Theorem shatomistici 32450

Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shatomistic.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shatomistici	⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomistici

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ↔ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})))
2		shatomistic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
4		spansnsh 31650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
5		spanid 31436	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
8		spansna 32439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
9	3, 8	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
10		spansnss 31660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
11	2, 10	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
13		sseq1 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
14	13	elrab 3635	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ↔ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
15	9, 12, 14	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
16		elssuni 4882	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
17		atssch 32432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ HAtoms ⊆ Cℋ
18		chsssh 31314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
19	17, 18	sstri 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ HAtoms ⊆ Sℋ
20		rabss2 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (HAtoms ⊆ Sℋ → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
21		uniss 4859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}
23		unimax 4888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴)
24	2, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} = 𝐴
25	2	shssii 31302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
26	24, 25	eqsstri 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
27	22, 26	sstri 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ
28		spanss 31437	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
29	27, 28	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
30	15, 16, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
31	7, 30	eqsstrrd 3958	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
32		spansnid 31652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
33	3, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
35	31, 34	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
36		spancl 31425	. . . . . 6 ⊢ (∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ )
37		sh0 31305	. . . . . 6 ⊢ ((span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
38	27, 36, 37	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 0ℎ ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
40	1, 35, 39	pm2.61ne 3018	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
41	40	ssriv 3926	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
42		spanss 31437	. . . 4 ⊢ ((∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ℋ ∧ ∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) → (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}))
43	26, 22, 42	mp2an 693	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})
44	24	fveq2i 6838	. . . 4 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = (span‘𝐴)
45		spanid 31436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
46	2, 45	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
47	44, 46	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) = 𝐴
48	43, 47	sseqtri 3971	. 2 ⊢ (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴
49	41, 48	eqssi 3939	1 ⊢ 𝐴 = (span‘∪ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥 ⊆ 𝐴})

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6493   ℋchba 31008  0_ℎc0v 31013   S_ℋ csh 31017   C_ℋ cch 31018  spancspn 31021  HAtomscat 31054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-lm 23207  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cfil 25235  df-cau 25236  df-cmet 25237  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-span 31398  df-cv 32368  df-at 32427

This theorem is referenced by: (None)