Theorem hhssabloilem 31197

Description: Lemma for hhssabloi 31198. Formerly part of proof for hhssabloi 31198 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloilem	⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Proof of Theorem hhssabloilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31096	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30483	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	4	elexi 3473	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
6		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ran +ℎ = ran +ℎ
7	6	grpofo 30435	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ )
8		fof 6775	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ )
9	3, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ
10	4	shssii 31149	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
11		df-hba 30905	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
13	12	hhva 31102	. . . . . . . . 9 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	11, 13	bafval 30540	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = ran +ℎ
15	10, 14	sseqtri 3998	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ⊆ ran +ℎ
16		xpss12 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ⊆ ran +ℎ ∧ 𝐻 ⊆ ran +ℎ ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ ))
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )
18		fssres 6729	. . . . . 6 ⊢ (( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ )
19	9, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ
20		ffn 6691	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22		ovres 7558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23		shaddcl 31153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
24	4, 23	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
25	22, 24	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
26	25	rgen2 3178	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27		ffnov 7518	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
28	21, 26, 27	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
29	22	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
31		ovres 7558	. . . . 5 ⊢ (((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
32	25, 31	stoic3 1776	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
33		ovres 7558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 +ℎ 𝑧))
34	33	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
35	34	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
36	28	fovcl 7520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37		ovres 7558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
38	36, 37	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39	38	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
40	15	sseli 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ran +ℎ )
41	15	sseli 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ran +ℎ )
42	15	sseli 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ran +ℎ )
43	6	grpoass 30439	. . . . . . 7 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ )) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
44	3, 43	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
45	40, 41, 42, 44	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
46	35, 39, 45	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
47	30, 32, 46	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48		hilid 31097	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
49		sh0 31152	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)
50	4, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
51	48, 50	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻
52		ovres 7558	. . . . 5 ⊢ (((GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
53	51, 52	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
54		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
55	6, 54	grpolid 30452	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
56	3, 40, 55	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
57	53, 56	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
58	12	hhnv 31101	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
59	12	hhsm 31105	. . . . . . . 8 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
60		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
61	13, 59, 60	nvinvfval 30576	. . . . . . 7 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ ))
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ )
63	62	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
64	63	fveq1i 6862	. . . 4 ⊢ ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) = (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65		ax-hfvmul 30941	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66		ffn 6691	. . . . . . 7 ⊢ ( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → ·ℎ Fn (ℂ × ℋ))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ Fn (ℂ × ℋ)
68		neg1cn 12178	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
69	60	curry1val 8087	. . . . . 6 ⊢ (( ·ℎ Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥))
70	67, 68, 69	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥)
71		shmulcl 31154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
72	4, 68, 71	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
73	70, 72	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
74	64, 73	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75		ovres 7558	. . . . 5 ⊢ ((((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
76	74, 75	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
77		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = (inv‘ +ℎ )
78	6, 54, 77	grpolinv 30462	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
79	3, 40, 78	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
80	76, 79	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
81	5, 28, 47, 51, 57, 74, 80	isgrpoi 30434	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82		resss 5975	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
83	3, 81, 82	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ⟨cop 4598   × cxp 5639  ^◡ccnv 5640  ran crn 5642   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  –onto→wfo 6512  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  2^nd c2nd 7970  ℂcc 11073  1c1 11076  -cneg 11413  GrpOpcgr 30425  GIdcgi 30426  invcgn 30427  AbelOpcablo 30480  NrmCVeccnv 30520   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857  norm_ℎcno 30859  0_ℎc0v 30860   S_ℋ csh 30864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-sh 31143

This theorem is referenced by:  hhssabloi  31198