HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem shatomistici 31882
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1 𝐴 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
shatomistici 𝐴 = (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2820 . . . 4 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) ↔ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})))
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Sβ„‹
32sheli 30735 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
4 spansnsh 31082 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ )
5 spanid 30868 . . . . . . . 8 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) = (spanβ€˜{𝑦}))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) = (spanβ€˜{𝑦}))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) = (spanβ€˜{𝑦}))
8 spansna 31871 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
93, 8sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
10 spansnss 31092 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴)
112, 10mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴)
13 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴))
1413elrab 3683 . . . . . . . 8 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} ↔ ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴))
159, 12, 14sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
16 elssuni 4941 . . . . . . 7 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
17 atssch 31864 . . . . . . . . . . 11 HAtoms βŠ† Cβ„‹
18 chsssh 30746 . . . . . . . . . . 11 Cβ„‹ βŠ† Sβ„‹
1917, 18sstri 3991 . . . . . . . . . 10 HAtoms βŠ† Sβ„‹
20 rabss2 4075 . . . . . . . . . 10 (HAtoms βŠ† Sβ„‹ β†’ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
21 uniss 4916 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}
23 unimax 4948 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Sβ„‹ β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} = 𝐴)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} = 𝐴
252shssii 30734 . . . . . . . . . 10 𝐴 βŠ† β„‹
2624, 25eqsstri 4016 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹
2722, 26sstri 3991 . . . . . . . 8 βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹
28 spanss 30869 . . . . . . . 8 ((βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹ ∧ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
2927, 28mpan 687 . . . . . . 7 ((spanβ€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
317, 30eqsstrrd 4021 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
32 spansnid 31084 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
333, 32syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
3531, 34sseldd 3983 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
36 spancl 30857 . . . . . 6 (βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹ β†’ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) ∈ Sβ„‹ )
37 sh0 30737 . . . . . 6 ((spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
3827, 36, 37mp2b 10 . . . . 5 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
3938a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
401, 35, 39pm2.61ne 3026 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
4140ssriv 3986 . 2 𝐴 βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
42 spanss 30869 . . . 4 ((βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹ ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) β†’ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
4326, 22, 42mp2an 689 . . 3 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
4424fveq2i 6894 . . . 4 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) = (spanβ€˜π΄)
45 spanid 30868 . . . . 5 (𝐴 ∈ Sβ„‹ β†’ (spanβ€˜π΄) = 𝐴)
462, 45ax-mp 5 . . . 4 (spanβ€˜π΄) = 𝐴
4744, 46eqtri 2759 . . 3 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) = 𝐴
4843, 47sseqtri 4018 . 2 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝐴
4941, 48eqssi 3998 1 𝐴 = (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {crab 3431   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543   β„‹chba 30440  0β„Žc0v 30445   Sβ„‹ csh 30449   Cβ„‹ cch 30450  spancspn 30453  HAtomscat 30486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606  ax-hcompl 30723
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-dip 30222  df-ssp 30243  df-ph 30334  df-cbn 30384  df-hnorm 30489  df-hba 30490  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-hcau 30494  df-sh 30728  df-ch 30742  df-oc 30773  df-ch0 30774  df-span 30830  df-cv 31800  df-at 31859
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator