HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shintcli 31348
Description: Closure of intersection of a nonempty subset of S. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shintcl.1 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
shintcli 𝐴S

Proof of Theorem shintcli
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shintcl.1 . . . . 5 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
21simpri 485 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
3 n0 4353 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
4 intss1 4963 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 𝐴𝑧)
51simpli 483 . . . . . . . . 9 𝐴S
65sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧S )
7 shss 31229 . . . . . . . 8 (𝑧S𝑧 ⊆ ℋ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑧𝐴𝑧 ⊆ ℋ)
94, 8sstrd 3994 . . . . . 6 (𝑧𝐴 𝐴 ⊆ ℋ)
109exlimiv 1930 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧𝐴 𝐴 ⊆ ℋ)
113, 10sylbi 217 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ⊆ ℋ)
122, 11ax-mp 5 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
13 ax-hv0cl 31022 . . . . . 6 0 ∈ ℋ
1413elexi 3503 . . . . 5 0 ∈ V
1514elint2 4953 . . . 4 (0 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 0𝑧)
16 sh0 31235 . . . . 5 (𝑧S → 0𝑧)
176, 16syl 17 . . . 4 (𝑧𝐴 → 0𝑧)
1815, 17mprgbir 3068 . . 3 0 𝐴
1912, 18pm3.2i 470 . 2 ( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0 𝐴)
20 elinti 4955 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑧𝐴𝑥𝑧))
2120com12 32 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → (𝑥 𝐴𝑥𝑧))
22 elinti 4955 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝐴 → (𝑧𝐴𝑦𝑧))
2322com12 32 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → (𝑦 𝐴𝑦𝑧))
24 shaddcl 31236 . . . . . . . . . 10 ((𝑧S𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
256, 24syl3an1 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
26253expib 1123 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2721, 23, 26syl2and 608 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2827com12 32 . . . . . 6 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2928ralrimiv 3145 . . . . 5 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
30 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
3130elint2 4953 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
3229, 31sylibr 234 . . . 4 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3332rgen2 3199 . . 3 𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴
34 shmulcl 31237 . . . . . . . . . 10 ((𝑧S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
356, 34syl3an1 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
36353expib 1123 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3723, 36sylan2d 605 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3837com12 32 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3938ralrimiv 3145 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
40 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
4140elint2 4953 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
4239, 41sylibr 234 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
4342rgen2 3199 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴
4433, 43pm3.2i 470 . 2 (∀𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
45 issh2 31228 . 2 ( 𝐴S ↔ (( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0 𝐴) ∧ (∀𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)))
4619, 44, 45mpbir2an 711 1 𝐴S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333   cint 4946  (class class class)co 7431  cc 11153  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940  0c0v 30943   S csh 30947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-sh 31226
This theorem is referenced by:  shintcl  31349  chintcli  31350  shincli  31381
  Copyright terms: Public domain W3C validator