HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem shatomistici 31477
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1 𝐴 ∈ Sβ„‹
Assertion
Ref Expression
shatomistici 𝐴 = (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2820 . . . 4 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (𝑦 ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) ↔ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})))
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Sβ„‹
32sheli 30330 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
4 spansnsh 30677 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ )
5 spanid 30463 . . . . . . . 8 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) = (spanβ€˜{𝑦}))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) = (spanβ€˜{𝑦}))
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) = (spanβ€˜{𝑦}))
8 spansna 31466 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
93, 8sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
10 spansnss 30687 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴)
112, 10mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴)
13 sseq1 4003 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴))
1413elrab 3679 . . . . . . . 8 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} ↔ ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† 𝐴))
159, 12, 14sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
16 elssuni 4934 . . . . . . 7 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
17 atssch 31459 . . . . . . . . . . 11 HAtoms βŠ† Cβ„‹
18 chsssh 30341 . . . . . . . . . . 11 Cβ„‹ βŠ† Sβ„‹
1917, 18sstri 3987 . . . . . . . . . 10 HAtoms βŠ† Sβ„‹
20 rabss2 4071 . . . . . . . . . 10 (HAtoms βŠ† Sβ„‹ β†’ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
21 uniss 4909 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}
23 unimax 4941 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Sβ„‹ β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} = 𝐴)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} = 𝐴
252shssii 30329 . . . . . . . . . 10 𝐴 βŠ† β„‹
2624, 25eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹
2722, 26sstri 3987 . . . . . . . 8 βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹
28 spanss 30464 . . . . . . . 8 ((βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹ ∧ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
2927, 28mpan 688 . . . . . . 7 ((spanβ€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜(spanβ€˜{𝑦})) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
317, 30eqsstrrd 4017 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
32 spansnid 30679 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
333, 32syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
3531, 34sseldd 3979 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
36 spancl 30452 . . . . . 6 (βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹ β†’ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) ∈ Sβ„‹ )
37 sh0 30332 . . . . . 6 ((spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) ∈ Sβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
3827, 36, 37mp2b 10 . . . . 5 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
3938a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
401, 35, 39pm2.61ne 3026 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
4140ssriv 3982 . 2 𝐴 βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
42 spanss 30464 . . . 4 ((βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† β„‹ ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) β†’ (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}))
4326, 22, 42mp2an 690 . . 3 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) βŠ† (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
4424fveq2i 6881 . . . 4 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) = (spanβ€˜π΄)
45 spanid 30463 . . . . 5 (𝐴 ∈ Sβ„‹ β†’ (spanβ€˜π΄) = 𝐴)
462, 45ax-mp 5 . . . 4 (spanβ€˜π΄) = 𝐴
4744, 46eqtri 2759 . . 3 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ Sβ„‹ ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) = 𝐴
4843, 47sseqtri 4014 . 2 (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝐴
4941, 48eqssi 3994 1 𝐴 = (spanβ€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ HAtoms ∣ π‘₯ βŠ† 𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  {crab 3431   βŠ† wss 3944  {csn 4622  βˆͺ cuni 4901  β€˜cfv 6532   β„‹chba 30035  0β„Žc0v 30040   Sβ„‹ csh 30044   Cβ„‹ cch 30045  spancspn 30048  HAtomscat 30081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvmulass 30123  ax-hvdistr1 30124  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126  ax-hfi 30195  ax-his1 30198  ax-his2 30199  ax-his3 30200  ax-his4 30201  ax-hcompl 30318
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-acn 9919  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-lm 22662  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cfil 24701  df-cau 24702  df-cmet 24703  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-gdiv 29612  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-vs 29715  df-nmcv 29716  df-ims 29717  df-dip 29817  df-ssp 29838  df-ph 29929  df-cbn 29979  df-hnorm 30084  df-hba 30085  df-hvsub 30087  df-hlim 30088  df-hcau 30089  df-sh 30323  df-ch 30337  df-oc 30368  df-ch0 30369  df-span 30425  df-cv 31395  df-at 31454
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator