Theorem shaddcl 31196

Description: Closure of vector addition in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shaddcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh2 31188	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
2	1	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
4		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝐴 +ℎ 𝑦))
5	4	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ↔ (𝐴 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻))
6		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 +ℎ 𝑦) = (𝐴 +ℎ 𝐵))
7	6	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
8	5, 7	rspc2v 3596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
9	3, 8	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
10	9	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   ℋchba 30898   +_ℎ cva 30899   ·_ℎ csm 30900  0_ℎc0v 30903   S_ℋ csh 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hfvmul 30984

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-sh 31186

This theorem is referenced by:  shsubcl  31199  hhssabloilem  31240  hhssnv  31243  shscli  31296  shintcli  31308  shsleji  31349  shsidmi  31363  pjhthlem1  31370  spanuni  31523  spanunsni  31558  sumspansn  31628  pjaddii  31654  imaelshi  32037