HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloilem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhssabloilem 30514
Description: Lemma for hhssabloi 30515. Formerly part of proof for hhssabloi 30515 which was based on the deprecated definition "SubGrpOp" for subgroups. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Revised by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1 𝐻 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhssabloilem ( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž )
Proof of Theorem hhssabloilem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 30413 . . 3 +β„Ž ∈ AbelOp
2 ablogrpo 29800 . . 3 ( +β„Ž ∈ AbelOp β†’ +β„Ž ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . 2 +β„Ž ∈ GrpOp
4 hhssabl.1 . . . 4 𝐻 ∈ Sβ„‹
54elexi 3494 . . 3 𝐻 ∈ V
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran +β„Ž = ran +β„Ž
76grpofo 29752 . . . . . . 7 ( +β„Ž ∈ GrpOp β†’ +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )–ontoβ†’ran +β„Ž )
8 fof 6806 . . . . . . 7 ( +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )–ontoβ†’ran +β„Ž β†’ +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž )
93, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž
104shssii 30466 . . . . . . . 8 𝐻 βŠ† β„‹
11 df-hba 30222 . . . . . . . . 9 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
1312hhva 30419 . . . . . . . . 9 +β„Ž = ( +𝑣 β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
1411, 13bafval 29857 . . . . . . . 8 β„‹ = ran +β„Ž
1510, 14sseqtri 4019 . . . . . . 7 𝐻 βŠ† ran +β„Ž
16 xpss12 5692 . . . . . . 7 ((𝐻 βŠ† ran +β„Ž ∧ 𝐻 βŠ† ran +β„Ž ) β†’ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž ))
1715, 15, 16mp2an 691 . . . . . 6 (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )
18 fssres 6758 . . . . . 6 (( +β„Ž :(ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )⟢ran +β„Ž ∧ (𝐻 Γ— 𝐻) βŠ† (ran +β„Ž Γ— ran +β„Ž )) β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž )
199, 17, 18mp2an 691 . . . . 5 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž
20 ffn 6718 . . . . 5 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢ran +β„Ž β†’ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻))
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻)
22 ovres 7573 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
23 shaddcl 30470 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
244, 23mp3an1 1449 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) ∈ 𝐻)
2522, 24eqeltrd 2834 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻)
2625rgen2 3198 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻
27 ffnov 7535 . . . 4 (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢𝐻 ↔ (( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) Fn (𝐻 Γ— 𝐻) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻))
2821, 26, 27mpbir2an 710 . . 3 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)):(𝐻 Γ— 𝐻)⟢𝐻
2922oveq1d 7424 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
30293adant3 1133 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
31 ovres 7573 . . . . 5 (((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧))
3225, 31stoic3 1779 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦) +β„Ž 𝑧))
33 ovres 7573 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
3433oveq2d 7425 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
35343adant1 1131 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
3628fovcl 7537 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻)
37 ovres 7573 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
3836, 37sylan2 594 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
39383impb 1116 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
4015sseli 3979 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ ran +β„Ž )
4115sseli 3979 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ 𝑦 ∈ ran +β„Ž )
4215sseli 3979 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ 𝑧 ∈ ran +β„Ž )
436grpoass 29756 . . . . . . 7 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ (π‘₯ ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑦 ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑧 ∈ ran +β„Ž )) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
443, 43mpan 689 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑦 ∈ ran +β„Ž ∧ 𝑧 ∈ ran +β„Ž ) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
4540, 41, 42, 44syl3an 1161 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) = (π‘₯ +β„Ž (𝑦 +β„Ž 𝑧)))
4635, 39, 453eqtr4d 2783 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)) = ((π‘₯ +β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧))
4730, 32, 463eqtr4d 2783 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ ((π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑦)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧) = (π‘₯( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))(𝑦( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))𝑧)))
48 hilid 30414 . . . 4 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = 0β„Ž
49 sh0 30469 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ 𝐻)
504, 49ax-mp 5 . . . 4 0β„Ž ∈ 𝐻
5148, 50eqeltri 2830 . . 3 (GIdβ€˜ +β„Ž ) ∈ 𝐻
52 ovres 7573 . . . . 5 (((GIdβ€˜ +β„Ž ) ∈ 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯))
5351, 52mpan 689 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯))
54 eqid 2733 . . . . . 6 (GIdβ€˜ +β„Ž ) = (GIdβ€˜ +β„Ž )
556, 54grpolid 29769 . . . . 5 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ π‘₯ ∈ ran +β„Ž ) β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯) = π‘₯)
563, 40, 55sylancr 588 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž ) +β„Ž π‘₯) = π‘₯)
5753, 56eqtrd 2773 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((GIdβ€˜ +β„Ž )( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = π‘₯)
5812hhnv 30418 . . . . . . 7 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
5912hhsm 30422 . . . . . . . 8 Β·β„Ž = ( ·𝑠OLD β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
60 eqid 2733 . . . . . . . 8 ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
6113, 59, 60nvinvfval 29893 . . . . . . 7 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = (invβ€˜ +β„Ž ))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V))) = (invβ€˜ +β„Ž )
6362eqcomi 2742 . . . . 5 (invβ€˜ +β„Ž ) = ( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
6463fveq1i 6893 . . . 4 ((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) = (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯)
65 ax-hfvmul 30258 . . . . . . 7 Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹
66 ffn 6718 . . . . . . 7 ( Β·β„Ž :(β„‚ Γ— β„‹)⟢ β„‹ β†’ Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . 6 Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹)
68 neg1cn 12326 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
6960curry1val 8091 . . . . . 6 (( Β·β„Ž Fn (β„‚ Γ— β„‹) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) = (-1 Β·β„Ž π‘₯))
7067, 68, 69mp2an 691 . . . . 5 (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) = (-1 Β·β„Ž π‘₯)
71 shmulcl 30471 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Sβ„‹ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (-1 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
724, 68, 71mp3an12 1452 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (-1 Β·β„Ž π‘₯) ∈ 𝐻)
7370, 72eqeltrid 2838 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (( Β·β„Ž ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
7464, 73eqeltrid 2838 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ ((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) ∈ 𝐻)
75 ovres 7573 . . . . 5 ((((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) ∈ 𝐻 ∧ π‘₯ ∈ 𝐻) β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯))
7674, 75mpancom 687 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯))
77 eqid 2733 . . . . . 6 (invβ€˜ +β„Ž ) = (invβ€˜ +β„Ž )
786, 54, 77grpolinv 29779 . . . . 5 (( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ π‘₯ ∈ ran +β„Ž ) β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
793, 40, 78sylancr 588 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯) +β„Ž π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
8076, 79eqtrd 2773 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ (((invβ€˜ +β„Ž )β€˜π‘₯)( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))π‘₯) = (GIdβ€˜ +β„Ž ))
815, 28, 47, 51, 57, 74, 80isgrpoi 29751 . 2 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp
82 resss 6007 . 2 ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž
833, 81, 823pm3.2i 1340 1 ( +β„Ž ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) ∈ GrpOp ∧ ( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)) βŠ† +β„Ž )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2nd c2nd 7974  β„‚cc 11108  1c1 11111  -cneg 11445  GrpOpcgr 29742  GIdcgi 29743  invcgn 29744  AbelOpcablo 29797  NrmCVeccnv 29837   β„‹chba 30172   +β„Ž cva 30173   Β·β„Ž csm 30174  normβ„Žcno 30176  0β„Žc0v 30177   Sβ„‹ csh 30181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-sh 30460
This theorem is referenced by:  hhssabloi  30515
  Copyright terms: Public domain W3C validator