Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shatomistici 29764
 Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1 𝐴S
Assertion
Ref Expression
shatomistici 𝐴 = (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2894 . . . 4 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ↔ 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9 𝐴S
32sheli 28615 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
4 spansnsh 28964 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ S )
5 spanid 28750 . . . . . . . 8 ((span‘{𝑦}) ∈ S → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
76adantr 474 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
8 spansna 29753 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
93, 8sylan 575 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
10 spansnss 28974 . . . . . . . . . 10 ((𝐴S𝑦𝐴) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
112, 10mpan 681 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
1211adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
13 sseq1 3851 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥𝐴 ↔ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
1413elrab 3585 . . . . . . . 8 ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ↔ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
159, 12, 14sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
16 elssuni 4689 . . . . . . 7 ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → (span‘{𝑦}) ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
17 atssch 29746 . . . . . . . . . . 11 HAtoms ⊆ C
18 chsssh 28626 . . . . . . . . . . 11 CS
1917, 18sstri 3836 . . . . . . . . . 10 HAtoms ⊆ S
20 rabss2 3910 . . . . . . . . . 10 (HAtoms ⊆ S → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴})
21 uniss 4681 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴} → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴})
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴}
23 unimax 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝐴S {𝑥S𝑥𝐴} = 𝐴)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {𝑥S𝑥𝐴} = 𝐴
252shssii 28614 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ ℋ
2624, 25eqsstri 3860 . . . . . . . . 9 {𝑥S𝑥𝐴} ⊆ ℋ
2722, 26sstri 3836 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℋ
28 spanss 28751 . . . . . . . 8 (( {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℋ ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
2927, 28mpan 681 . . . . . . 7 ((span‘{𝑦}) ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
317, 30eqsstr3d 3865 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
32 spansnid 28966 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
333, 32syl 17 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
3433adantr 474 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
3531, 34sseldd 3828 . . . 4 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
36 spancl 28739 . . . . . 6 ( {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℋ → (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ S )
37 sh0 28617 . . . . . 6 ((span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ S → 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
3827, 36, 37mp2b 10 . . . . 5 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
3938a1i 11 . . . 4 (𝑦𝐴 → 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
401, 35, 39pm2.61ne 3084 . . 3 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
4140ssriv 3831 . 2 𝐴 ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
42 spanss 28751 . . . 4 (( {𝑥S𝑥𝐴} ⊆ ℋ ∧ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴}) → (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (span‘ {𝑥S𝑥𝐴}))
4326, 22, 42mp2an 683 . . 3 (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (span‘ {𝑥S𝑥𝐴})
4424fveq2i 6436 . . . 4 (span‘ {𝑥S𝑥𝐴}) = (span‘𝐴)
45 spanid 28750 . . . . 5 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
462, 45ax-mp 5 . . . 4 (span‘𝐴) = 𝐴
4744, 46eqtri 2849 . . 3 (span‘ {𝑥S𝑥𝐴}) = 𝐴
4843, 47sseqtri 3862 . 2 (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ 𝐴
4941, 48eqssi 3843 1 𝐴 = (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  {crab 3121   ⊆ wss 3798  {csn 4397  ∪ cuni 4658  ‘cfv 6123   ℋchba 28320  0ℎc0v 28325   Sℋ csh 28329   Cℋ cch 28330  spancspn 28333  HAtomscat 28366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332  ax-hilex 28400  ax-hfvadd 28401  ax-hvcom 28402  ax-hvass 28403  ax-hv0cl 28404  ax-hvaddid 28405  ax-hfvmul 28406  ax-hvmulid 28407  ax-hvmulass 28408  ax-hvdistr1 28409  ax-hvdistr2 28410  ax-hvmul0 28411  ax-hfi 28480  ax-his1 28483  ax-his2 28484  ax-his3 28485  ax-his4 28486  ax-hcompl 28603 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-lm 21404  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cfil 23423  df-cau 23424  df-cmet 23425  df-grpo 27892  df-gid 27893  df-ginv 27894  df-gdiv 27895  df-ablo 27944  df-vc 27958  df-nv 27991  df-va 27994  df-ba 27995  df-sm 27996  df-0v 27997  df-vs 27998  df-nmcv 27999  df-ims 28000  df-dip 28100  df-ssp 28121  df-ph 28212  df-cbn 28263  df-hnorm 28369  df-hba 28370  df-hvsub 28372  df-hlim 28373  df-hcau 28374  df-sh 28608  df-ch 28622  df-oc 28653  df-ch0 28654  df-span 28712  df-cv 29682  df-at 29741 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator