HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shatomistici 30296
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1 𝐴S
Assertion
Ref Expression
shatomistici 𝐴 = (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2820 . . . 4 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ↔ 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})))
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9 𝐴S
32sheli 29149 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
4 spansnsh 29496 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ S )
5 spanid 29282 . . . . . . . 8 ((span‘{𝑦}) ∈ S → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘(span‘{𝑦})) = (span‘{𝑦}))
8 spansna 30285 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
93, 8sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
10 spansnss 29506 . . . . . . . . . 10 ((𝐴S𝑦𝐴) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
112, 10mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴 → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴)
13 sseq1 3902 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥𝐴 ↔ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
1413elrab 3588 . . . . . . . 8 ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ↔ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ 𝐴))
159, 12, 14sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
16 elssuni 4828 . . . . . . 7 ((span‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → (span‘{𝑦}) ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
17 atssch 30278 . . . . . . . . . . 11 HAtoms ⊆ C
18 chsssh 29160 . . . . . . . . . . 11 CS
1917, 18sstri 3886 . . . . . . . . . 10 HAtoms ⊆ S
20 rabss2 3967 . . . . . . . . . 10 (HAtoms ⊆ S → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴})
21 uniss 4804 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴} → {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴})
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴}
23 unimax 4834 . . . . . . . . . . 11 (𝐴S {𝑥S𝑥𝐴} = 𝐴)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 {𝑥S𝑥𝐴} = 𝐴
252shssii 29148 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ ℋ
2624, 25eqsstri 3911 . . . . . . . . 9 {𝑥S𝑥𝐴} ⊆ ℋ
2722, 26sstri 3886 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℋ
28 spanss 29283 . . . . . . . 8 (( {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℋ ∧ (span‘{𝑦}) ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
2927, 28mpan 690 . . . . . . 7 ((span‘{𝑦}) ⊆ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘(span‘{𝑦})) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
317, 30eqsstrrd 3916 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
32 spansnid 29498 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
333, 32syl 17 . . . . . 6 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
3433adantr 484 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
3531, 34sseldd 3878 . . . 4 ((𝑦𝐴𝑦 ≠ 0) → 𝑦 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
36 spancl 29271 . . . . . 6 ( {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ ℋ → (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ S )
37 sh0 29151 . . . . . 6 ((span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ∈ S → 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
3827, 36, 37mp2b 10 . . . . 5 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
3938a1i 11 . . . 4 (𝑦𝐴 → 0 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
401, 35, 39pm2.61ne 3019 . . 3 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}))
4140ssriv 3881 . 2 𝐴 ⊆ (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
42 spanss 29283 . . . 4 (( {𝑥S𝑥𝐴} ⊆ ℋ ∧ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥S𝑥𝐴}) → (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (span‘ {𝑥S𝑥𝐴}))
4326, 22, 42mp2an 692 . . 3 (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (span‘ {𝑥S𝑥𝐴})
4424fveq2i 6677 . . . 4 (span‘ {𝑥S𝑥𝐴}) = (span‘𝐴)
45 spanid 29282 . . . . 5 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
462, 45ax-mp 5 . . . 4 (span‘𝐴) = 𝐴
4744, 46eqtri 2761 . . 3 (span‘ {𝑥S𝑥𝐴}) = 𝐴
4843, 47sseqtri 3913 . 2 (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ 𝐴
4941, 48eqssi 3893 1 𝐴 = (span‘ {𝑥 ∈ HAtoms ∣ 𝑥𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  {crab 3057  wss 3843  {csn 4516   cuni 4796  cfv 6339  chba 28854  0c0v 28859   S csh 28863   C cch 28864  spancspn 28867  HAtomscat 28900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvmulass 28942  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his2 29018  ax-his3 29019  ax-his4 29020  ax-hcompl 29137
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-lm 21980  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cfil 24007  df-cau 24008  df-cmet 24009  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-gdiv 28431  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-vs 28534  df-nmcv 28535  df-ims 28536  df-dip 28636  df-ssp 28657  df-ph 28748  df-cbn 28798  df-hnorm 28903  df-hba 28904  df-hvsub 28906  df-hlim 28907  df-hcau 28908  df-sh 29142  df-ch 29156  df-oc 29187  df-ch0 29188  df-span 29244  df-cv 30214  df-at 30273
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator