Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shintcli 28793
 Description: Closure of intersection of a nonempty subset of Sℋ. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shintcl.1 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
shintcli 𝐴S

Proof of Theorem shintcli
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shintcl.1 . . . . 5 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
21simpri 486 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
3 n0 4236 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
4 intss1 4803 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 𝐴𝑧)
51simpli 484 . . . . . . . . 9 𝐴S
65sseli 3891 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧S )
7 shss 28674 . . . . . . . 8 (𝑧S𝑧 ⊆ ℋ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑧𝐴𝑧 ⊆ ℋ)
94, 8sstrd 3905 . . . . . 6 (𝑧𝐴 𝐴 ⊆ ℋ)
109exlimiv 1912 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧𝐴 𝐴 ⊆ ℋ)
113, 10sylbi 218 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ⊆ ℋ)
122, 11ax-mp 5 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
13 ax-hv0cl 28467 . . . . . 6 0 ∈ ℋ
1413elexi 3459 . . . . 5 0 ∈ V
1514elint2 4795 . . . 4 (0 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 0𝑧)
16 sh0 28680 . . . . 5 (𝑧S → 0𝑧)
176, 16syl 17 . . . 4 (𝑧𝐴 → 0𝑧)
1815, 17mprgbir 3122 . . 3 0 𝐴
1912, 18pm3.2i 471 . 2 ( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0 𝐴)
20 elinti 4797 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑧𝐴𝑥𝑧))
2120com12 32 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → (𝑥 𝐴𝑥𝑧))
22 elinti 4797 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝐴 → (𝑧𝐴𝑦𝑧))
2322com12 32 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → (𝑦 𝐴𝑦𝑧))
24 shaddcl 28681 . . . . . . . . . 10 ((𝑧S𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
256, 24syl3an1 1156 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
26253expib 1115 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2721, 23, 26syl2and 607 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2827com12 32 . . . . . 6 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2928ralrimiv 3150 . . . . 5 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
30 ovex 7055 . . . . . 6 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
3130elint2 4795 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
3229, 31sylibr 235 . . . 4 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3332rgen2a 3195 . . 3 𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴
34 shmulcl 28682 . . . . . . . . . 10 ((𝑧S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
356, 34syl3an1 1156 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
36353expib 1115 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3723, 36sylan2d 604 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3837com12 32 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3938ralrimiv 3150 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
40 ovex 7055 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
4140elint2 4795 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
4239, 41sylibr 235 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
4342rgen2 3172 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴
4433, 43pm3.2i 471 . 2 (∀𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
45 issh2 28673 . 2 ( 𝐴S ↔ (( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0 𝐴) ∧ (∀𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)))
4619, 44, 45mpbir2an 707 1 𝐴S
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 396  ∃wex 1765   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∀wral 3107   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  ∩ cint 4788  (class class class)co 7023  ℂcc 10388   ℋchba 28383   +ℎ cva 28384   ·ℎ csm 28385  0ℎc0v 28388   Sℋ csh 28392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pr 5228  ax-hilex 28463  ax-hfvadd 28464  ax-hv0cl 28467  ax-hfvmul 28469 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-fv 6240  df-ov 7026  df-sh 28671 This theorem is referenced by:  shintcl  28794  chintcli  28795  shincli  28826
 Copyright terms: Public domain W3C validator