Theorem shatomistici 32653

Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shatomistici	⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ↔ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
2		shatomistic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
4		spansnsh 31853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
5		spanid 31639	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
8		spansna 32642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
9	3, 8	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
10		spansnss 31863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
11	2, 10	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
13		sseq1 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
14	13	elrab 3659	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
15	9, 12, 14	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
16		elssuni 4908	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
17		atssch 32635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
18		chsssh 31517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
19	17, 18	sstri 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ HAtoms ⊆ Sℋ
20		rabss2 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (HAtoms ⊆ Sℋ → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
21		uniss 4884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
23		unimax 4914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴
25	2	shssii 31505	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
26	24, 25	eqsstri 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
27	22, 26	sstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
28		spanss 31640	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
29	27, 28	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
30	15, 16, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
31	7, 30	eqsstrrd 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
32		spansnid 31855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
33	3, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
35	31, 34	sseldd 3946	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
36		spancl 31628	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ )
37		sh0 31508	. . . . . 6 ⊢ ((span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
38	27, 36, 37	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
40	1, 35, 39	pm2.61ne 3049	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
41	40	ssriv 3949	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
42		spanss 31640	. . . 4 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
43	26, 22, 42	mp2an 704	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
44	24	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = (span‘𝐴)
45		spanid 31639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
46	2, 45	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
47	44, 46	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
48	43, 47	sseqtri 3993	. 2 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
49	41, 48	eqssi 3961	1 ⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ∪ cuni 4876  ‘cfv 6537   ℋchba 31211  0_ℎc0v 31216   S_ℋ csh 31220   C_ℋ cch 31221  spancspn 31224  HAtomscat 31257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179  ax-hilex 31291  ax-hfvadd 31292  ax-hvcom 31293  ax-hvass 31294  ax-hv0cl 31295  ax-hvaddid 31296  ax-hfvmul 31297  ax-hvmulid 31298  ax-hvmulass 31299  ax-hvdistr1 31300  ax-hvdistr2 31301  ax-hvmul0 31302  ax-hfi 31371  ax-his1 31374  ax-his2 31375  ax-his3 31376  ax-his4 31377  ax-hcompl 31494

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-lm 23354  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cfil 25382  df-cau 25383  df-cmet 25384  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-gdiv 30788  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-vs 30891  df-nmcv 30892  df-ims 30893  df-dip 30993  df-ssp 31014  df-ph 31105  df-cbn 31155  df-hnorm 31260  df-hba 31261  df-hvsub 31263  df-hlim 31264  df-hcau 31265  df-sh 31499  df-ch 31513  df-oc 31544  df-ch0 31545  df-span 31601  df-cv 32571  df-at 32630

This theorem is referenced by: (None)