Theorem shatomistici 32713

Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shatomistici	⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ↔ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
2		shatomistic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
4		spansnsh 31913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
5		spanid 31699	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
8		spansna 32702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
9	3, 8	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
10		spansnss 31923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
11	2, 10	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
13		sseq1 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
14	13	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
15	9, 12, 14	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
16		elssuni 4904	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
17		atssch 32695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
18		chsssh 31577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
19	17, 18	sstri 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ HAtoms ⊆ Sℋ
20		rabss2 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (HAtoms ⊆ Sℋ → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
21		uniss 4880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
23		unimax 4910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴
25	2	shssii 31565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
26	24, 25	eqsstri 3983	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
27	22, 26	sstri 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
28		spanss 31700	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
29	27, 28	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
30	15, 16, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
31	7, 30	eqsstrrd 3972	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
32		spansnid 31915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
33	3, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
35	31, 34	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
36		spancl 31688	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ )
37		sh0 31568	. . . . . 6 ⊢ ((span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
38	27, 36, 37	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
40	1, 35, 39	pm2.61ne 3043	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
41	40	ssriv 3941	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
42		spanss 31700	. . . 4 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
43	26, 22, 42	mp2an 704	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
44	24	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = (span‘𝐴)
45		spanid 31699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
46	2, 45	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
47	44, 46	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
48	43, 47	sseqtri 3985	. 2 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
49	41, 48	eqssi 3953	1 ⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536   ℋchba 31271  0_ℎc0v 31276   S_ℋ csh 31280   C_ℋ cch 31281  spancspn 31284  HAtomscat 31317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437  ax-hcompl 31554

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-lm 23386  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cfil 25414  df-cau 25415  df-cmet 25416  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-dip 31053  df-ssp 31074  df-ph 31165  df-cbn 31215  df-hnorm 31320  df-hba 31321  df-hvsub 31323  df-hlim 31324  df-hcau 31325  df-sh 31559  df-ch 31573  df-oc 31604  df-ch0 31605  df-span 31661  df-cv 32631  df-at 32690

This theorem is referenced by: (None)