Theorem shaddcl 31144

Description: Closure of vector addition in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shaddcl	⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issh2 31136	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
2	1	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
4		oveq1 7410	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝐴 +ℎ 𝑦))
5	4	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ↔ (𝐴 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻))
6		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 +ℎ 𝑦) = (𝐴 +ℎ 𝐵))
7	6	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
8	5, 7	rspc2v 3612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
9	3, 8	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻))
10	9	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   ℋchba 30846   +_ℎ cva 30847   ·_ℎ csm 30848  0_ℎc0v 30851   S_ℋ csh 30855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hfvmul 30932

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406  df-sh 31134

This theorem is referenced by:  shsubcl  31147  hhssabloilem  31188  hhssnv  31191  shscli  31244  shintcli  31256  shsleji  31297  shsidmi  31311  pjhthlem1  31318  spanuni  31471  spanunsni  31506  sumspansn  31576  pjaddii  31602  imaelshi  31985