Theorem shintcli 31425

Description: Closure of intersection of a nonempty subset of S_ℋ. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
shintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ

Proof of Theorem shintcli

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shintcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpri 486	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
3		n0 4288	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
4		intss1 4900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑧)
5	1	simpli 484	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
6	5	sseli 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ Sℋ )
7		shss 31306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Sℋ → 𝑧 ⊆ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ℋ)
9	4, 8	sstrd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
10	9	exlimiv 1937	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
11	3, 10	sylbi 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
12	2, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 ⊆ ℋ
13		ax-hv0cl 31099	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
14	13	elexi 3455	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
15	14	elint2 4891	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 0ℎ ∈ 𝑧)
16		sh0 31312	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝑧)
17	6, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ 𝑧)
18	15, 17	mprgbir 3061	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴
19	12, 18	pm3.2i 471	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴)
20		elinti 4893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑧))
21	20	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑧))
22		elinti 4893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑧))
23	22	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ∩ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24		shaddcl 31313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
25	6, 24	syl3an1 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
26	25	3expib 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
27	21, 23, 26	syl2and 614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
28	27	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
29	28	ralrimiv 3131	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
30		ovex 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
31	30	elint2 4891	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
32	29, 31	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
33	32	rgen2 3180	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴
34		shmulcl 31314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
35	6, 34	syl3an1 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
36	35	3expib 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
37	23, 36	sylan2d 611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
38	37	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
39	38	ralrimiv 3131	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
40		ovex 7396	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
41	40	elint2 4891	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
42	39, 41	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
43	42	rgen2 3180	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴
44	33, 43	pm3.2i 471	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
45		issh2 31305	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ((∩ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴) ∧ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)))
46	19, 44, 45	mpbir2an 717	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 396  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ∩ cint 4884  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   ·_ℎ csm 31017  0_ℎc0v 31020   S_ℋ csh 31024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hv0cl 31099  ax-hfvmul 31101

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-sh 31303

This theorem is referenced by:  shintcl  31426  chintcli  31427  shincli  31458