Theorem hhssabloilem 31686

Description: Lemma for hhssabloi 31687. Formerly part of proof for hhssabloi 31687 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssabloilem	⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

Proof of Theorem hhssabloilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilablo 31585	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
2		ablogrpo 30972	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → +ℎ ∈ GrpOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ +ℎ ∈ GrpOp
4		hhssabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
5	4	elexi 3479	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
6		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ran +ℎ = ran +ℎ
7	6	grpofo 30924	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ )
8		fof 6796	. . . . . . 7 ⊢ ( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )–onto→ran +ℎ → +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ )
9	3, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ
10	4	shssii 31638	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
11		df-hba 31394	. . . . . . . . 9 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
13	12	hhva 31591	. . . . . . . . 9 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
14	11, 13	bafval 31029	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ = ran +ℎ
15	10, 14	sseqtri 3986	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ⊆ ran +ℎ
16		xpss12 5678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ⊆ ran +ℎ ∧ 𝐻 ⊆ ran +ℎ ) → (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ ))
17	15, 15, 16	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )
18		fssres 6748	. . . . . 6 ⊢ (( +ℎ :(ran +ℎ × ran +ℎ )⟶ran +ℎ ∧ (𝐻 × 𝐻) ⊆ (ran +ℎ × ran +ℎ )) → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ )
19	9, 17, 18	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ
20		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶ran +ℎ → ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻)
22		ovres 7585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23		shaddcl 31642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
24	4, 23	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
25	22, 24	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
26	25	rgen2 3207	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27		ffnov 7545	. . . 4 ⊢ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻 ↔ (( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) Fn (𝐻 × 𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
28	21, 26, 27	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
29	22	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
30	29	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
31		ovres 7585	. . . . 5 ⊢ (((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
32	25, 31	stoic3 1809	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦) +ℎ 𝑧))
33		ovres 7585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑦 +ℎ 𝑧))
34	33	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
35	34	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
36	28	fovcl 7547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37		ovres 7585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
38	36, 37	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
39	38	3impb 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = (𝑥 +ℎ (𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
40	15	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ran +ℎ )
41	15	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ran +ℎ )
42	15	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ran +ℎ )
43	6	grpoass 30928	. . . . . . 7 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ (𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ )) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
44	3, 43	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑦 ∈ ran +ℎ ∧ 𝑧 ∈ ran +ℎ ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
45	40, 41, 42, 44	syl3an 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) = (𝑥 +ℎ (𝑦 +ℎ 𝑧)))
46	35, 39, 45	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)) = ((𝑥 +ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧))
47	30, 32, 46	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑦)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧) = (𝑥( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))(𝑦( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑧)))
48		hilid 31586	. . . 4 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = 0ℎ
49		sh0 31641	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐻)
50	4, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
51	48, 50	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ (GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻
52		ovres 7585	. . . . 5 ⊢ (((GId‘ +ℎ ) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
53	51, 52	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥))
54		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (GId‘ +ℎ ) = (GId‘ +ℎ )
55	6, 54	grpolid 30941	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
56	3, 40, 55	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ ) +ℎ 𝑥) = 𝑥)
57	53, 56	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((GId‘ +ℎ )( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = 𝑥)
58	12	hhnv 31590	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
59	12	hhsm 31594	. . . . . . . 8 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
60		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
61	13, 59, 60	nvinvfval 31065	. . . . . . 7 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ ))
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V))) = (inv‘ +ℎ )
63	62	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = ( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))
64	63	fveq1i 6886	. . . 4 ⊢ ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) = (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥)
65		ax-hfvmul 31430	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ
66		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ ( ·ℎ :(ℂ × ℋ)⟶ ℋ → ·ℎ Fn (ℂ × ℋ))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ·ℎ Fn (ℂ × ℋ)
68		neg1cn 12220	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
69	60	curry1val 8106	. . . . . 6 ⊢ (( ·ℎ Fn (ℂ × ℋ) ∧ -1 ∈ ℂ) → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥))
70	67, 68, 69	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) = (-1 ·ℎ 𝑥)
71		shmulcl 31643	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
72	4, 68, 71	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (-1 ·ℎ 𝑥) ∈ 𝐻)
73	70, 72	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (( ·ℎ ∘ ◡(2nd ↾ ({-1} × V)))‘𝑥) ∈ 𝐻)
74	64, 73	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → ((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻)
75		ovres 7585	. . . . 5 ⊢ ((((inv‘ +ℎ )‘𝑥) ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
76	74, 75	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥))
77		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (inv‘ +ℎ ) = (inv‘ +ℎ )
78	6, 54, 77	grpolinv 30951	. . . . 5 ⊢ (( +ℎ ∈ GrpOp ∧ 𝑥 ∈ ran +ℎ ) → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
79	3, 40, 78	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥) +ℎ 𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
80	76, 79	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → (((inv‘ +ℎ )‘𝑥)( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))𝑥) = (GId‘ +ℎ ))
81	5, 28, 47, 51, 57, 74, 80	isgrpoi 30923	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp
82		resss 6002	. 2 ⊢ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ
83	3, 81, 82	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ( +ℎ ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) ⊆ +ℎ )

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  ran crn 5664   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  2^nd c2nd 7991  ℂcc 11115  1c1 11118  -cneg 11459  GrpOpcgr 30914  GIdcgi 30915  invcgn 30916  AbelOpcablo 30969  NrmCVeccnv 31009   ℋchba 31344   +_ℎ cva 31345   ·_ℎ csm 31346  norm_ℎcno 31348  0_ℎc0v 31349   S_ℋ csh 31353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-hilex 31424  ax-hfvadd 31425  ax-hvcom 31426  ax-hvass 31427  ax-hv0cl 31428  ax-hvaddid 31429  ax-hfvmul 31430  ax-hvmulid 31431  ax-hvmulass 31432  ax-hvdistr1 31433  ax-hvdistr2 31434  ax-hvmul0 31435  ax-hfi 31504  ax-his1 31507  ax-his2 31508  ax-his3 31509  ax-his4 31510

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-grpo 30918  df-gid 30919  df-ginv 30920  df-ablo 30970  df-vc 30984  df-nv 31017  df-va 31020  df-ba 31021  df-sm 31022  df-0v 31023  df-nmcv 31025  df-hnorm 31393  df-hba 31394  df-hvsub 31396  df-sh 31632

This theorem is used by:  hhssabloi  31687