Theorem shatomistici 32843

Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shatomistici	⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ↔ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
2		shatomistic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
4		spansnsh 32043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
5		spanid 31829	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
8		spansna 32832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
9	3, 8	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
10		spansnss 32053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
11	2, 10	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
13		sseq1 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
14	13	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
15	9, 12, 14	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
16		elssuni 4899	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
17		atssch 32825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
18		chsssh 31707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
19	17, 18	sstri 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ HAtoms ⊆ Sℋ
20		rabss2 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (HAtoms ⊆ Sℋ → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
21		uniss 4875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
23		unimax 4905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴
25	2	shssii 31695	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
26	24, 25	eqsstri 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
27	22, 26	sstri 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
28		spanss 31830	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
29	27, 28	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
30	15, 16, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
31	7, 30	eqsstrrd 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
32		spansnid 32045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
33	3, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
35	31, 34	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
36		spancl 31818	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ )
37		sh0 31698	. . . . . 6 ⊢ ((span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
38	27, 36, 37	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
40	1, 35, 39	pm2.61ne 3040	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
41	40	ssriv 3935	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
42		spanss 31830	. . . 4 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
43	26, 22, 42	mp2an 705	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
44	24	fveq2i 6882	. . . 4 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = (span‘𝐴)
45		spanid 31829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
46	2, 45	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
47	44, 46	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
48	43, 47	sseqtri 3979	. 2 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
49	41, 48	eqssi 3947	1 ⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533   ℋchba 31401  0_ℎc0v 31406   S_ℋ csh 31410   C_ℋ cch 31411  spancspn 31414  HAtomscat 31447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cc 10438  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567  ax-hcompl 31684

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-acn 9948  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-lm 23455  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cfil 25484  df-cau 25485  df-cmet 25486  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-dip 31183  df-ssp 31204  df-ph 31295  df-cbn 31345  df-hnorm 31450  df-hba 31451  df-hvsub 31453  df-hlim 31454  df-hcau 31455  df-sh 31689  df-ch 31703  df-oc 31734  df-ch0 31735  df-span 31791  df-cv 32761  df-at 32820

This theorem is used by: (None)