Theorem shintcli 29592

Description: Closure of intersection of a nonempty subset of S_ℋ. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
shintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ

Proof of Theorem shintcli

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shintcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpri 485	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
3		n0 4277	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
4		intss1 4891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑧)
5	1	simpli 483	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
6	5	sseli 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ Sℋ )
7		shss 29473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Sℋ → 𝑧 ⊆ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ℋ)
9	4, 8	sstrd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
10	9	exlimiv 1934	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
11	3, 10	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
12	2, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 ⊆ ℋ
13		ax-hv0cl 29266	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
14	13	elexi 3441	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
15	14	elint2 4883	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 0ℎ ∈ 𝑧)
16		sh0 29479	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝑧)
17	6, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ 𝑧)
18	15, 17	mprgbir 3078	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴
19	12, 18	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴)
20		elinti 4885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑧))
21	20	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑧))
22		elinti 4885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑧))
23	22	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ∩ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24		shaddcl 29480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
25	6, 24	syl3an1 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
26	25	3expib 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
27	21, 23, 26	syl2and 607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
28	27	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
29	28	ralrimiv 3106	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
30		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
31	30	elint2 4883	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
32	29, 31	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
33	32	rgen2 3126	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴
34		shmulcl 29481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
35	6, 34	syl3an1 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
36	35	3expib 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
37	23, 36	sylan2d 604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
38	37	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
39	38	ralrimiv 3106	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
40		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
41	40	elint2 4883	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
42	39, 41	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
43	42	rgen2 3126	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴
44	33, 43	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
45		issh2 29472	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ((∩ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴) ∧ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)))
46	19, 44, 45	mpbir2an 707	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∩ cint 4876  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184  0_ℎc0v 29187   S_ℋ csh 29191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-sh 29470

This theorem is referenced by:  shintcl  29593  chintcli  29594  shincli  29625