61	13, 59, 60	nvinvfval 30672	. . . . . . 7 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ ))
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ )
63	62	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
64	63	fveq1i 6921	. . . 4 ⊢ ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) = (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65		ax-hfvmul 31037	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66		ffn 6747	. . . . . . 7 ⊢ ( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → ·ℎ Fn (ℂ × ℋ))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ Fn (ℂ × ℋ)
68		neg1cn 12407	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
69	60	curry1val 8146	. . . . . 6 ⊢ (( ·ℎ Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥))
70	67, 68, 69	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥)
71		shmulcl 31250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
72	4, 68, 71	mp3an12 1451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
73	70, 72	eqeltrid 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
74	64, 73	eqeltrid 2848	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75		ovres 7616	. . . . 5 ⊢ ((((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
76	74, 75	mpancom 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
77		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = (inv‘ +ℎ )
78	6, 54, 77	grpolinv 30558	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
79	3, 40, 78	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
80	76, 79	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
81	5, 28, 47, 51, 57, 74, 80	isgrpoi 30530	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82		resss 6031	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
83	3, 81, 82	3pm3.2i 1339	1 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ⟨cop 4654   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  2^nd c2nd 8029  ℂcc 11182  1c1 11185  -cneg 11521  GrpOpcgr 30521  GIdcgi 30522  invcgn 30523  AbelOpcablo 30576  NrmCVeccnv 30616   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  norm_ℎcno 30955  0_ℎc0v 30956   S_ℋ csh 30960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-nmcv 30632  df-hnorm 31000  df-hba 31001  df-hvsub 31003  df-sh 31239

This theorem is referenced by:  hhssabloi  31294