Theorem shintcli 31264

Description: Closure of intersection of a nonempty subset of S_ℋ. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
shintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ

Proof of Theorem shintcli

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shintcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpri 485	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
3		n0 4318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
4		intss1 4929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑧)
5	1	simpli 483	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
6	5	sseli 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ Sℋ )
7		shss 31145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Sℋ → 𝑧 ⊆ ℋ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ℋ)
9	4, 8	sstrd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
10	9	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
11	3, 10	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ⊆ ℋ)
12	2, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 ⊆ ℋ
13		ax-hv0cl 30938	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
14	13	elexi 3473	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
15	14	elint2 4919	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 0ℎ ∈ 𝑧)
16		sh0 31151	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝑧)
17	6, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ 𝑧)
18	15, 17	mprgbir 3052	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴
19	12, 18	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴)
20		elinti 4921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑧))
21	20	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑧))
22		elinti 4921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑧))
23	22	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ∩ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑧))
24		shaddcl 31152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
25	6, 24	syl3an1 1163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
26	25	3expib 1122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
27	21, 23, 26	syl2and 608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
28	27	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
29	28	ralrimiv 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
30		ovex 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
31	30	elint2 4919	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
32	29, 31	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
33	32	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴
34		shmulcl 31153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
35	6, 34	syl3an1 1163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
36	35	3expib 1122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
37	23, 36	sylan2d 605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
38	37	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧))
39	38	ralrimiv 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
40		ovex 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
41	40	elint2 4919	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝑧)
42	39, 41	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
43	42	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴
44	33, 43	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)
45		issh2 31144	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ((∩ 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ∩ 𝐴) ∧ (∀𝑥 ∈ ∩ 𝐴∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ∩ 𝐴(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ∩ 𝐴)))
46	19, 44, 45	mpbir2an 711	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ∩ cint 4912  (class class class)co 7389  ℂcc 11072   ℋchba 30854   +_ℎ cva 30855   ·_ℎ csm 30856  0_ℎc0v 30859   S_ℋ csh 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-hilex 30934  ax-hfvadd 30935  ax-hv0cl 30938  ax-hfvmul 30940

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392  df-sh 31142

This theorem is referenced by:  shintcl  31265  chintcli  31266  shincli  31297